Конструктивная математика

Акимов О.Е.

8. Инерция математической формы

Об Архимеде и его конструктивном уме можно говорить долго. Но нам сейчас важно подчеркнуть роль геометрических пропорций для зарождающейся рациональной науки, в связи с чем обратимся к пятой книге «Начал» Евклида, которая, как мы уже сказали, была написана на основе математических изысканий Евдокса. В третьем определении, предваряющим эту книгу, говорится: «Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин». Это означает, что в отношении a/b, величины a и b должны быть одного типа, т.е. измеряться в одних и тех же величинах длины, площади или объема, а если бы это касалось физики, то и длительности, веса, степени нагрева и т.д. Это определение не является «мертвым», подобно определениям точки и прямой, о которых мы будем говорить ниже. Ограничение по «однородности величин», наложенное Евклидом и, быть может, при участии Евдокса, обернулось непреодолимым препятствием для физиков XVI – XVII столетий. Действительно, к этому времени в геометрии уже проводились сложные вычисления площадей и объемов геометрических фигур; зарождалось интегральное и дифференциальное исчисление; существовала вполне развитая алгебра, заимствованная у арабов; Декарт предложил мощный метод пространственных координат в рамках своей аналитической геометрии. Отчего же тогда так тяжело и медленно продвигались дела в области механики и физики вообще?

Оказывается, развитие математического аппарата сдерживалось как раз этим требованием однородности. Очень больших трудов стоило подобрать адекватную формулу для той или иной физической ситуации, где бы однородные величины выражались пропорцией вида a/b = c/d. Это невинное, на первый взгляд, евклидово ограничение, было не менее пагубным, чем ограничение Платона, который потребовал от астрономов своей Академии, чтобы те выражали все перемещения планет по ночному небосводу через равномерные движения по окружности. Кеплер освободился от предрассудка Платона, введя в 1610 году эллипс в качестве орбиты Марса. Однако он не смог избавиться от ограничений Евклида. Его законы были сформулированы в соответствии с требованием третьего определения пятой книги. 

Так, второй закон Кеплер формулирует в виде пропорции: отношение двух времен τ₁ и τ₂, потребных для прохождения двух различных дуг орбиты планеты, равно отношению заметаемой радиусом орбиты соответствующих площадей σ₁ и σ₂, что отвечало пропорции: τ₁/τ₂ = σ₁/σ₂. Третий законы Кеплер выражался аналогичным образом: периоды планет относятся друг к другу точно так же, как полуторные степени радиусов их орбит: 

T₁ : T₂ = : .

Окончательно установленные Галилеем кинематические отношения (над ними бились и средневековые математики) между временами, длинами пути, скоростями и ускорениями движущихся по наклонной плоскости тел, были представлены в форме прямых и обратных пропорциональных зависимостей. 

Ученик Галилея Кастелли в 1628 году, изучая законы движения воды по трубам различного диаметра, установил, что отношения скоростей перемещения жидкости обратно пропорционально отношению площадей сечения труб, т.е. он описал свой закон всё той же пропорцией: v₁/v₂ = S₂/S₁. 

Декарт считал, что отношение синусов угла падения (φ₁) и угла преломления (φ₂) световых лучей обратно пропорционально отношению скорости света в менее плотной среде (c₁) к скорости света в более плотной среде (c₂): sin φ₁/sin φ₂ = c₁/c₂. Ферма не согласился с Декартом и считал, что правильной формулой будет противоположная пропорция: sinφ₁/sinφ₂ = c₂/c₁. Ньютон согласился с Декартом, а Гюйгенс — с Ферма, однако много позже опыт Фуко показал, что Ферма и Гюйгенс были правы, т.е. скорость в более разряженной среде выше, а самой большой она будет в вакууме.

Гюйгенс много размышлял над вопросами центробежной силы и колебанием маятника. Сегодня формулы для центробежной силы (F), ускорения (a) и периода колебаний (T) выглядят следующим образом: 

,     ,     ,

где m — масса, v — скорость движения, r — радиус кривизны, l — длина нити маятника, g — ускорение свободного падения. Любую неизвестную величину можно найти по известным, путем несложных манипуляций символами. 

