Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталыАкимов О.Е.
1.4. Введение в логику высказываний
Практические задания по логике высказываний
1. Ниже приведены по три клаузы в одном варианте. Каждую клаузу необходимо доказать следующими методами: аксиоматическим, натурального исчисления, резолюций и Вонга.
Вариант 1.
(A → C) → (A ∧ B) ⇒ A ∨ B,
A ∨ D, B ∨ E, D → C, D ∨ C ⇒ A ∧ C; E ∧ D; B,
A → B, C → D, A ∨ C, A → D, C → B ⇒ (A ∨ B) → (A ∧ B).Вариант 2.
C → A, B ∨ C, B → D, D → A ⇒ A,
D → E, E → C, A ~ D, B ~ C ⇒ A → B,
A ∨ B, A → B, B → (C → D), A → D ⇒ A ∧ C.Вариант 3.
(A ∧ B) → C ⇒ A → (B → C),
A → (B → C), (C ∧ D) → E, F → (D ∧ E) ⇒ A→ (B → F),
(A ∧ (B → C)) ~ D, E ~ (A ∧ (B ∨ C)) ⇒ (D ∧ E) ~ (A ∧ C).Вариант 4.
A → (B → C), A → B, A → (B → C) ⇒ C; B,
A, B → (A → D), C → (B → E), D → (E ∨ C) ⇒ C → E,
C, D → C, A → (B → D), B ⇒ A → C.Вариант 5.
(A ∨ C) ~ (B ∨ D) ⇒ A ~ B; C ~ D,
A → B, C → D, B → E, D → F, E ∧ F, A → C ⇒ A,
C → (B → A), B → D, C ⇒ A ∨ D.Вариант 6.
C, A ∨ B ⇒ (B → C) → A,
A → C, D → F, B → E, D → C, A → B ⇒ A → (E ∧ F),
A, B ∨ C, C ~ D ⇒ (B → A) → (B → D).Вариант 7.
A → (C → B), D → A, C ⇒ D → B,
E → F, C → (D → E), (A → B) → C ⇒ D → (A ∨ F),
A ~ B, B → C, C ~ D ⇒ (C → B) → (D → A).Вариант 8.
A ~ B, C ~ D ⇒ (A ∨ C) ~ (B ∨ D),
A → (B → C), C → (B → A), D → A, A → B ⇒ D,
A → B, B → D, D → A, B ∨ C, C → D ⇒ D.Вариант 9.
A, B ∨ C ⇒ A ∧ B; C,
C, (A → B) → (C → A) ⇒ A,
A → (B ∨ C), B → (D → A), C → (B → A), A → (B → C), D → (A ∨ B), D → (A → B), C → (B ∨ D), A ∨ C ∨ D, C → (A → B) ⇒ A ∧ B ∧ C; A ∧ B ∧ D.Вариант 10.
A, B → C ⇒ A ∧ B; B ∧ C,
A → (B ∧ C), B ∨ D, (E → F) → D, B ∨ (A ∧ E) ⇒ B → E,
A ∨ B, A ∨ C, A → C, C → (A → D) ⇒ B ∨ D.Вариант 11.
A, B → C ⇒ (A → C) → B,
A → B, A ~ D, C ~ E ⇒ (B → C) → (D → E),
A → (C → B), D → A, C ⇒ D → B.Вариант 12.
A → (B → C), A → (B ∨ C) ⇒ A → C,
A ~ B, A ∨ C, C ∧ E, B → C, B ∨ D, A → E ⇒ D ~ E; C ∧ D,
A, D → C, B ∨ (A → D), B → C ⇒ C.Вариант 13.
A ~ B, C ~ D ⇒ (A → C) → (B → D),
A ∨ C, C → D, A ∧ D, B ∧ C, A → B, A ∨ B ⇒ A ∧ B,
E → D, C ∨ E, A ∨ D, D → B ⇒ C ∧ D; (E ∧ B) → (E → A).Вариант 14.
A, B → C ⇒ A ∧ B; B ∧ C ,
C → (D → E), E → F ⇒ ((A → B) → C) → (D → (A → F)) ,
A → B, A ~ C, D ~ E ⇒ (B → D) → (C → E).Вариант 15.
