Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

3.5. Раскраска графов и вопросы топологии

Зацепления, узлы и топология

Чтобы представить себе в деталях шар, цилиндр, конус, тор или тела Платона, нам не требуется никакой непосредственной визуальной опоры, поскольку их геометрические образы надежно хранятся у нас в мозгу с самого детства, и мы легко извлекаем их из памяти. Но для того, чтобы отчетливо представить себе, что произойдет с лентой Мёбиуса, если ее многократно разрезать вдоль окружности, нашего воображения порой не хватает и приходится прибегать к действиям. Подлинное пространственное понимание приходит только в процессе изготовления моделей. Реализацию вещественной модели можно осуществить при помощи ножниц, клея, ниток и, конечно же, каких-то подручных материалов: бумаги, картона, дерева, глины, жести, пластмассы и прочего сырья, особенно, если речь заходит о моделировании более сложных топологических объектов, чем петля Мёбиуса. Живое и наглядное представление дает также компьютерная графика и изготовление клипов.

В самом деле, чисто умозрительно трудно представить себе, что лента Мёбиуса имеет одну-единственную кромку. Эта уверенность приходит к вам только тогда, когда вы держите в своих руках реальную петлю и ведете пальцем по ее кромке. Теперь разрежьте петлю вдоль всей окружности. Могли бы вы заранее предвидеть, что произойдет с лентой? Проделайте эту процедуру, подсчитайте число кромок, угол скрутки ленты и тогда вы по-настоящему почувствуете, с чем имеет дело топология. Далее произведите следующий разрез и убедитесь, что лента, наконец, распалась на два кольца, образовав непростое зацепление. Попытайтесь хотя бы словами, не прибегая ни к каким математическим символам, описать характер зацепления и угол скрутки ленты. Наконец, каждую из лент вновь разрежьте вдоль и убедитесь, что возникло новое причудливое зацепление. Четыре простых зацепления показаны на рис. 3.81. Два правых называются изотопными, поскольку в конфигурации последнего зацепления имеется узел восьмерка.

     

Рис. 3.81

С доисторических времен люди завязывали узлы на веревках, знакомясь с их топологией на практике. Хорошо известны так называемые морские узлы, которые используются для соединения двух концов веревок или для крепления снастей. Морские узлы: беседочный, шкотовый, кошачьи лапки или удавка изучают и топологи. На рис. 3.82 взята минимальная информация об узлах, как она приведена в «Политехническом словаре».

Рис. 3.82

В книгах для рыболовов можно отыскать рисунки, показывающие, как нужно привязывать крючки к леске и крепить рыболовные снасти с помощью веревки (рис. 3.83).

Рис. 3.83

Первым, кто обратил внимание на узел как на математический объект, был, по-видимому, Гаусс. Его ученик Листинг посвятил узлам немало места в своем творчестве. В 1860 году Уильям Томсон (лорд Кельвин) пытался представить атомы вещества в виде вихрей, закрученных в узлы различной конфигурации. Молекулы получались путем зацепления нескольких узлов-атомов. К концу XIX веке была начата классификация узлов по их топологическим характеристикам. Это оказалось непростой задачей, поскольку не всегда можно понять, имеем ли мы дело с двумя различными узлами или с одним и тем же, изотопным. Наибольший вклад в классификацию узлов внесли Питер Тейт и Томас Киркман. В начале XX в. был выработан критерий идентификации узлов, опирающийся на так называемый многочлен Алесандера.

На рис. 3.84 приведены 88 схем простых узлов, взятые из книги Р. Кроуэлла и Р. Фокса «Введение в теорию узлов», которые на плоскости образуют от 3 до 9 пересечений. Узлы с тремя и четырьмя пересечениями имеют по одной неприводимой форме, 5 пересечений дают уже 2 неприводимые формы, 6 пересечений — 3 формы, 7 пересечений — 7 форм, 8 пересечений — 21 форму, а у 9 пересечений имеется 49 неприводимых форм. Неальтернирующие узлы помечены звездочкой. Альтернирующие узлы имеют строгое чередование единиц и нулей, если под единицей понимать верхнее положение нити в пересечении (переход), а под нулем — нижнее (проход).

