Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.5. Пространственные группы и двойственность

Инвариантность волнового уравнения

Для вывода волнового уравнения по уравнениям Максвелла необходимо принять условие j = ρ = 0, поскольку электромагнитные волны распространяются в пространстве при отсутствии токов и зарядов. Тогда, дифференцируя первое уравнение по времени и далее используя второе уравнение, получаем

= rot ,       = – rot rot H.

Так как rot rot E = grad div E – ΔE и div E = 0, окончательно имеем

ΔE – = 0.

Перед нами волновое уравнение, которому подчиняется вектор электрической напряженности (Δ — оператор Лапласа). Аналогичный вывод можно осуществить в отношении вектора магнитной напряженности; волновому уравнению подчиняется также скалярный φ и векторный a потенциалы. Введем некоторую величину w = w(x, y, z, t), тогда волновое уравнение для нее будет выглядеть так:

= 0.

Преобразования Лоренца, оставляющие это уравнение без изменений, выглядят следующим образом:

,     y' = y,    z' = z,     ,

где β = v/c. Так как преобразуются только координаты x и t, то волновое уравнение можно переписать только для этих координат:

.

Чтобы убедиться, что последнее уравнение не изменит своего вида под действием преобразований Лоренца, найдем первые производные функции w по x и t:

,

;

затем отыщем вторые производные функции w по x и t:

,

.

Умножая последнее равенство на –1/c² и складывая его с предыдущим, убеждаемся в инвариантности волнового уравнения:

.

История науки знает преобразования Фогта, опубликованные автором задолго до преобразований Лоренца. Эти преобразования также оставляют неизменным волновое уравнение, но затрагивают уже все четыре его координаты:

, , , .

Посредством той же процедуры, которой мы воспользовались выше, можно убедиться в их правомочности. Оба пространственных преобразования являются абсолютно равноправными и образуют пространственные группы.

В том, что существует тождественный элемент и каждому прямому повороту осей отвечает обратный, сомневаться не приходится. Проверим пространственную группу преобразований Лоренца на замкнутость, т.е. убедимся, что два последовательных вращения осей дают третье, которое тоже имеет вид преобразований Лоренца. С этой целью последовательно выполним два преобразования:

(t, x) → (t', x')   и   (t', x') → (t", x"),

а затем найдем результирующее (t, x) → (t", x"). Итак, имеем:

, ; , .

В первое выражение для x подставим значения t' и x', получим:

,

где , или , или .

Таким образом, доказано, что последовательное действие двух преобразований Лоренца приводит к третьему, математическая форма которого совпадает с исходными. Аналогичным образом действуем в отношении переменной t. Эти выкладки показывают, что подвергшиеся испытанию пространственные преобразования действительно составляют группу.

Подчеркнем немаловажную деталь, о которой часто забывают: преобразования Лоренца оставляют в инвариантном виде именно волновое уравнение не зависимо от его природы — акустической или электромагнитной. Требование инвариантности другого дифференциального уравнения приведет и к другим преобразованиям, если таковые вообще обнаружатся. Например, преобразования Лоренца не оставят в неизменном виде дифференциальное уравнение теплопроводности и диффузии, которое несколько отличается от волнового уравнения; оно имеет вид:

,

где c — постоянная теплопроводности или диффузии. Таким образом, невозможно говорить о каких-то универсальных преобразованиях, которые бы оставляли инвариантными все без исключения дифференциальные уравнения. Само такое требование является математически некорректным, какие бы при этом соображения общего характера ни приводились.