Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.1. Группа и связанные с ней понятия

Действия с 0,1-матрицами

Двум единицам – положительной (+1) и отрицательной (–1) – поставим в соответствие две 0,1-матрицы размером 2× 2:

(+1)  ⇒    = e,     (–1)  ⇒    = – e,        (2.16)

Произведем обычное перемножение этих матриц:

, т.е. как (+ 1) × (–1) = (–1),

, т.е. как (–1) × (–1) = (+1).

Убеждаемся, что при перемножении 0,1-матрицы ведут себя аналогично единицам (+1) и (–1). Следовательно, замена (2.16) позволяет воссоздать действия с отрицательными числами без использования самих отрицательных чисел.

Рассмотрим конкретный числовой пример:

,

Всем этим матрицам поставим в соответствие матрицы удвоенной размерности, в которых нет отрицательных чисел —

.

В матричных блоках 2 × 2 были приняты следующие равенства:

4 – 3 = 1 = ,

2 – 9 = – 7 = .

Однако можно принять, что

, .

Если мы не захотим смешивать положительные и отрицательные числа (подобно тому, как мы не смешиваем мнимую и вещественную компоненты комплексного числа) —

4 × e + 3 × (– e) ≠ 1 × e + 0 × (– e), 

2 × e + 9 × (– e) ≠ 0 × e + 7 × (– e),

то каждому числу будет отвечать бесчисленное множество матричных чисел, а одной операции умножения чисел – бесчисленное множество матричных умножений. Например, произведению (–3) × 4 = –12, будет соответствовать бесконечный ряд следующих эквивалентных операций:

и т.д. до бесконечности