Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.5. Пространственные группы и двойственность

Преобразование комплексной плоскости

Кэли однажды сказал, что геометрия всецело определяется группой преобразований, которая действует в этом пространстве, а Клейн добавил: геометрия — это ее инварианты, т.е. некие величины, остающиеся неизменными при всех групповых преобразованиях. В евклидовом пространстве перенос и поворот отрезков линий, а также целых геометрических фигур и тел не сопряжен с изменением их линейных размеров; это — инварианты евклидова пространства. В псевдоевклидовом пространстве это не так, и длина отрезков при гиперболическом повороте осей изменяет свою величину, хотя сохраняется неизменной некая квадратичная форма, построенная из координат. Прежде чем рассматривать инварианты псевдоевклидовой геометрии и исследовать вопрос изменения масштаба осей при их гиперболическом повороте, продемонстрируем на пространственных группах простой геометрии, какие величины могут оставаться неизменными, а какие — изменяться.

Для начала возьмем элементарную группу преобразований, переводящую все точки z комплексной плоскости в точки z' по формуле

.

Точки окружности единичного радиуса | z | = 1, которые определяются экспоненциальной зависимостью exp(iφ), перейдут в точки z' = exp(iφ) этой же окружности, но расположенные симметрично относительно оси абсцисс, т.е. когда точки 1 и –1 оси x остаются на месте, а точки i и –i оси y меняются местами. Внутренние точки круга | z | < 1 в результате данного преобразования перейдут во внешние, а внешние | z | > 1 — во внутренние. В частности, точка z = 0 перейдет в точку z' = ∞.

Одним из важнейших свойств данного преобразования является то, что оно перемешивает прямые и окружности плоскости между собой. В самом деле, общее уравнение окружности выглядит так:

a(x² + y²) + bx + cy + d = 0.

Перейдем к комплексным числам:

z = x + iy,     z* = x – iy,     x = (z + z*)/2,     y = (z – z*)/2i.

В этом представлении уравнение окружности приобретает вид:

azz* + b(z + z*)/2 + c(z – z*)/2i + d =

= azz* + z(b – ic)/2 + z*(b + ic)/2 + d = azz* + wz + w*z* + d = 0.

Числа a и d — вещественные коэффициенты, а числа w и w* – комплексно-сопряженные коэффициенты. Подвергнем переменную z преобразованию, тогда уравнение трансформируется к виду

a/z'z'* + w/z' + w*/z'* +d = a + wz'* +w*z' +dz'z'* = 0.

Пара уравнений

(A) azz* + wz + w*z* + d = 0   и   (B) a + wz'* +w*z' +dz'z'* = 0

двойственны друг к другу. Это означает, что окружность в пространстве z, проходящая через начало координат (d = 0), в пространстве z' трансформируется в прямую, а прямая, проходящая через начало координат (a = 0, d = 0), трансформируется  в прямую w z'* +w* z' = 0, тоже проходящую через начало координат. Прямая, не проходящая через начало координат (a = 0, d ≠ 0), преобразуется в окружность w z'* +w* z' +d z'z'* = 0, проходящую через начало координат. Наконец, окружность (A), не проходящая через начало координат, преобразуется в окружность (B), также не проходящую через начало координат. Таким образом, можно констатировать, что двойственные друг к другу пространства z и z' все свои прямые и окружности сохраняют в неизменном виде. В этом смысле объекты этих пространств неизменны. Однако их отдельные подмножества переходят друг в друга так, что объект пространства z преобразуется в совершенно иной объект пространства z', и наоборот. В этом смысле объекты пространства z и z' не инвариантны.