Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

4.12. Ноль-аттрактор, π-аттракторы и квазиаттракторы

До сих пор мы рассматривали состояния мод, когда коэффициент а был больше единицы. А что происходит с модами, если a < 1? В этом случае мы имеем дело с так называемым ноль-аттрактором, который прижимает амплитуды всех высших мод к оси абсцисс. Эта ситуация представлена на рис. 4.68, где изображены моды с f 1 по f 15 при коэффициенте а, близком к единице. Но даже при этом сравнительно большом коэффициенте старшие моды, начиная с f 7, по всей длине оси абсцисс не превосходят величины ±0,5, как это видно в отдельном окошке, помещенном на данном рисунке. Условия для возникновения ноль-аттрактора могут сложиться и при коэффициенте а > 1, если речь идет об аттракторе высших родов. Так, на рис. 4.69 изображен знакомый нам по предыдущим рисункам аттрактор второго рода при коэффициенте а = 1,779765, когда все высшие четные моды прижаты к его основному четному уровню. Все четные моды распались на два класса; в один из них попали моды f 2, f 6, f 10, f 14, f 18, ..., в другой — f 4, f 8, f 12, f 16, f 20, ..., что, однако, не говорит о наличии субаттрактора 4-го рода, так как для этого нет четырех уровней.

Рис. 4.68

Рис. 4.69

С дальнейшим приближением коэффициента а к единице происходит формирование π-аттракторов, которые получили свое название ввиду соответствующих количественных характеристик, но которые по своей сути принадлежат к обычным аттракторам второго рода. Однако все же данные аттракторы отличаются от аттракторов второго рода способом формирования.

Рис. 4.70

Взгляните на рис. 4.70, где показана фаза формирования π-аттракторов. На основном рисунке при коэффициенте а = 0,995 успели вполне расправить свои амплитуды только первые 15 мод. На фрагменте, помещенном в левом верхнем углу рисунка, хорошо видно, что высшие моды, начиная с двадцатой, все еще плотно прижаты к оси абсцисс, где действуют мощные силы притяжения от ноль-аттрактора. Между тем коэффициент а отличается от полновесной единицы всего на каких-нибудь пять тысячных.

Рис. 4.71

Но вот коэффициент a достиг единицы, и π-аттракторы на рис. 4.71 предстали перед нашим взором во всей своей красе. Высота p-аттрактора равна π и его передний фронт находится в точке x = π; высота 2π-аттрактора равна 2π и его передний фронт находится в точке x = 2π; 3π-аттрактор, а равно 4π-, 5π-аттракторы и т.д., возникают в соответствующем месте. 2π-аттрактор слева и справа окружен бесконечным множеством π-аттракторов. Прямая f 0 касается левого угла π- и 2π-аттракторов (при а = 1 там сформировался прямой угол). В точке с координатами π по оси абсцисс и π по оси ординат произошло соприкосновение всех мод, которые проходят через эту точку. Поэтому π-аттрактор существует не только по причине касания мод f 2/f 4, f 4/f 6, …, но также в силу всевозможных комбинаций из этих мод, в частности, от касания f 0/f 52 и т.д.

То же самое относится к отрицательным и боковым π-аттракторам, а также к 2π-аттрактору. Для аттракторов второго рода общего вида такого размещения их вдоль оси абсцисс наблюдаться не будет. Ширина основного π-аттрактора равна Δx = 0,555; середина его расположена в точке x = 3,419. Скорость притяжения амплитуд к аттракторному уровню с ростом порядка мод показана в окошке, где представлен график убывания абсолютной величины разности. При n → ∞, будем иметь: |f n – π| → 0. 

В принципе, π-аттракторы притягивают моды точно так же, как это делает их предшественник ноль-аттрактор, т.е. синфазно по всем четным и нечетным модам.

Рис. 4.72

Бифуркация основных уровней π-аттракторов происходит по тому же сценарию, что и для Большого аттрактора и всех прочих аттракторов. Если m > n, то сначала расщепляются основные уровни mp-аттрактора, затем уровни np-аттрактора. На рис. 4.72 видны дискретные микроуровни субаттракторов 4-ого рода, который проявил себя при коэффициенте a = 1,069. В отдельном окошке показаны аналогичные микроуровни в увеличенном виде, но взятые уже с вершины «башни», расположенной в районе x = 10. Тем самым показано, что идентичными метаморфозами охвачены все 2π-аттракторы, разбросанные вдоль оси абсцисс, а не только тот, что расположен в точке x = 2π. С ростом величины коэффициента (a = 1,083) происходит сложная перестройка мод, о которой в деталях мы поговорим позже.

Рис. 4.73

На следующем рисунке показаны метаморфозы, которые претерпевают основные уровни π-аттрактора, когда коэффициент а перевалил отметку в 1,25. Если коэффициент a = 1,256, то наблюдается появление микроуровней от субаттрактора третьего рода, т.е. π-аттрактор фактически превращается в 2·3-аттрактор. При коэффициенте a = 1,259 π-аттрактор трансформируется в 2·3·2-аттрактор. Две эти фазы зафиксированы в двух окошках рис. 4.73, на котором видны основные уровни аттрактора первого рода, покрывающего ось абсцисс в точках, где отсутствует аттрактор второго рода.