(A ∨ C) ~ (B ∨ D), A ~ B ⇒ C → D,
A → (B ∨ C), A ∨ B, B → A, B → D ⇒ C ∨ D,
E → D, C ∨ E, A ∨ D, D → B, E ⇒ A; B ∧ E; C ∧ D.Вариант 16.
A → B, B ∨ C, C → A, B → C ⇒ A ∧ B,
E → D, E ~ C, C ~ A, D ~ B ⇒ A → B,
A ∨ B, B ~ C, C, D, A ~ D ⇒ A ∧ B.Вариант 17.
A → B, A ∨ C, C → B, D → A ⇒ (B → D) → B,
D, E ⇒ ((A ∧ B) → C) ~ D; E ~ (A ∧ (B → C)),
A ∨ (B → C), C → (B → A), A → D ⇒ (A ∨ B) → D.Вариант 18.
(A → C) ~ (B → D) ⇒ A ~ B; C ~ D,
C → (A ∨ B), D → (B ∨ C) ⇒ A ∨ B; D,
A → D, A ∨ C, D ∨ E, D → B ⇒ (A ∧ B) → (A → E); C ∧ D.Вариант 19.
A ∨ C, A → B, C → B ⇒ A ∧ B; B ∧ C,
A → B, A → C, D ~ E, D → A, E → A, B → E, C → D ⇒ B ~ C,
C → (B → A), C ∨ D, D → B, B ∨ D ⇒ (D → C) → A.Вариант 20.
A, B ∨ C ⇒ A ∧ C; B ∧ C,
A → B, C → D, (B ∧ D) → E, E, A ⇒ C,
A → (B → C), B ∨ C ∨ D ⇒ (A → C) ∨ D.Вариант 21.
A ∨ B, A → C ⇒ A ∧ B; C ,
(A → B) → (C → D), (D → F) → E ⇒ A ∨ E,
A ∨ C, C → D, A → D, B ∨ C ⇒ D → (B ∧ D).Вариант 22.
A ∨ B, C → B, B → A, A → C ⇒ B ∧ C,
A → C, B ~ C, B ∨ D, B → A ⇒ D; A ∧ C,
A ∨ B, D ∨ E, D ∨ C, D → C ⇒ A ∧ D; B; C ∧ E.Вариант 23.
A → C, A ∨ B, B → D, D → C ⇒ C,
B ∨ D, D → B, C ∨ D, D → C, C → (B → A) ⇒ A,
A → B, A ∨ D, C ∨ E, E → A ⇒ (B ∧ E) → (E → D); A ∧ C.Вариант 24.
(A ∧ B) ∨ (C ∧ D), A ⇒ C,
C → A ⇒ ((A ∧ B) ∨ C) ~ (A ∧ (B ∨ C)),
D → F, A → (E → D), (C → B) → A ⇒ E → (C ∨ F).2. По вашему выбору для двух из трех клауз составьте легенды.
3. Ниже приведены легенды. Запишите с использованием 4 – 6 различных букв клаузу, отвечающую содержанию легенды, для чего сформулируйте необходимые посылки и два следствия: одно истинное, другое ложное. С помощью таблицы истинности найдите МНФ, минимальное и все трансверсальные покрытия.
Вариант 1. В одной старой легенде рассказывается, что греческий драматург Софокл погиб при очень странных обстоятельствах. На его лысый череп орел сбросил камень, приняв его за яйцо. Если бы Софокл не сочинял трагедии, то он не уединялся бы в горах и остался бы жить до своей естественной кончины. Он мог бы сочинять свои трагедии в горах при наличии волос на голове или при отсутствии там этих странных птиц.
Вариант 2. «Ты меня уважаешь?» – «Да». – «Тогда дай мне денег». – «Дав тебе денег, я перестану тебя уважать». – «Разве ты меня уважаешь из-за денег?» – «Нет, как художника». – «Ну, тогда тем более ты должен дать их мне». – «Я даю деньги тем, у кого они в принципе водятся. Ты же мне долг не вернешь». – «Я открою свое дело. Через год у меня будет состояние. Займи под проценты». – «Я тебе не верю, но помогу организовать выставку твоих картин». – «Хорошо, идет».