Но посмотрите, каким образом Гюйгенс выражает свои мысли. В трактате «О центробежной силе», написанном в 1659 году и опубликованном в 1703, он приводит 13 теорем. Первые четыре касались, фактически, выписанных здесь формул, которые, однако, представлялись им в виде знакомых нам пропорций: 

1) если T₁ = T₂, то a₁/a₂ = r₁/r₂, 

2) если r₁ = r₂, то a₁/a₂ = , 

3) если v₁ = v₂, то a₁/a₂ = r₁/r₂, 

4) если a₁ = a₂, то T₁/T₂ = .

Таким образом, с Античных времен до Нового времени включительно евклидовы «Начала» накладывали сильное ограничение на составление формул. Из этого проистекала та страшная беда, из-за которой физики не могли оформить математической формулой такое элементарное понятие, как скорость, хотя каждый человек прекрасно представлял, что это такое. Если первое тело двигалось в полтора раза быстрее второго, древние предпочитали говорить: при равных временах t₁ = t₂ первое тело пройдет большее расстояние, чем второе в отношении: S₁/S₂ = 3/2; или говорили: равные пути S₁ = S₂ первое тело пройдет за меньшее время, чем второе; это показывалось другим отношением: t₁/t₂ = 2/3. Составить же дробь S/t (путь/время) им не приходило в голову. При этом дроби 3/2 и 2/3 воспринимались как двухкомпонентные агрегаты, а не вещественные числа 1,5 и 0,66(6) в нашем понимании.

Разумеется, всякое явление имеет как дурную, так и хорошую сторону, и на первых порах пропорции сыграли важную положительную роль в физике, которую тяжело не признать. Так, три газовых закона, а именно: 

закон Бойля – Мариотта: p₁/p₂ = V₂/V₁, T = const; 

закон Шарля: p₁/p₂ = T₁/T₂, V = const;

закон Гей-Люссака: T₁/T₂ = V₁/V₂, p = const;

где p — давление, V — объем, T — температура, открыли молекулярную физику газовой фазы вещества. А закон Паскаля, т.е. способность жидкости передавать равные давления во все стороны, и связанные с этим законы пресса положили начало молекулярной физике жидкостной фазы вещества.

Под прессом здесь понимается гидравлический усилитель, состоящий из сообщающихся цилиндров различного диаметра, наполненных какой-либо жидкостью (чаще всего маслом или водой), и двух поршней, находящихся каждый в своем цилиндре. Законы пресса гласят: при одном и том же давлении на поршни (p = const) отношение сил (F), давящих на поршни, пропорционально отношению площадей (S) поперечного сечения сообщающихся цилиндров, т.е. F₁/F₂ = S₁/S₂, однако отношение этих сил обратно пропорционально перемещению (h) соответствующих поршней внутри цилиндра, т.е. F₁/F₂ = h₂/h₁.

За последней пропорцией узнается архимедов закон рычага: F₁/F₂ = l₂/l₁, где под l₁ и l₂ понимается длина плеч рычага. Действие же гидравлического усилителя связано с условием несжимаемости жидкости, т.е. S₁h₁ = S₂h₂ = V = const. Эти же законы лежат в основании работы барометра и других гидравлических устройств, где используется трубка Торричелли U-образной формы. Таким образом, законы прямой и обратной пропорциональности были важны для становления физики, но впоследствии эта математическая форма использовалась крайне редко и оказывала на развитие науки больше тормозящее, чем ускоряющее действие. 

За третьим определением в пятой книге Евклида шло такое: «4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». Это означает, что отношение a/b, в котором a < b, можно с помощью целого числа n превратить в неравенство na > b, а если было a > b, то с помощью другого целого число m изменить на неравенство a < mb. 

Наиболее конструктивным было пятое определение, играющее важную роль для доказательства множества теорем: «5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке».

