Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.3. Групповые решетки из подгрупп

Решетки групп с 1-го по 12-й порядок

Простые циклические группы C₂, C₃, C₅, ... , C_p, где p — простое число, имеют решетку, которая, если ее изобразить графически, выглядит как отрезок прямой, ограниченный двумя узлами, соответствующими несобственным подгруппам {e}= (0) и C_p. Из двух отрезков состоит решетка для групп типа C₄, C₉, C₂₅, C_pp (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Группы 4-го, 9-го, 25-го порядков имеют еще по одному коммутативному варианту, обозначаемому как , , ... . Собственными подгруппами для , к примеру, являются:

1 = {e, a, a²}, 2 = {e, b, b²}, 3 = {e, ab, a²b²}, 4 = {e, a²b, ab²}.

Все четыре узла имеют порядок 3. Поскольку собственные подгруппы образуют единственный уровень между полюсами, то и инверсная подстановка i представляет собой транспозицию, у которой в качестве индексов выступают нижний и верхний полюса (транспозицию полюсов здесь и ниже писать не будем). Три решетки для p = 2, 3 и 5 изображены на рис. 2.13. Группа симметрии таких решеток определяется формулой:

S[] » D_{p + 1},

Так, группа S[] определяется подстановками D₃:

S[] = {(0), (12), (23), (13), (123), (132)} » D₃.

Рис. 2.13

Групп шестого порядка две — C₆ » C₂C₃ и D₃. Их правильные решетки изображены на рис. 2.14. 

Рис. 2.14

Для S(C₆) инверсная подстановка равна i = (12). Несмотря на то, что узлы решеток S(C₆) и S(D₃) образованы непохожими собственными подгруппами —

C₆: 1 = {e, a², a⁶}, 2 = {e, a³};

D₃: 1 = {e, a, a²}, 2 = {e, b}, 3 = {e, ab}, 4 = {e, a²b},

графически решетку S(C₆) можно вписать в решетку S(D₃), т.е. узлы и связи решетки S(C₆) образуют подмножества соответствующих множеств решетки S(D₃). Следовательно, решетка S(C₆) образует нижний, а S(D₃) — верхний полюс метарешетки M₆. Симметрия решеток S(C₆), S(C₁₀) и т.д. минимальна — C₁; решетки S(D₃), S(D₅) и т.д. прозрачны:

S[C₂C_p] » S[C_{2 · p}] » C₁,     S[D_p] » D_p.

Групп 8-го порядка пять; самой элементарной из них, с точки зрения структуры подгрупп, является циклическая группа C₈. Решетка S(C₈) представляет собой трехзвенную цепь; она является нижним полюсом метарешетки M₈. Теперь выпишем собственные подгруппы :

Решетка из этих подгрупп S() изображена на рис. 2.15. Она является верхним полюсом метарешетки M₈. Решетка S() является инверсной, причем инверсию можно осуществить несколькими способами, в частности, подстановкой

i = (18)(29)(3A)(4B)(5C)(6D)(7E).

Рис. 2.15

Группа симметрии S[] обладает удивительными свойствами. Подобно группе вращения икосаэдра Y, она не имеет нормальных делителей, т.е. является простой. Все ее подстановки четны, поскольку образующими группы являются антикоммутирующие четные транспозиции. Действительно, если переобозначить узлы решетки в соответствии с подстановками a, b, c, d, то графическая структура S() останется без изменения:

Если учесть, что узлы уровней 2-го и 4-го порядков при всех групповых преобразованиях не переставляются, то для представления группы S[] достаточно взять подстановки, составленные для одного какого-то уровня, например, нижнего. Все 168 четных подстановок простой группы S[] разбиты на пять классов и выписаны в табл. 2.60.

Таблица 2.60

Как видно из этой таблицы, подстановки класса C₄, принадлежащие одному столбцу, коммутируют между собой; если подстановки берутся из различных столбцов, они будут антикоммутировать. Для аналогичных простых верхнеполюсных групп прослеживается та же самая закономерность: число коммутирующих подгрупп равно числу узлов (в данном случае 7), а число элементов, входящих в каждую подгруппу, но отличных от тождественного, равно числу отходящих связей. У нас на каждый узел приходится по три таких связи, следовательно, максимальной коммутационной подгруппой является , в силу чего наша группа непрозрачна.

Группу S[] можно задать подстановками a, b и c, например, такими определяющими ее соотношениями:

Все остальные решетки от групп 8-го порядка являются подрешетками решетки S(). Так, восемь собственных подгрупп диэдра :

являются соответствующими узлами S(). Решетка диэдра S() изображена на рис. 2.16.

Рис. 2.16

Она прозрачна, поскольку восемь диэдральных подстановок оставляют графическую структуру рис. 2.16 неизменной

Если из решетки диэдра S() исключить два узла — 5 и 7, то в результате получим решетку от коммутативной группы C₂C₄. Другими словами, непрозрачная, но инверсная 

i = (28)(1A)(4C) и i' = (28)(4A)(1C)

решетка S(C₂C₄) вкладывается в прозрачную, но не инверсную решетку S(). Группа симметрии S[C₂C₄] определяется следующими четырьмя подстановками:

S[C₂C₄] » = {(0), (14), (AC), (14)(AC)}.

Наконец, решетка кватерниона S() получается из инверсной решетки S(C₂C₄) путем отбрасывания еще одной пары узлов — 1 и 4. Группа симметрии решетки кватерниона изоморфна группе D₃:

S[] » D₃ = {(0), (8A), (8C), (AC), (8AC), (8CA)}.

Итак, пять решеток от групп 8-го порядка образуют одну метарешетку M₈, изображенную на рис. 2.17. Все решетки от групп 8-го порядка являются правильными и имеют четное число узлов (4, 6, 8, 10, 16) и нечетное число связей (3, 7, 11, 15, 35).

Рис. 2.17

Пропуская очевидные решетки от групп 9-го, 10-го и 11-го порядков, перейдем к рассмотрению пяти решеток от групп 12-го порядка. Нам удобнее всего начать с верхнеполюсной решетки S(). Группа диэдра содержит следующие подгруппы:

Решетка S(), изображенная на рис. 2.18, является прозрачной, так как образующие —

a = (456)(78)(9BDACE),     b = (45)(78)(9B)(AC)(DE),

инвариантно переставляющие узлы решетки S(), порождают группу , так что S[] » .

Рис. 2.18

Восемь узлов верхнеполюсной решетки S(), а именно: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, A, дают все узлы инверсной решетки S(C₂C₆), шесть узлов — 1, 2, 3, 4, 5, 6 — дают решетку S() и четыре узла — 1, 2, 3, 4 — дают нижнеполюсную решетку S(C₁₂). Четыре правильных решетки образуют одну метарешетку M₁₂, которая изображена на рис. 2.19.

Рис. 2.19

Число узлов у всех названных решеток — четно (6, 8, 10 и 16); число связей — нечетно (7, 11, 17 и 33).

Решетка тетраэдра S(T) (рис. 2.20) особая и образована следующими узлами:

Рис. 2.20

На рисунке, где изображена решетка S(T), можно увидеть, что 3 пути между полюсами образованы тремя связями, а 4 других пути составлены только из двух связей, поэтому S(T) и называется неправильной. Три узла нижнего уровня подчинены симметрической группе S₃ » D₃, а четыре узла верхнего — симметрической группе S₄. В итоге, группа симметрии решетки тетраэдра содержит 144 элемента: S[T] » S₃ · S₄, кроме того, S[C₂C₆] » S[] » D₃.