Вариант 3. Современный футбол – это надежная защита, хорошая скорость, напористая атака и убедительная результативность. Матвеев мне результативность обеспечит, но голы он забивает только по вдохновению, когда складывается игра. Без Федотова такой игры не получится. Он видит поле, чувствует, где надо находиться, но бегать не может. Скорость команде сообщит Комаров, хотя он может развалить всю защиту. Попробовать Петрова в обороне, но в паре с Матвеевым он не играет. Квасов умеет блокировать бомбардиров противника, но левой у него не получается. Надо ставить Земерова, чтобы левый край прикрыл. Однако Земеров точный пас отдать не может. Нет команды! Завтра точно проиграем встречу.
Вариант 4. Мотоцикл я сначала не заметил, так как его заслонил бензовоз, а «Волга» вывернула из-за угла, когда «Жигули» были уже вблизи светофора. Иномарка проскочила на красный свет и явилась, как мне кажется, причиной этой аварии. Из-за нее «Волга» резко затормозила и мотоциклист оказался на асфальте. «Жигули», чтобы не задавить мотоциклиста, свернули на тротуар, а бензовоз в это время врезался в «Волгу». Если бы не было мотоцикла, то опасной ситуации тоже могло и не быть. Хотя виноват и водитель «Волги», поскольку он явно превысил скорость.
Вариант 5. Если облака – это горы в небе и горы – это облака на земле, то гроза – это вулкан на небе и вулкан – это гроза на земле. Вулкан извергает пепел, а гроза – воду. Вулканический пепел и дождевая вода одинаково хорошо сказываются на урожайности полей. Урожай – это благо. Все благо – от Бога. Значит, пепел и вода, вулкан и гроза, горы и облака – от Бога.
Вариант 6. «Я вижу, у Вас поднялось давление». – «Это последствие рыбалки, доктор». – «Рыбалка, напротив, должна успокаивать и укреплять здоровье». – «Верно, доктор, но я переволновался, так как ловил рыбу в запрещенном месте». – «Ай-ай-ай! Зачем же Вы на это пошли?» – «Там, где разрешено, доктор, рыбы нет». – «В таком случае, рыбы много в магазине. Я же Вам прописал отдых на свежем воздухе». – «Хорошо, доктор, тогда завтра я пойду охотиться». – «Только, пожалуйста, голубчик, не стреляйте в зоопарке».
Вариант 7. Ваня и Петя – братья-близнецы. Ваня с огромной скоростью улетел на ракете в космос, а Петя остался на неподвижной Земле. Теория относительности утверждает, что если лететь на большой скорости, то время замедляется, поэтому Петя состарится, а Ваня – нет. Эта же теория учит, что движение относительно: если Ваня движется относительно Пети, то Петя движется относительно Вани. Однако по теории почему-то именно Ваня, вернувшись из полета, будет моложе Пети. Вывод: теория относительности не свободна от противоречий.
Вариант 8. Если усложнить схему устройства, то возрастет его производительность, а если использовать новую элементную базу, то увеличится период эксплуатации. Устройство начнут хорошо раскупать только при одновременном росте его производительности и периода эксплуатации. Но устройство не пользуется спросом.
Вариант 9. Увеличение денег в обращении влечет за собой инфляцию. Но рост денежной массы происходит по двум причинам: из-за денежной эмиссии или снижения товарооборота. Снижение товарооборота приводит к безработице и спаду производства. Из-за инфляции падает курс денежной единицы. Рекомендации экономиста Иванова: увеличить денежную эмиссию и поднять производство, тогда избежим безработицы и курс денежной единицы останется неизменным.
