Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталыАкимов О.Е.
2.1. Группа и связанные с ней понятия
Обобщенное комплексное число
Теперь обратимся к комплексным числам. Как известно, они строятся на базе четырех единиц:
i0 = 1, i1 = i, i2 = – 1, i3 = – i,
которые перемножаются в соответствии с табл. 2.5.
Таблица 2.5
i0 i1 i2 i3 i0 i0 i1 i2 i3 i1 i1 i2 i3 i0 i2 i2 i3 i0 i1 i3 i3 i0 i1 i2 Индексы базисных единиц подчиняются закону сложения по mod (4). Этот закон сложения получается путем сдвига каждой последующей строки таблицы умножения на одну позицию влево относительно каждой предыдущей строки. Одновременно рассмотрим табл. 2.6, в которой индексы базисных единиц также циклически сдвинуты на одну позицию вправо.
Таблица 2.6
i0 i1 i2 i3 i0 i0 i1 i2 i3 i1 i3 i0 i1 i2 i2 i2 i3 i0 i1 i3 i1 i2 i3 i0 На основе табл. 2.6 построим четыре 0,1-матрицы:
(2.17)
i0 =
, i1 =
,
i2 =
, i3 =
.
Непосредственным перемножением убеждаемся, что в отношении этих матриц действует закон умножения, выраженный табл. 2.5:
i0 = i1· i3 = 1, i3 = i1 · i2 = – i и т.д.
Обобщенным комплексным числом x будем называть матрицу размером 4 · 4:
x = х0i0 + х1i1 + х2i2 + х3i3 =
, (2.18)
Формула умножения двух обобщенных комплексных чисел x и y вытекает из перемножения двух матриц вида (2.18):
xу =
·
= (2.19)
= (х0у0 + х1у3 + х2у2 + х5у1) i0 + (х0 у1 + х1у0 + х2у3 + х3у2) i1 +
+ (х0у2 + х1у1 + х2у0 + х3у3) i2 + (х0у3 + х1у2 + х2у1 + х3у0) i3.
При перемножении обобщенных комплексных чисел положительные и отрицательные компоненты результирующего числа не перемешиваются. Если принять обычные действия в отношении положительных и отрицательных единиц, которые мы обозначим как j0 и j1, то из (2.19) получим:
(х0у0 + х1у3 + х2у2 + х3у1) j0 + (х0у1 + х1у0 + х2у3 + х3у2) j1 –
– (х0у2 + х1у1 + х2у0 + х3у3) j0 – (х0у3 + х1у2 + х2у1 + х3у0) j1 =
= [(х0 – х2)(y0 – y2) – (х1 – х3)(y1 – y3)] j0 +
+ [(х0 – х2)(y1 – y3) + (х1 – х3)(y0 – y2)] j1. (2.20)
Введя новые обозначения для координат традиционных комплексных чисел а и b, образованных на базисе j0 и j1, будем иметь знакомую нам со школы формулу умножения. Итак, обозначим
а0 = х0 – х2, а1 = х1 – х3, b0 = y0 – y2, b1 = y1 – y3, (2.21)
тогда из (2.20) имеем
(а0b0 – а1b1) j0 + (а0b1 + а1b0) j1 = (а0j0 + а1j0) · (b0j0 + b1j1) = ab.
Из равенств (2.18) — (2.21) вытекает возможность представления в матричной форме действий над комплексными числами. Возьмем для примера два конкретных комплексных числа a и b; их произведение дает число c в соответствии с традиционной формулой:
ab = (–3 + i) · (1 – 2i) = –1 + 7i = c.
В матричном представлении будем иметь:
ab =
=
=
= с.
Здесь для числа с положительное и отрицательное матричные числа вычитались: 2 – 3 = –1. При перемножении же обобщенных комплексных чисел x и у, как уже было сказано, отрицательные и положительные компоненты не будут перемешиваться, как того требует формула (2.19):
xy = (1i0 + 3i1 + 4i2 + 2i3) · (2i0 + 3i1 + 1i2 + 5i3) =
= (27i0 + 31i1 + 28i2 + 24i3) =
=
= z.
Геометрический смысл умножения двух комплексных чисел хорошо известен – это поворот в комплексной плоскости. «Вращательность» числам сообщается за счет цикличности базиса (табл. 2.2), которая проявляется еще и в том, что последовательное возведение в степень мнимой единицы даст все четыре типа единиц:
i0 = i , i2 = –1 , i3 = – i, i4 = i0 = 1, (2.22)
Мнимая единица называется образующей циклического базиса комплексного числа. Любые четыре 0,1-матрицы, обладающие свойством цикличности в смысле (2.22), будут давать изоморфные структуры. В частности, 0,1-матрицы вида:
i0 =
= e,
i1 =
= i,
i2 =
= –e,
i3 =
= – i,
которые мы обозначим как (2.23). При перемножении эти матрицы дадут табл. 2.5.
Базис (2.23) подобен базису (2.17), т.е. одни матрицы можно получить из других путем перестановки 2-го и 3-го столбцов и соответствующих строк с одновременным переобозначением базисных единиц табл. 2.6. Эту процедуру, однако, можно осуществить и с помощью трансформационной матрицы T, которая участвует в преобразовании подобия (2.8), для i1 будем иметь
i1 = T–1 · i'1 · T =
=
.
Матрицы T и T–1 одинаковы, так как они симметричны.
Два базиса 0,1-матриц (2.17) и (2.23) образуют изоморфные циклические группы, поскольку имеют одну и ту же таблицу умножения (табл. 2.5). Положительная (+1) и отрицательная (–1) единицы и соответствующие им 0,1-матрицы (2.16) также составляют изоморфные группы из двух элементов. Можно сконструировать такую систему «комплексных» чисел, базис которых будет обладать свойством цикличности, но с периодом, равным не 4, а 3, 5, 6, 7, 8 и т.д. Все они будут группами. Соответствующие таблицы циклических сдвигов на позицию влево и на позицию вправо с периодом, равным 6, представлены табл. 2.7 и 2.8, в которых выписаны только индексы базисных единиц, так как именно они несут всю информацию о строении группы.
Таблица 2.7
0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 0 1 2 3 4 Таблица 2.8
0 1 2 3 4 5 5 0 1 2 3 4 4 5 0 1 2 3 3 4 5 0 1 2 2 3 4 5 0 1 1 2 3 4 5 0 Вид обобщенного комплексного числа на базе шести единиц и формула их перемножения аналогичны выражениям (2.18) и (2.19); ничего принципиально нового в них нет.
|
|
