Алгебра степенных операторов

Предлагаемая читателям работа не является учебником или законченной статьёй, поскольку находится в стадии исследования. Автор старается использовать простой математический язык, давая определения вводимым объектам исследования и пояснения вводимым обозначениям. Публикуются только результаты исследования, и раскрывается их взаимосвязь. Для понимания механизма получения результатов автор приводит примеры в основном без промежуточных выкладок. Давая оценки или утверждения, анализируя те или иные результаты, автор исходит из результатов имеющихся у него на сегодняшний день. Если в процессе дальнейшего исследования, появляются результаты, противоречащие существующим утверждениям, автор делает исправления. Но это не важно. Важно то, что все математические результаты, публикуемые в статье, автором проверены и перепроверены (возможны опечатки и ошибки при наборе, но по мере их обнаружения, сразу идет исправление). А как трактовать полученные результаты, пока теория находится в стадии разработки, личное дело любого человека.

Теперь, собственно, о работе. Что это? Это новая алгебра – «Алгебра степенных операторов». Слово «новая» не подразумевает никакой сенсации, поскольку алгебр можно создать бесконечное множество.

Всё что привнесено в алгебру «руками» это образующие нулевые и образующие единичные операторы, далее их перемножением получается бесконечное множество операторов, представляющее собой группоид. Сложность понимания операции умножения операторов такая же, как понимание операции дифференцирования или интегрирования степенной функции. Заслуживающие особого внимания математические результаты алгебры степенных операторов на сегодняшний день. В общем случае алгебра некоммутативна и неассоциативна, но строго детерминирована. Умножение двух конкретных операторов в определенной последовательности (в случае коммутативности, последовательность операторов не имеет значения) дает конкретный однозначный результат (оператор). На уровне нулевых операторов получено бесконечное множество классических конечных групп порядка 32 и 16 и бесконечное множество бесконечных групп. На уровне единичных операторов получены классические конечные группы порядка 16, 24, 96, подгруппой групп порядка 96 является группа порядка 48 изоморфная группе вращений декартовых координат в трехмерном пространстве и полной группе симметрии куба (октаэдра), которая широко используется в физике. Кроме того, комплексные единичные операторы дают ряд специальных функций – ортогональные многочлены, интегральную показательную, интеграл вероятности и др. Появляются структуры, формирующиеся по закону распределения чисел Фибоначчи. И все это появляется «естественным» образом, ничего извне не вносится, определены несколько исходных образующих операторов и операция умножения, дальше алгебра на базе этих исходных, развивается «сама по себе».

Асеев Иван Иванович
Кишинев, Молдавия
asivva@yandex.ru

Предисловие

Минувший век окончательно избавил нас от иллюзии найти основания математики. Их попросту не существует, как не существует и оснований мира, для описания которого служат математические знания. Раз нет оснований, значит, и нет аксиом — первичных законов математики, из которых ткут кружево своих скучных доктрин формалисты. Сейчас постепенно приходит понимание того, что аксиоматические приемы в основном обслуживают дидактические потребности учебно-образовательного процесса. Даже их доказательная сила во многом обесценивается из-за вороха схоластической (т.е. школьной и дидактической) шелухи, относящейся больше к субъекту, чем объекту теории.

Если нет оснований и аксиом, то с чего нужно начинать свои математические исследования? С конструктов, отвечаем мы, конструктивисты. Конструкты — это выбранные нами базовые элементы для будущих математических моделей. Должны ли они удовлетворять отдельным аксиомам коммутативности, ассоциативности, транзитивности, или целой системе аксиом алгебраической группы? Может быть, говорят конструктивисты, но это не самое важное для них. Главное, чтобы то самое кружево формализованной теории удовлетворяло определенным нуждам теоретика, например, интересующей его области реальности. При этом в качестве первичных элементов можно брать абсолютно новые, не вписывающиеся ни в какие ранее заготовленные схемы, и создавать на их основе оригинальные модели, которые ранее не попадали ни в один класс известных математических объектов.