Рис. 4.74

Опуская множество фаз, связанных с проколом π-аттрактора по сценарию прокола аттрактора второго рода, мы приводим картинку, где в основном господствуют силы гашения амплитуд широким уровнем аттрактора первого рода. На рис. 4.74 при коэффициенте a = 1,6 этот уровень по всей длине оси абсцисс, за исключением ее начала и мест пересечения оси модами f 1 и f 2, выглядит темным. В районе ранее существовавшего π-аттрактора проколов аттрактора первого рода почти не наблюдается, но в зоне исчезнувшего 2π-аттрактора имеются множественные проколы, произведенные модой f 47. Большая вертикальная стрелка указывает на прокол аттрактора первого рода в зоне x = 6. Это место в увеличенном масштабе показано в отдельном окне данного рисунка. Видно, что аттрактор первого рода в некоторых местах сильно изрезан и представляет собой густую гребенку с тонкими зубцами. Там, где зубцы особенно тонки, происходит прокол аттрактора. Один из таких проколов модой f 47, амплитуда которой уходит вертикально вниз, обозначен в окне горизонтальной стрелкой. Может возникнуть вопрос, почему отсутствует прокол в соседней области справа, где зубцы аттрактора первого рода тоже очень тонки? Ответ прост: при выборе чуть меньшего шага построения графиков в месте, где стоит знак вопроса, появится прокол. При крупном шаге многие выходы амплитуды моды за пределы аттрактора оказались просто скрытыми от наших глаз.

Рис. 4.75

При коэффициенте a = 1,7 наблюдаются многочисленные проколы и в том месте, где раньше находился π-аттрактор. Рис. 4.75, на котором запечатлен этот момент, имеет окошко, в котором видно, что амплитуда моды f 47 в местах разрушенного аттрактора первого рода выходит далеко за пределы ±200. Общая картина поведения мод, когда коэффициент меняется в пределах 1 < a < 2, будет описана ниже.

Сейчас нас будет интересовать структура мод, складывающаяся при a = 2. При этом значении коэффициента по всей оси абсцисс возникают любопытные сооружения, напоминающие аттракторы, но ими не являющиеся. Они удерживают амплитуду конкретной моды на некотором дискретном уровне, когда переменная x проходит определенный участок по оси абсцисс. Но следующая мода на этом участке принимает новое, более высокое дискретное значение, так что настоящих аттракторов, притягивающих все без исключения моды к одному, двум и т.д. значениям, здесь не возникает.

Рис. 4.76

Эти странные образования, которые только маскируются под аттракторы, получили название квазиаттракторов. Четырехступенчатые «этажерки» таких квазиаттракторов, созданные четырьмя модами f 25 — f 28 показаны на рис. 4.76. Обратите внимание на вертикальные размеры этажерок: аттракторных уровней с высотой или глубиной в 1 или 2 миллиарда единиц не существует. Законы формирования квазиаттракторов весьма любопытны. Этажерки возникают, разумеется, не только при миллиардных уровнях амплитуды, когда имеешь дело с высшими модами, но и при миллионных, стотысячных и меньших значениях, когда строишь низшие моды. По оси абсцисс широкие, узкие и очень узкие этажерки разбросаны почти беспорядочно, но есть места, где они полностью отсутствуют, нет даже самых узких квазиаттракторов. В окошке рис. 4.76 показан участок оси в области x = 3,0, где видны те же самые четыре моды, для которых, однако, амплитуды оказалась почти в 1000 раз меньше, чем это видно на основном рисунке.

Рис. 4.77

Рис. 4.78

Несмотря на кажущуюся хаотичность, некоторая закономерность в расположении квазиаттракторов вдоль оси абсцисс просматривается. Так, например, широкий квазиаттрактор, который на рис. 4.77 представлен модами f 15 — f 21, находится в точности на месте π-аттрактора; его ширина Δx = 0,555 тоже отвечает ширине π-аттрактора; поэтому он назван p-квазиаттрактором. Уровни π-квазиаттрактора отличаются в a = 2 раз. При крохотном отходе от этого значения, при коэффициенте a = 1,99999999998, уровень моды f 21 исчезает и ее амплитуда начинает колебаться обычным образом, образуя характерные биения относительно нулевого уровня. Максимальная амплитуда этих колебаний легко достигает значений прежнего уровня π-квазиаттрактора, залегающего на глубине почти семи миллионов единиц. При коэффициенте a = 1,99999999980 исчезает уровень моды f 20, и уже она образует гирлянду, которую можно видеть на рис. 4.77. В правой части этого рисунка видны также узкие этажерки из мод f 15 — f 21.

Прокол π-квазиаттрактора показан на рис. 4.78, где имеется окошко, в котором виден в увеличенном масштабе проколотый уровень от моды f 15 при a = 1,99999998000, залегающий на стотысячной глубине. На следующем рисунке (рис. 4.79) представлен генезис квазиаттракторов. Обратите внимание, что мода f 5 формирует плоскую вершину локальных максимумов; уровни от моды f 4 проходят примерно через середины импульсов от моды f 5, а амплитуды от моды f 3 достигают середины максимумов амплитуды от моды f 4. За исключением аттракторов первого рода, аттракторов более старших родов здесь, по-видимому, не возникает.

Рис. 4.79

Почему максимальная мода, показанная на рис. 4.76, имеет 28-ой порядок? Что произойдет с модами f 29, f 30, ..., они по-прежнему будут давать возрастающие уровни, когда каждый последующий становится в два раза выше предыдущего? На эти вопросы мы ответим позже, а сейчас займемся тонкой структурой аттракторов.