Так, если имеет место равенство двух отношений a/b = c/d, причем ma > nb, ma = nb, ma < nb, то будет выполняться и mc > nd, mc = nd, mc < nd. Это положение, фактически, играет роль аксиомы, так как на ее основе затем доказываются немалое число теорем, в частности, теорема 4, которая гласит: если a/b = c/d, то ma/nb = mc/nd (a/b = c/d ⇒  ma/nb = mc/nd).

Сформулируем еще ряд теорем в символьной форме, опирающихся на эту аксиому:

теоремы 7 и 9: a = b ⇔  a/c = b/c;
теорема 8 и 10: a < b ⇔  a/c < b/c; a > b ⇔ > b/c;
теорема 12: a/b = c/d ⇔ a/b = c/d = (a + c)/(b + d);
теорема 13: a/b = c/d, c/d > e/f ⇒ a/b > e/f;
теорема 15: a/b ⇒ na/nb;
теорема 16: a/b = c/d ⇒ a/c = b/d;
теорема 22: a/b = c/e, b/c = e/f ⇒ a/c = d/f.

Эти достаточно тривиальные теоремы очень полюбились схоластам. Они увеличили число пропорций и дали им специальные латинские наименования.

a/b = c/d — permutando или alternando
b/a = d/c — invertendo,
(a + b)/b = (c + d)/d — componendo,
(a – b)/b = (c – d)/d — dividendo илиdivisim,
a/(a + b) = c/(c + d) — convertendo,
(a + b)/(a – b) = (c + d)/(c – d) — mixtim и т.д.

Известный английский математик Джон Валлис (Уоллис) в своей «Алгебре» 1685 года довел число производных пропорций до 52. К этими пропорциям часто прибегал и Ньютон при доказательствах физических теорем в «Математических началах натуральной философии».

Пропорция, как устойчивый стереотип конструктивного мышления, очень долго сохранялась в математике. Достаточно сказать, что понятие квадратного корня из числа a вошло в европейскую математику через определение Декарта, который дал его с помощью пропорции 1 : x = x : a, отсюда x = . Аналогичным образом он определял корень n-ой степени из a: 

1 : x₁ = x₁ : x₂ = x₂ : x₃ = ... = x_{n – 1} : a; 

отсюда x₁ = = = ... = .

Потом Ньютон, не ссылаясь уже на французского математика, определил извлечение корней точно таким же способом. После него во всей Европе понятие среднего пропорционального стали тесно увязывать с радикалами. Напомним, однако, что знаменитую задачу удвоения объема куба Гиппократ Хиосский (V в. до Р.Х.) сводил к построению двух средних пропорциональных: a : x = x : y = y : b. Если по условию задачи требовалось выполнить равенство b = 2a, то это приводило к извлечению кубического корня из 2, так как x³ = 2a³ и x = a.

Огромная масса задач, перешедшая к европейцам от арабов, формулировалась в традициях пропорций, заложенных еще Евдоксом. Эти задачи приводили к уравнениям второй, третьей и четвертой степени, решением которых в основном и были заняты математики-конструктивисты Нового времени. 

Например, знаменитый арабский математик аль-Хорезми (787 – 850) решал задачу, по условию которой требовалось разделить число 10 на два слагаемых x и 10 – x так, чтобы выполнялось условие 

x : (10 – x) = (10 – x) : x = ,

что приводило к квадратному уравнению 

(2 + )x² + 100 = (20 + )x  

с корнем, равным x = 5 – .

Европейские же математики (Кардано и его современники) решали задачу, которая формулировалась следующим образом: «Разделить число 10 на три части так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию, причем произведение первых двух частей равнялось 6». Это условие задачи приводило к пропорции вида: 

или к уравнению четвертой степени: 

x⁴ + 6x² + 36 = 60x.

Но самой популярной пропорцией, пришедшей из Античного времени в Новое, была, конечно, гармоническая пропорция, названная Леонардо да Винчи золотым сечением. Она возникала путем деления отрезка a (пусть a = 1) так, чтобы его большая часть (x) была средней пропорциональной между длиной всего отрезка и его меньшей части, т.е. 

1 : x = x : (1 – x). 

Эта пропорция сводится к квадратному уравнению 

x² + x – 1 = 0, 

имеющего положительное решение, равное 

x = 0,61803398874... 