И.И. Асеев пользуется этой смелой философией конструктивизма интуитивно и виртуозно, без какой-либо оглядки на историю и методологию науки. Между прочим, именно сухая конкретика является приоритетным принципом конструктивного подхода. Никаких предварительных дефиниций, спекулятивных лемм и теорем — этих атавизмов средневековой схоластики. Все силы брошены на возведение живого организма теории, обоснование которого автоматически вытекает из самой процедуры строительства. И.И. Асеев свободно парит в мире математических формул, которые сам же и создает, нисколько не заботясь о существовании похожих теорий, кто и что сделал до него.

Смелый новаторский дух — вот родовое отличие конструктивистов от формалистов. Конструктивист не будет стенать, заламывая руки в отчаянии, потому что не знает каких-то разделов математики. Он сам создает для себя полноценную математическую среду обитания. Так поступает И.И. Асеев: он выбрал для себя базовый элемент — степенной оператор, определил для него единственную операцию умножения и сконструировал так называемые нулевые и единичные образующие. Дальше начинается наслаждение творчеством, которому позавидует любой студент, заучивающий наизусть громоздкие и никому ненужные доказательства скучных теорем. Много проку за кем-то повторять цепочку формальных рассуждений, доказывающих справедливость не вами найденного выражения? Или, быть может, у вас разовьется невиданный талант в поиске решений искусственно придуманных упражнений?

Нет и еще раз нет! Математические навыки созревают во время естественного, а не насильно вызванного умственного процесса, который тут же прекращается, когда студент сдаст экзамен. Автора, создающего конструктивную теорию, не нужно подгонять хорошей или пугать плохой отметкой. С неподдельным интересом он без устали работает, пока у него есть хоть сколько-нибудь свободного времени. День и ночь с неослабным энтузиазмом он перебирает в голове бесконечные комбинации созданных им математических выражений. Поле его деятельности безгранично широкое; он выводит не одну или две банальных формулы, а длинные ряды совершенно новых последовательностей, охваченных единой гармоничной архитектурой. Внимательное изучение внутренней структуры степенных рядов позволяет автору обнаружить групповые свойства. Тут же возникает желание исследовать их систему подгрупп, построить решетки т.д.

И.И. Асеев прекрасно понимает, что математика — это не просто формализованный язык, приспособленный для описания тех или иных физических явлений. Математическая модель — это, в первую очередь, независимая от нас объективно существующая структура, жестко диктующая нам свои комбинационные возможности. Это только кажется, что мы возвели из виртуальных символов нечто субъективное и произвольное. На самом же деле, не прибегая ни к каким логическим доказательствам, пользуясь одной лишь порождающей процедурой и внимательно обозревая гармонию огромного количества формул, мы создаем реально существующую конструкцию.

Даже при отсутствии какой-либо аналогии с внешним миром созданная нами конструкция имеет определенную математическую ценность, поскольку в ней нет противоречий, она объективна и прекрасна сама по себе. Такое интеллектуальное богатство приобретается нами всякий раз, когда мы действуем конструктивным образом, не подлаживаясь под независимо существующие от нас явления. Формалист же апеллирует совсем к иным ценностям, например, к особо вычурному языку символов, который никто, кроме него и горстки избранных, не прочитает. Он выдумывает множество наукообразных терминов, непонятных даже для специалистов, окончивших математические отделения высшей школы. Когда же, наконец, перелезешь через железобетонную стену готических буковок и схоластических определений латинских или древнегреческих терминов, поражаешься убогости идей, предложенных формалистом.

Этого никогда не случится с конструктивистом. Он не стремится удивить читателя загадочным словцом, напустить на свои научные исследования таинственный туман учености или, уподобившись алхимику, зашифровать простенькую теорию в сложнейшую систему непонятных символов. «Алгебру степенных операторов» И.И. Асеева можно рекомендовать как образец истинно конструктивного подхода к делу. Здесь всё прозрачно, автор не делает из своей концепции непоколебимой догмы, в которой запрещено переставлять местами любые два символа. Напротив, берите и делайте, что хотите с его рядами. Он сам смело экспериментирует с математическими выражениями, предлагая неожиданные ходы в своем творческом поиске. Студентам и преподавателям советуем обратить внимание, прежде всего, на его творческую лабораторию, на общий конструктивный дух его мышления — здесь есть чему поучиться.

О.Е. Акимов