Вариант 10. «Что собираешься делать, честолюбивый полководец?» – «Хочу завоевать Африку, мудрый философ». – «Предположим, Африку ты завоевал. Что дальше будешь делать?» – «Пойду походом на Индию». – «Допустим, и Индию ты покорил. Что потом?» – «Потом я уединюсь в своем саду и стану наслаждаться чтением книг. Хочу быть таким же мудрым, как ты, философ». – «Почему бы тебе сразу же не отправиться в сад и не приняться за книги?» – «Так ведь ни Африки, ни Индии я еще не завоевал». – «Да, ты прав, полководец. Я рассуждаю немудро, поскольку не учитываю твое сегодняшнее честолюбие».
Вариант 11. Чтобы сварить щи, нужны: капуста, свекла, картофель, лук, морковь и томаты. Свеклы и капусты в нашем магазине не оказалось. Все остальное я купила. Однако щи уже не получатся. Хорошо, тогда куплю огурцы и сметану, сделаю салат из огурцов, томатов и лука. Поджарю котлетки, отварю картошечку – второе у меня есть. Что приготовить на первое? Пожалуй, на говяжьих косточках неплоха будет домашняя лапша. А морковку я сейчас помою и отдам детям – пусть червячка заморят.
Вариант 12. Любой марксист – диалектик, но не всякий диалектик – марксист. Любой марксист – материалист, но не всякий материалист – марксист. Гегель был диалектик, но не материалист. Фейербах был материалист, но не диалектик. Итак, если бы Гегель и Фейербах могли объединиться в один кружок, то Маркс уже не понадобился бы.
Вариант 13. Преступник изготовит партию фальшивых денег, если у него будут соответствующие материалы и станок. Эти два условия, к сожалению, выполняются. Однако фальшивые деньги не появятся, если хорошо работает милиция. Милиция же работает хорошо тогда и только тогда, когда каждый милиционер получает высокую зарплату. Увы, пока такой зарплаты нет, но есть высокая сознательность всех работников милиции.
Вариант 14. «Надо завести собаку», — сказал старик. «Она не даст жить моей кошечке», – сказала старуха. «Если не будет собаки, то я не смогу результативно охотиться и приносить в дом дичь». – «А если не будет моей кошечки, то в доме разведутся мыши, которые уничтожат все наши продовольственные запасы». – «Согласен, старуха. Давай собаку я заведу, но держать ее буду во дворе». – «Кошечку во двор я пускать не буду».
Вариант 15. Существуют две теории возникновения человека на земле – теория эволюции Дарвина и теория сотворения человека Господом Богом. Если справедлива теория эволюции, то самопроизвольное возникновение человека без соответствующих превращений живых организмов невозможно. Как доказали ученые, такие превращения действительно имели место. По теории же сотворения, человек был слеплен из простой глины, а жизнь в него вдохнул Господь. Глины всегда было много, а насчет дыхания Бога тоже сомневаться не приходится, поскольку есть на то свидетельство Библии. Отсюда вывод – две названные теории друг другу не противоречат.
Вариант 16. Человек, который решил свести счеты с жизнью, вряд ли будет за час до этого просматривать статистические данные по зерну за прошлый год. Сломанная герань только подчеркивает кем-то хорошо скрытые следы борьбы и насилия. Очень, конечно, странно, что дверь оказалась заперта изнутри, а вахтер ничего не заметил. Как же преступнику удалось выйти из помещения? И каковы, собственно, мотивы преступления? Такой тихий, скромный человек, ничего, кроме семьи и работы, его не интересовало. Правда, жена сообщила, что она вчера вечером видела его в обществе двух подозрительных молодых людей. Да и вахтер утверждал, что примерно в течение получаса отлучался для обхода территории. Тем не менее, не хватает какого-то звена в этой загадочной цепи событий, чтобы уверенно сказать – «самоубийство» кем-то старательно инсценировано.
Вариант 17. Из утверждения «два плюс два равно пяти» следует, что я и папа римский – одно и то же лицо. В самом деле, если от обеих частей указанного равенства отнять по двойке, то будет справедливо равенство «два равно трем». Если от обеих частей нового равенства отнять по единице, то будет справедливо равенство – «один равен двум». Один – это я, а двойка – это я и папа римский. Поскольку верно, что «один равен двум», то я и есть папа римский.
