Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.5. Пространственные группы и двойственность

Две симметрии: вращение и перемещение

Группа вращения Кэли — Клейна ни при каких условиях не даст подгруппу типа группы поступательного движения, так как преобразования Галилея x = x' + vt' , x' = x – vt , t' = t — это продольное перемещение штрихованной системы отсчета относительно нештрихованной, а преобразованиям Лоренца

,     ;     ,    

отвечает гиперболический поворот осей штрихованной системы. Не может получиться так, что при уменьшении тангенса угла наклона осей координат th φ = β = v/c → 0 ноль штрихованной системы вдруг оторвется от нуля нештрихованной и «поедет» в строну положительных значений оси x. Неточность, которую здесь часто допускают, возникает оттого, что групповые преобразования Кэли — Клейна записывают в том виде, в котором мы только что их представили. В этом случае в числителях преобразований для пространственных координат x' и x отдельно стоит скорость v вместо отношения v/c. Когда делался предельный переход v/c → 0 и знаменатель преобразований начинал приближаться к единице, в числителе тем временем скорость v не менялась, что является, безусловно, ошибкой. Этой ошибки можно избежать, если предельный переход выполнить на корректно записанных преобразованиях, а именно:

,     ;     ,     .

Тогда при условии β → 0 или φ → 0 гиперболические функции ведут себя следующим образом (табл. 2.90): 

ch φ = → 1, sh φ = → 0.

Таблица 2.90

β	0,99	0,80	0,70	0,60	0,50	0,40	0,30	0,20	0,10	0,00
ch φ	7,089	1,667	1,250	1,091	1,048	1,021	1,0050	1,0012	1,0001	1,0000
sh φ	7,018	1,333	0,750	0,436	0,315	0,204	0,1005	0,0501	0,0100	0,0000

Отсюда преобразования Лоренца в случае предельного перехода параметра β → 0 трансформируются в единственно возможные равенства: x = x', ct = ct'. Никаких других выражений здесь в принципе быть не может.

Хорошо известен способ вывода преобразований Лоренца из преобразований Галилея. Он связан с постулатом о неизменности скорости света в штрихованной и нештрихованной системах, т.е.

x/t = x'/t' = c = const.

Если это условие применить к преобразованиям Галилея:

x = (x' + vt' )α, x' = (x – vt)α, c² = (c + v)(c – v)α² , α = ,

то, учитывая, что x = ct, x' = ct', t' = x'/c, несложно прийти к преобразованиям Лоренца. Однако данный математический вывод не является предельным переходом, т.е. непрерывным изменением параметра β. Нетрудно заметить, что условие постоянства константы c в штрихованной и нештрихованной системах не накладывает на нее никаких количественных ограничений, т.е. она может быть вполне сопоставима со скоростью v. Таким образом, последний вывод показывает, как можно из функции группы поступательного движения получить совершенно другую функцию, подчиняющуюся иной группе симметрии. Выкладки доказывают, что группа поступательного движения (преобразования Галилея) не является подгруппой вращательного движения (преобразования Лоренца).