Рис. 3.84

Например, узлы 8₈ и 9₄₁ альтернирующие, так как:

8₈ = 0101010101010101,     9₄₁ = 101010101010101010;

у неальтернирующих узлов такой регулярности не наблюдается:

8₁₉ = 1010010110011001,    9₄₂ = 100110101010110010

(для всех узлов движение по нити начинается с самого верхнего пересечения).

Под каждым узлом указаны коэффициенты многочлена Александера, однозначно характеризующие каждый узел и имеющие следующий вид: 

A(t) = a_2nt²ⁿ + …+ a_ntⁿ + … + a₀.

Так как этот многочлен обладает симметрией, т.е. все коэффициенты связаны равенством (a_i = a_{2n – i}), достаточно указать правую половину коэффициентов. Например, под 26-й формой узла с 9 пересечениями (9₂₆) стоит набор чисел: 13 – 11 + 5 – 1; следовательно, для этой формы многочлен Александера выглядит так:

A(t) = – t⁶ + 5t⁵ – 11t⁴ + 13t³ – 11t² + 5t – 1.

Процедура вычисления самих коэффициентов не простая и сейчас рассматриваться не будет. Нам важнее подчеркнуть роль наглядного образа для всякой науки и особенно такой, как топология.

Считается, что два различных узла, последовательно завязанных на одной веревке, подчинены коммутативному закону. Действительно, левый узел можно завязать в тугой узелок и пропустить через правый, как это показано на рис. 3.85.

Рис. 3.85

Основываясь на этих же топологических представлениях, можно понять, что на три узла распространяется закон ассоциативности. Число узлов на веревке может быть бесконечно большим, а сами узлы могут зацепляться друг за друга. При этом сама веревка может раздваиваться и образовывать структуру древовидной формы, как это показано на нижнем рис. 3.86.

Рис. 3.86

Из книги Джорджа Франсиса взяты 28 художественно выполненных рисунков (рис. 3.87), которые прекрасно демонстрируют, во что выливается теория графов, если она идет по пути абстрактного развития. Морской узел восьмерка (рис. 3.87, позиция 1) превратится в сплетенную окружность, названную узлом Листинга (позиция 2), если замкнуть его свободные концы. Чтобы убедиться, что трилистник 3₁ не сводим к узлу Листинга (4₁) или к элементарной звезде (5₁), нужно сперва попытаться процедуру сведения проделать самому на веревочных узлах. Для начала выполните следующее упражнение на воображение: идентифицируйте узлы с 1 по 8 (рис. 3.87) с классификацией узлов, приведенной на рис. 3.84. Можно быть уверенным, что с этой задачей вы не справитесь без реальной бельевой веревки или чего-то, что ее заменит.

Рис. 3.87

Рассказывать что-то более подробно о теории узлов и зацеплений не входит в наши планы, но несколько иллюстраций, сделанных профессиональным художником Франсисом, который иллюстрирует книги по топологии, здесь будет полезно. Его рисунки убеждают нас, что завязывать узлом можно не только линию, но и поверхность. Небольшая подкрутка петель (позиции 5 и 6) может принципиально изменить характер узла. Еще большие изменения произойдут, если один узел завязать в другой узел (позиции 8 и 9).

В теории узлов рассматриваются случаи, когда веревка опутывает какую-либо топологическую поверхность, например шар или тор (позиция 10). Сделанные в нужном месте разрезы поверхностей способствуют пониманию характера топологической структуры (позиции 11 — 13). Классификация завязанных в узел поверхностей представляет еще большую проблему, чем это было для линейных узлов; сравните пары форм, находящиеся на позициях 4 и 7, 14 и 15, 17 и 18, 19 и 20, 21 и 22, 23 и 24, 26 и 27. Теперь представьте себе трудность задачи по описанию узлов, выполненных из пространств трех или даже четырех измерений. Добавьте к этому самопересекающиеся поверхности, которые имеет бутылка Клейна и гептаэдр, но которых нет у топологических объектов, изображенных на рис. 3.87. Тогда, быть может, вы получите некоторое представление, с чем в действительности приходится иметь дело современным топологам.

Теперь мы вновь вернемся к истокам науки о зацеплениях, узлах и плетениях, к тем временам, когда человеку, вычерчивающему эти узоры требовались не математические навыки, а художественные. Рис. 3.88 включает несколько таких объектов, которые относятся к истинным произведениям искусства.

Рис. 3.88