Вариант 18. «Хочешь яблоко?» – «Яблоки я не ем после рыбы, а рыбу я не ем после борща. Борщ я сегодня не ел, но съел немного горохового супа. После него я съел кусочек жареного хека. Если я ем гороховый суп, то в этот день уже не буду отказываться от яблок, но при условии, что к столу не подавали салат. Итак, давай сюда яблоко».
Вариант 19. Слепой и глухой пошли погулять. «Смотри, вдали озеро, значит, напьемся», – сказал глухой. «Ага», – сказал слепой. «Послушай, гремит гром, значит дождь собирается», – сказал слепой. «Ага», – сказал глухой. Глухой и слепой набрали воды и достали плащи. Все это видел и слышал немой. «Я им не компания», – подумал немой.
Вариант 20. Сегодня посмотрю футбол, если трамвай не задержится. Трамвай не опоздал, но случилась другая беда: у меня не оказалось денег на билет. Рискну доехать «зайцем». В салоне оказался контролер, и я лихорадочно стал рыться по карманам. К моему счастью, нашелся один неиспользованный трамвайный талон. До компостера я добрался вовремя, хотя футбольный матч я так и не увидел: вместе с деньгами я дома оставил и билет на матч.
Вариант 21. Если в одном месте что-то убудет, то в другом месте что-то прибудет – это истина, не требующая доказательства. Но есть такая теория, которая утверждает: где-то в далеком космосе существуют «черные дыры», куда все проваливается, но оттуда ничего не появляется. Эта теория ничего не говорит о существовании «белых дыр», которые действовали бы противоположно «черным». Один иностранный астрономический журнал сообщил координаты «черной дыры». Российский астроном Иванов направил туда свой мощный телескоп и ничего не обнаружил.
Вариант 22. Если в цепи будет большой перепад напряжения, то сгорит предохранитель, что повлечет за собой необходимость его замены. При целом предохранителе телевизор, конечно, будет работать, но только если он включен в сеть питания. Если телевизор работает нормально, то я увижу сегодняшние «Новости». Итак, я смотрю телевизионные «Новости» при условии отсутствия перепада напряжения и подключения телевизора к сети питания.
Вариант 23. «Иван Иваныч, можно?» – «Входи, Петров. Ну, сделал, что я тебя просил?» — «Видите ли... Если бы Вы немного прибавили...» – «Ты что, Петров! Сидоров за эту же работу берет в два раза меньше». — «Сидоров и сделал бы ее в два раза хуже. Я же работаю с личным клеймом. И потом, у меня семья – сами знаете». – «Ладно, проси что хочешь, но денег у меня нет». – «А как сделаю, на рыбалку отпустите?» – «Договорились, только ты моего Вовку с собой возьми, а то он тут с какой-то подозрительной компанией спутался». – «Если с Вовкой, то на Вашей лодке». – «Вот хитрец! Хорошо, поедем все вместе. Мне тоже не мешало бы проветриться. Ты дело только сделай».
Вариант 24. Уменьшение температуры приводит к снижению давления и уменьшению объема. Увеличение объема приводит к росту скорости потока. Повышение давления приводит к падению уровня, если при этом уменьшать температуру. Снижение скорости приводит к уменьшению давления или росту температуры. Технолог Иванов рассудил так: «Мне надо повысить давление при одновременном снижении скорости потока, поэтому я должен увеличить объем и температуру».
Вариант 25. «В эти брезентовые штаны не пытайся влезть – в них ты смотришься как маляр». – «Но и это шерстяное платье я тоже не надену – оно на мне как на вешалке». – «Как насчет кожаного пиджака и юбки с разрезом?» – «У юбки заело молнию, а пиджак вот здесь испачкан». – «Ну, это не беда; пятно прикроется сумкой». – «Да, пожалуй, ты права – сумку в любом случае брать нужно; она очень идет к моим любимым туфлям». – «Сломанную молнию заменит булавка, а ее прикроет пиджак». – «Хорошо, так и сделаем». – «Шерстяное платье одену я, если ты не возражаешь». – «Возражаю, надень уж лучше эти штаны».
|
|