Отношение длины всего отрезка к длине его большей части, равное отношению большей части к меньшей, равно также сумме длин всего отрезка и его большей части: 

y = 1/x = x/(1 – x) = 1 + x = 1,61803398874...,

а отношение длины всего отрезка к длине его меньшей части равно удвоенной длине всего отрезка плюс длина его большей части: 

z = 1/(1 – x) = 1 + (1 + x) = 2,61803398874...

Гармоническая пропорция означает также, что x(1 + x) = 1 или x = 1/(1 + x). Многократная подстановка x в последнее выражение порождает бесконечную цепную дробь следующего вида:

;

ее приближения x ≈ , , , , , , , ≈ 0,619.

Числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... называются числами Фибоначчи (φ_n). Они обладают следующими замечательными свойствами: каждое последующее число в ряду получается как сумма двух предыдущих, т.е. 

φ_{n + 1} = φ_{n – 1} + φ_n.

Отсюда выводится формула Кассини для квадратов чисел Фибоначчи:

φ²_n = φ_{n – 1} · φ_{n + 1} + (–1)^{n + 1}

Например, при φ₃ = 2, φ₄ = 3, φ₅ = 5 получаем: 9 = 10 – 1.

В числовом ряду Фибоначчи выявляются и другие красивые закономерности, в частности: 

φ_2n = φ_n · (φ_{n – 1} + φ_{n + 1}), 

φ_3n = φ³_{n + 1} + φ³_n – φ³_{n – 1}; 

так, при φ₂ = 1, φ₃ = 2, φ₄ = 3, φ₅ = 5, 

имеем φ_{2 · 4} = φ₈ = 21 и φ _{3 · 3} = φ₉ = 34.

Если воспользоваться обозначением предела:

y = ,

то справедливо выражение:

yⁿ = y^{n – 1} + y^{n – 2}.

Например, при n = 4 имеем:

6,8541019662… = 4,2360679774… + 2,6180339887…

при n = 5:

11,0901699437… = 6,8541019662… + 4,2360679774…и т.д.

Кроме того, верны двe бесконечные цепочки равенств:

…,

… ,

а также две формулы Бине:

для четных n = 2k: , и

нечетных n = 2k + 1: ,

Другая пара формул задает числа Люка l:

для четных n = 2k: l₊ = yⁿ + y^–n   и

нечетных n = 2k + 1: l_– = yⁿ – y^–n,

которые дают следующий ряд Люка:

l = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, …}.

Получается, что каждое целое число l можно разложить на пару иррациональных чисел — факт весьма нетривиальный для теории чисел. Можно ставить вопрос в логической плоскости: существует ли разложение целого числа на сумму двух иррациональных ? Далее соответствующими формальными средствами искать ответ на него. А можно искать это разложение в конкретных числах, в частности, так:

n = 1:    l_– = 1 = 1,6180339887… – 0,6180339887…
n = 2:    l₊ = 3 = 2,6180339887… + 0,3819660112…
n = 3:    l_– = 4 = 4,2360679774… – 0,2360679774…
n = 4:    l₊ = 7 = 6,8541019662… + 0,1458980337…
n = 5:    l_– = 11 = 11,0901699437… – 0,0901699437…
… … … … … … … … … … … … … … … … … …

Этот второй путь скорее всего выберет конструктивист: тем самым он решит не только формальную задачу на существование, но и даст алгоритм нахождения нужного разложения.

Итак, однажды возникшая конструктивная форма, принесшая на первых порах немалую выгоду для науки, затем начинает играть заметно негативную роль и активно мешать нормальному развитию знаний. Отрицательное влияние закона пропорции сказалось на становлении механического понятия скорости материальных тел и на открытии многих доступных законов физики. Пагубность данной математической формы проистекала не из ее самой, а из формального предписания, которое вошло в первый учебник геометрии как обязательная норма. Подобные вредные принципы часто навязываются «началами» школьного всеобуча, которые затем бесцеремонно внедряются в изначально свободную интеллектуальную сферу и регламентируют ее.