Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.3. Групповые решетки из подгрупп

Отношение порядка

В этом подразделе мы продолжим морфологический анализ групп, но теперь уже с заметным упором на отношение порядка, которое, прежде всего, реализуется в словах «быть подгруппой» или, более развернуто, «совокупность элементов G₁ образует подгруппу в группе G₂». Естественно, подгруппа G₁ включена в группу G₂, однако отношение включения является слишком широким, а значит и более бедным понятием, чем быть подгруппой. Оно больше подходит к аморфным множествам, о которых речь впереди, хотя любое отношение порядка определяется через три закона: рефлексивности, антисимметричности и транзитивности. Для отношения быть подгруппой все три закона выполняются. Закон рефлексивности выполняется постольку, поскольку всякая группа G является несобственной подгруппой группы G. Закон антисимметричности также выполняется, так как если G₁ является подгруппой G₂ и G₂ является подгруппой G₁, то группы G₁ и G₂ изоморфны. Наконец, для подгрупп справедлив и закон транзитивности: если G₁ является подгруппой G₂ и G₂ является подгруппой G₃, то G₁ непременно будет подгруппой G₃.

Подгруппы G₁, G₂, G₃ и т.д. образуют узлы, а отношения типа «G₁ является подгруппой G₂» — связи между узлами G₁ и G₂. Узлы и связи вместе составляют решетку или структуру подгрупп группы G, которая обозначается S(G). Две несобственных подгруппы группы G ограничивают решетку S(G) снизу и сверху, являясь ее полюсами. Решетку S(G) удобно изображать графически и, как некий графический объект, она обладает определенными групповыми свойствами, отличными от групповых свойств исходной группы G. Группу симметрии решетки обозначим символами S[G]. Нередко группа S[G] изоморфна или инвариантна (т.е. G является подгруппой группы S[G]) относительно всех преобразований исходной группы G; в этих случаях она называется прозрачной.

Решетки всех коммутативных групп инверсные. Это значит, что существует такая подстановка i, которая без нарушения связей переворачивает решетку "с ног на голову" и заменяет полюса на противоположные. Встречаются такие некоммутативные группы, решетка которых совпадает с решеткой от какой-нибудь коммутативной группы. В таких случаях решетка от некоммутативной группы тоже будет инверсной. Инверсная подстановка i не входит в группу симметрии решетки S[G]. Это особая подстановка, осуществляющая преобразование узлов решетки вдоль ее вертикальной оси, соединяющей полюса, тогда как группа преобразований S[G] переставляет узлы, не изменяя их порядка. Порядок узла совпадает с порядком подгруппы, которую он представляет. Совокупность узлов одного порядка образует уровень соответствующего порядка. Порядок узла или порядок всего уровня, естественно, является делителем порядка группы G. Число уровней для групп с небольшим числом элементов в большинстве случаев равно числу делителей порядка группы. Если это условие выполняется, решетка называется правильной. В правильных решетках все пути от нижнего полюса до верхнего содержат одинаковое число связей. Группа тетраэдра T двенадцатого порядка, у которой отсутствуют подгруппы шестого порядка, начинает бесконечный ряд неправильных решеток. В неправильных решетках число связей между полюсами различно.

Чрезвычайно важно понять с самого начала одну простую истину: подгруппы не появляются в результате какой-либо нашей с вами деятельности, например, через процедуры объединения, пересечения или умножения элементов. Объективно существуют группы, и они независимо от нас поделены на подгруппы. Наша задача состоит лишь в том, чтобы найти эти подгруппы и установить имеющиеся между ними связи. Для групп с большим числом элементов такая задача становится трудоемкой и требует особых приемов поиска. Часто сама решетка подсказывает нам, все ли подгруппы найдены и верно ли установлены связи. При последовательном изучении решеток обнаруживаются определенные закономерности. Для групп 16-го и 24-го порядка эти закономерности становятся особенно заметными. Так, для 14 решеток, построенных на подгруппах от групп 16-го порядка, можно сформулировать, например, такие правила: число узлов на каждом из уровней нечетно и может быть одним из восьми следующих — 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15 и 35; число подходящих или отходящих связей тоже нечетно и равно 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 15 (два последних числа относятся к полюсам). Аналогичным образом выглядят правила для 12 правильных решеток, построенных от групп 24-го порядка: количество узлов на всех уровнях нечетно — 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15 и 19; число связей при полюсах всегда четно — 2, 4, 6, 8, 10, 14 и 16; число связей, отходящих от уровней 2-го и 4-го порядков, а также число связей, подходящих к уровням 6-го и 12-го порядков, четно — 2, 4, 6, 8; число связей, подходящих к уровням 4-го и 8-го порядков и отходящих от уровней 3-го и 6-го порядков, нечетно — 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15 и 19.

Нашей конечной целью будет построение так называемых метарешеток M₁₆ и M₂₄ от правильных решеток групп 16-го и 24-го порядков. Дело в том, что все правильные решетки от групп одного какого-то порядка являются подрешетками одной верхнеполюсной решетки. И, так как все правильные решетки, кроме того, включают в себя в качестве своей подрешетки одну общую для всех них нижнеполюсную решетку, они образуют «сверхрешетку», которая и называется метарешеткой. В роли верхнеполюсной могут выступать решетки от различных групп, например, решетки типа S() и S(D_n), но в роли нижнеполюсной выступает всегда одна — решетка от простой циклической группы S(C_n). Неправильные решетки тоже могут образовать свои метарешетки, в частности, две из трех неправильных решеток, построенных от групп 24-го порядка, находятся в отношении порядка. 

Таким образом, наряду с отношением порядка типа быть подгруппой существует совершенно другое отношение порядка, а именно: быть подрешеткой. Если утверждается, что «S(G₁) является подрешеткой S(G₂)», то это еще не значит, что группа симметрии решетки S[G₁] является подгруппой группы симметрии решетки S[G₂]. Чаще всего группы симметрии решеток S[G₁] и S[G₂], из-за принципиально различного строения, вообще несопоставимы. Отношение порядка типа «S(G₁) является подрешеткой S(G₂)» означает, что множества узлов и связей решетки S(G₁) являются подмножествами множеств узлов и связей решетки S(G₂). Здесь узлы и связи решеток выступают в роли аморфных, т.е. не групповых, множеств. Поэтому отношение быть подрешеткой, по существу, является отношением включения одного множества (меньшего по мощности) в другое (большего по мощности). С графической же точки зрения, метарешетки по сравнению с решетками значительно менее регулярны. В них нельзя, в частности, найти закономерности по четности узлов и связей. Они заметно отличаются даже от неправильных решеток, поэтому их можно охарактеризовать как очень неправильные. Такой термин хорошо подходит к метарешеткам M₁₆ и M₂₄, хотя метарешетки от групп с небольшим числом структурных вариантов (т.е. M₆, M₈, M₁₂, M₁₈, M₂₀, M₂₇) вполне правильны.