Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.2. Группы на матрицах и подстановках

Представления группы квадрата

Перейдем к рассмотрению некоммутативной группы . Она отвечает пространственному вращению квадрата (рис. 2.5б). Вращения описываются следующей системой преобразования координат:

Все элементы распадаются на пять классов эквивалентности:

C0 = {e}, C1 = {a2}, C2 = {a, a3}, C3 = {b, a2b}, C4 = {ab, a3b}.

Число неприводимых представлений равно числу классов. Пользуясь критерием полноты набора неприводимых представлений (2.35), определим размерности пяти представлений:

.

Неприводимые представления {E0, E1, E2, E3, E4} приведены в табл. 2.48. Двухмерное представление E4 получается из преобразований координат для осей x и y; одномерное E1 отвечает преобразованиям оси z; минус единица представления E3 ставится для нечетных подстановок; строка для E2 записывается из соображений об ортогональности (2.30), когда известны три других одномерных представления.

Таблица 2.48

Помимо указанных пяти неприводимых представлений, в табл. 2.48 дано еще одно эквивалентное E4, ортогональное, двухмерное представление E5, полученное на базисе векторов, проведенных из центра координат к вершинам 0 и 3. Координаты вершин квадрата (рис. 2.25б) определяют базис для E4:

0 = (1, 1),     1 = (1, – 1),     2 = (– 1, – 1),    3 = (– 1, 1).

Таблица 2.49

В таблицу характеров (табл. 2.49), помимо неприводимых представлений, входят четыре приводимых: E6 – полученное на базисе x, y, z; E7 – полученное на базисе 0, 1, 2, 3; E8 = E4 · E4; E9 – регулярное представление. Используя формулу (2.33), можно провести следующие разложения:

E6 = E1 + E4    E5 = E0 + E1 + E2 + E3 + 2 · E4,

E7 = E0 + E3 + E4    E8 = E0 + E1 + E2 + E3.


 
  


Hosted by uCoz