Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.5. Пространственные группы и двойственность

Масштаб осей при гиперболическом повороте

При гиперболическом повороте обычные тригонометрические функции, с которых мы начали вывод формул для ортогонального поворота, заменятся на гиперболические:

ch(φ + ψ) = chψ chφ + shψ shφ, 

sh(φ + ψ) = chψ shφ + shψ chφ;

Далее непосредственно по чертежу устанавливаем следующие отношения между отрезками:

thφ = x_B /ct_B = v/c = β, chφ = ,     shφ = ,

ch(φ + ψ) = ,     sh(φ + ψ) = ,

chψ = = = = ,

shψ = = = = ,

= · + · ,

= · .

Так как

= = ,

окончательно получим:

= = .

Аналогично,

= = .

Таким образом, из чертежа (рис. 2.39б) мы вывели преобразования Лоренца, в которых, однако, уже учтены изменения масштабных единиц штрихованной системы. В этих формулах фигурируют величины:

, , — нормированные координаты,

, — нормировочный, или масштабный, коэффициент.

Масштабный коэффициент k_n можно вывести иначе, если воспользоваться диаграммой, изображенной на рис. 2.40. Из чертежа найдем координаты:

ct' = ct"cos 2φ,     x' = x" + ct"sin 2φ.

Подставим найденные штрихованные значения в формулу преобразования декартовой пространственной координаты:

.

Так как

sin2φ – tgφ cos2φ = – = tgφ = β,

окончательно находим масштабный коэффициент k_n:

= ,

где ,      ,      .

Аналогичным образом можно выделить масштабный коэффициент k_n из второго ортогонального преобразования:

.

Так как cos2φ + tgφ sin 2φ = 1, окончательно находим:

= ,

Для проверки найденного масштабного коэффициента k_n можно вычертить реальный чертеж на бумаге с гиперболическим поворотом осей x' и ct', отвечающий преобразованиям Лоренца, и произвести измерение всех координат непосредственно по чертежу. Кроме точки A, возьмем еще четыре точки — B₁, B₂, C₁, C₂, — с другими координатами. Все измеренные величины занесены в табл. 2.93.

Таблица 2.93

Точка	x	ct	x'	ct'	β	kn	| s' |	| s |	| kn2s' |
A	63	135	30	131	0,267	0,931	16 103	14 103	14 103
B1	105	177	55	166	0,324	0,901	24,5 103	20 103	20 103
B2	105	177	77	165	0,176	0,968	21 103	20 103	20 103
C1	155	211	103	187	0,324	0,901	24,5 103	20 103	20 103
C2	155	211	122	192	0,176	0,968	21 103	20 103	20 103

По найденным координатам вычислим β и масштабные коэффициенты k_n, а также квадратичные инварианты s и s' по формуле:

s = (x)² – (ct)² = k_n² [(x')² – (ct')²] = k_n²s'.

Из табл. 2.93 видно, что без учета квадрата масштабного коэффициента k_n последнее принципиальное для преобразований Лоренца (группы Кэли — Клейна) инвариантное тождество не имело бы места. Это говорит о правильности нахождения масштабного коэффициента k_n.

Нельзя не заметить, что в получении преобразований Лоренца, соответствующих диаграмме Минковского, был использован искусственный прием: умножение числителя и знаменателя преобразований

        и        

на величину .

Для этих преобразований (их нельзя уже назвать Лоренцевыми или гиперболическими) не нужно вводить никаких масштабных коэффициентов. Для того чтобы найти значения координат x и ct, нужно просто подставить значения x' и ct' в два последних выражения.

Таким образом, диаграмма Минковского, вообще говоря, не удовлетворяет преобразованиям Лоренца. Но их соответствия можно добиться путем введения найденного выше масштабного коэффициента «сжатия» ( k_n ), который определяется намного проще, если из последних преобразований составить квадратичную форму (x)² – (ct)².

Между «эталонами длины и времени» (релятивистский термин, лучше сказать масштабными единицами) системы K и K' выполняются неравенства: Δx > Δx'_n и Δt > Δt'_n , т.е. происходит «сжатия» обеих штрихованных осей, так как масштабный коэффициент k_n < 1. Однако отсюда вовсе не следует, что в реальном физическом мире сокращаются пространство и время.

Обращаем особое внимание на то, что преобразования координат при ортогональном повороте (см. раздел dm2-5h) отличаются от выписанных преобразований только знаком перед членом βct'. Все вышеприведенные громоздкие выкладки воспроизводят релятивистскую логику рассуждений, традиционно связанную с диаграммой Минковского и преобразованиями Лоренца. Но фактически эти рассуждения лишние, так как рис. 2.40 непосредственно подсказывает нам простейшее решение.

Вот оно: чтобы получить преобразования, соответствующие диаграмме Минковского, нужно в ортогональных преобразованиях знак минус перед членом βct' заменить плюсом. В этом случае координаты в системе K любой точки А — неважно, лежит она на гиперболе или нет — можно найти по координатам системы K', если воспользоваться слегка модернизированными (т.е. учитывающими знак перед βct') формулами поворота декартовых систем отсчета.