Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы
Акимов О.Е.
2.3. Групповые решетки из подгрупп
Отношение порядка
В этом подразделе мы продолжим морфологический анализ групп, но теперь уже с заметным упором на
отношение порядка, которое, прежде всего, реализуется в словах «быть подгруппой» или, более развернуто, «совокупность элементов
G1 образует подгруппу в группе G2». Естественно, подгруппа
G1 включена в группу G2, однако
отношение включения является слишком широким, а значит и более бедным понятием, чем
быть подгруппой. Оно больше подходит к аморфным множествам, о которых речь впереди, хотя любое отношение порядка определяется через три закона:
рефлексивности, антисимметричности и транзитивности. Для отношения быть подгруппой все три закона выполняются. Закон рефлексивности выполняется постольку, поскольку всякая группа
G является несобственной подгруппой группы
G. Закон антисимметричности также выполняется, так как если
G1 является подгруппой G2 и
G2 является подгруппой G1, то группы
G1 и G2 изоморфны. Наконец, для подгрупп справедлив и закон транзитивности: если
G1 является подгруппой G2 и
G2 является подгруппой G3, то
G1 непременно будет подгруппой G3.
Подгруппы G1, G2, G3
и т.д. образуют узлы, а отношения типа «G1 является подгруппой
G2» — связи между узлами G1
и G2. Узлы и связи вместе составляют
решетку или структуру подгрупп группы
G, которая обозначается S(G). Две несобственных подгруппы группы
G ограничивают решетку S(G) снизу и сверху, являясь ее
полюсами. Решетку
S(G) удобно изображать графически и, как некий графический объект, она обладает определенными
групповыми свойствами, отличными от групповых свойств исходной группы
G. Группу симметрии решетки обозначим символами
S[G]. Нередко группа S[G] изоморфна или
инвариантна (т.е.
G является подгруппой группы S[G]) относительно всех преобразований исходной группы
G; в этих случаях она называется прозрачной.
Решетки всех коммутативных групп инверсные. Это значит, что существует такая подстановка
i, которая без нарушения связей переворачивает решетку
"с ног на голову" и заменяет полюса на противоположные. Встречаются такие некоммутативные группы, решетка которых совпадает с решеткой от какой-нибудь коммутативной группы. В таких случаях решетка от некоммутативной группы тоже будет инверсной. Инверсная подстановка
i не входит в группу симметрии решетки
S[G]. Это особая подстановка, осуществляющая преобразование узлов решетки вдоль ее вертикальной оси, соединяющей полюса, тогда как группа преобразований
S[G] переставляет узлы, не изменяя их порядка.
Порядок узла совпадает с порядком подгруппы, которую он представляет. Совокупность узлов одного порядка образует
уровень соответствующего порядка. Порядок узла или порядок всего уровня, естественно, является
делителем порядка группы
G. Число уровней для групп с небольшим числом элементов в большинстве случаев равно числу делителей порядка группы. Если это условие выполняется, решетка называется
правильной. В правильных решетках все пути от нижнего полюса до верхнего содержат одинаковое число связей. Группа тетраэдра
T двенадцатого порядка, у которой отсутствуют подгруппы шестого порядка, начинает бесконечный ряд
неправильных решеток. В неправильных решетках число связей между полюсами различно.
Чрезвычайно важно понять с самого начала одну простую истину: подгруппы не появляются в результате какой-либо нашей с вами деятельности, например, через процедуры объединения, пересечения или умножения элементов. Объективно существуют группы, и они независимо от нас поделены на подгруппы. Наша задача состоит лишь в том, чтобы найти эти подгруппы и установить имеющиеся между ними связи. Для групп с большим числом элементов такая задача становится трудоемкой и требует особых приемов поиска. Часто сама решетка подсказывает нам, все ли подгруппы найдены и верно ли установлены связи. При последовательном изучении решеток обнаруживаются определенные закономерности. Для групп 16-го и 24-го порядка эти закономерности становятся особенно заметными. Так, для 14 решеток, построенных на подгруппах от групп 16-го порядка, можно сформулировать, например, такие правила:
число узлов на каждом из уровней нечетно и может быть одним из восьми следующих — 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15 и 35;
число подходящих или отходящих связей тоже нечетно и равно 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 15 (два последних числа относятся к полюсам). Аналогичным образом выглядят правила для 12 правильных решеток, построенных от групп 24-го порядка:
количество узлов на всех уровнях нечетно — 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15 и 19;
число связей при полюсах всегда четно — 2, 4, 6, 8, 10, 14 и 16;
число связей, отходящих от уровней 2-го и 4-го порядков, а также число связей, подходящих к уровням 6-го и 12-го порядков, четно — 2, 4, 6, 8;
число связей, подходящих к уровням 4-го и 8-го порядков и отходящих от уровней 3-го и 6-го порядков, нечетно — 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15 и 19.
Нашей конечной целью будет построение так называемых
метарешеток
M16 и M24 от правильных решеток групп 16-го и 24-го порядков. Дело в том, что все правильные решетки от групп одного какого-то порядка являются подрешетками одной
верхнеполюсной решетки. И, так как все правильные решетки, кроме того, включают в себя в качестве своей подрешетки одну общую для всех них
нижнеполюсную решетку, они образуют «сверхрешетку», которая и называется
метарешеткой. В роли верхнеполюсной могут выступать решетки от различных групп, например, решетки типа
S() и S(Dn), но в роли нижнеполюсной выступает всегда одна — решетка от простой циклической группы
S(Cn). Неправильные решетки тоже могут образовать свои метарешетки, в частности, две из трех неправильных решеток, построенных от групп 24-го порядка, находятся в отношении порядка.
Таким образом, наряду с отношением порядка типа
быть подгруппой существует совершенно другое отношение порядка, а именно:
быть подрешеткой. Если утверждается, что «S(G1) является подрешеткой
S(G2)», то это еще не значит, что группа симметрии решетки
S[G1] является подгруппой группы симметрии решетки
S[G2]. Чаще всего группы симметрии решеток
S[G1] и S[G2], из-за принципиально различного строения, вообще несопоставимы. Отношение порядка типа «S(G1) является подрешеткой
S(G2)» означает, что множества узлов и связей решетки
S(G1) являются подмножествами множеств узлов и связей решетки
S(G2). Здесь узлы и связи решеток выступают в роли
аморфных, т.е. не групповых, множеств. Поэтому отношение
быть подрешеткой, по существу, является
отношением включения одного множества (меньшего по мощности) в другое (большего по мощности). С графической же точки зрения, метарешетки по сравнению с решетками значительно менее
регулярны. В них нельзя, в частности, найти закономерности по четности узлов и связей. Они заметно отличаются даже от неправильных решеток, поэтому их можно охарактеризовать как
очень неправильные. Такой термин хорошо подходит к метарешеткам
M16 и M24, хотя метарешетки от групп с небольшим числом структурных вариантов (т.е.
M6, M8, M12, M18,
M20, M27) вполне правильны.