Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

1.4. Введение в логику высказываний

Парадоксальные высказывания

В логике высказываний важно отделять субъекта от объекта или, другими словами, сами высказывания (объектный язык) и метаязык автора (субъектный язык), на котором написан, в частности, данный учебник. Пренебрегая этим различием, мы рискуем впасть в противоречие, которое называется логическим парадоксом.

С древних времен известен парадокс лжеца; суть его такова. Некий лжец сообщает о себе, что он лжец: «Я лжец», — сказал лжец. Следовательно, здесь лжец выступает в своем противоположном качестве, а именно — нелжеца. Поэтому приведенное высказывание на самом деле нужно понимать иначе: «Я лжец», — сказал нелжец. Теперь получается, что правдивый человек сообщает о себе, что он лжец. Правдивому человеку мы, естественно, должны верить. Поэтому второе высказывание следует понимать все-таки так, как это отражено в первом высказывании. Здесь возникает неопределенность; непонятно, как квалифицировать говорящего — как лжеца или как нелжец, иначе говоря, непонятно, каким образом идентифицировать высказывание — как истинное или как ложное.

Парадокс возник потому, что в приведенных высказываниях не делается разграничения между двумя принципиально разными логическими уровнями. Помимо лжеца и нелжец в данной логической ситуации участвует субъект, или метанаблюдатель. Если провести четкое синтаксическое отделение смыслового содержания, которое должно относиться к нам, как метанаблюдателям, от прочей семантики объектных персонажей, то логическое противоречие будет снято. Ситуацию с лжецом необходимо представлять следующим образом:

«Я лжец», — сказал лжец.
«Это истинно», — сказал метанаблюдатель.

«Я лжец», — сказал нелжец.
«Это ложно», — сказал метанаблюдатель.

«Я нелжец», — сказал лжец.
«Это ложно», — сказал метанаблюдатель.

«Я нелжец», — сказал нелжец.
«Это истинно», — сказал метанаблюдатель.

Если приведенные четыре конструкции записать через два слова истинно и ложно, то получим обыкновенную таблицу умножения для группы из двух элементов типа плюс и минус единицы.

ложно * ложно = истинно,
истинно * ложно = ложно,
ложно * истинно = ложно,
истинно * истинно = истинно.

Однако источником противоречий в логике высказываний необязательно является смешение именно объектного и субъектного уровней. Неопределенность может возникнуть между различными объектными уровнями. В качестве примера приведем следующую фразу: «Нет правил без исключений». Но фраза, стоящая здесь в кавычках сама является правилом. Так какое исключение должно следовать из него? Разберем это противоречие, несколько изменив его семантику. Пусть имеется высказывание:

А = «Любое высказывание является ложным».

Так как А является высказыванием, на него должно распространяться сказанное в предложении А. Рассмотрим два случая:

1) пусть А = 1; это означает, что А = «А = 0» = 1, т.е. А = 0.
2) пусть А = 0; это означает, что А = «А = 0» = 0, т.е. А = 1.

Таким образом, в обоих случаях имеем противоречие. Чтобы его избежать, нужно произвести логическое разграничение всего множества высказываний на два принципиально разных класса — А и В. В этом случае формальная запись первоначальной фразы будет иметь вид: А = «В = 0»; тогда при А = 1, В = 0 и при А = 0, В = 1.

Приведем еще один пример известного парадокса. Английский логик Бертран Рассел поведал притчу: в одной из деревень жил парикмахер; он брил тех жителей деревни, кто не брился сам. Рассел задался вопросом: может ли парикмахер побрить самого себя? Начинаем рассуждать: если парикмахер побреет самого себя, то как житель этого селения, который бреется сам, он не вправе это сделать; но если парикмахер не станет бриться, то, как житель селения, который не бреется сам, он обязан будет себя побрить.

Выразим семантику этого противоречия формальным языком. Обозначим через А парикмахера и пусть Р(А, В) означает высказывание «А бреет В». Тогда ситуацию, которую мы имеем в селении, можно описать двумя метавысказываниями:

1) если Р(B, В) = 0, то Р(А, В) = 1;
2) если Р(B, В) = 1, то Р(А, В) = 0.

Когда парикмахер рассматривается в качестве рядового жителя селения (А = В), оба метавысказывания становятся противоречивыми:

1) если Р(А, A) = 0, то Р(А, В) = 1;
2) если Р(А, A) = 1, то Р(А, A) = 0.

Выражение Р(А, В) может означать «А учит В», «А развлекает В» и т.д. При этом под А понимается учитель, юморист и т.д. И хотя А, наряду с В, формально является объектной переменной, ее нельзя ставить на один уровень с В, так как именно относительно А сформулированы метавысказывания.