Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

3.1. Группы цепей графа

Решетка группы цепей тетраэдра

Мы целиком рассмотрели группу преобразования цепей тетраэдра G₄. Сейчас можно было бы назначить систему образующих и выразить через них все элементы G₄. Если принять, что

a = 01,     b = 12,     c = 03,     d = 35,     f = 14,

то все элементы группы G₄ предстанут как всевозможные суммы этих образующих, например:

ac = 13,  bf = 24,  ad = 0135,  bd = 1235,  abd = 0235,  acf = 34,  abcd = 25,  acdf = 45,  abcdf = 1245, ...

Однако число образующих на единицу меньше числа ребер. Поэтому есть смысл оставить элементы групп выраженными через ребра, которые несут прямой графический смысл.

Таблица 3.1

В табл. 3.1 приведены элементы группы G₄ без тождественного и обратных, которые преобразуют 12 цепей тетраэдра друг в друга. Цепи образуют субстанционное множество:

A = 054, B = 034, C = 243, D = 253, E = 135, F = 145, G = 014, H = 024, I = 213, J = 125, K = 203, L = 105.

Элементы же табл. 3.1 образуют операционное множество, причем каждый оператор связывает определенные пары субстанционных элементов, например:

1234 = F – D = 145 – 253 = G – K = 410 – 203.

Таким образом, группа преобразования цепей тетраэдра G₄ состоит из 73 элементов, куда входят: тождественный элемент; 24 элемента типа xy, образующих классы C₁ и C₂; 24 элемента типа pqrs, образующих класс C₃ и 6 элементов такого же типа класса C₄. Кроме того, в таблице 3.1 не вошло еще 6 элементов класса C₅, которые связывают цепи, проведенные от четырех различных вершин:

15 = A – G = D – I, 

23 = B – H = E – J, 

04 = C – K = F – L;

и 12 элементов класса C₆, описывающие переходы между взаимно дополняющими цепями тетраэдра:

012345 = A – I,  012345 = C – L,  012345 = E – H,

012345 = B – J,  012345 = D – G,  012345 = F – K.

Вообще, число возможных переходов между m = 12 цепями равно m · (m – 1) + 1 = 133, но в группу G₄ вошло только 73 элемента. Сокращение на 60 элементов произошло за счет симметрии тетраэдра. Эти 73 элемента образуют: одну подгруппу первого порядка, состоящую из одного тождественного элемента и обозначаемую через 0; 12 подгрупп третьего порядка типа {e, xy, xy}, обозначенных в таблице 3.1 символами от 1 до C; 12 подгрупп 13-го порядка, обозначенных буквами от D до O, и 4 подгруппы 31-го порядка, обозначенных буквами P(G_4a), Q(G_4b), R(G_4c), S(G_4d). Восемнадцать элементов из двух последних классов C₅ и C₆ не входят ни в одну из собственных подгрупп, число которых равно 28.

Все названные подгруппы тетраэдра упорядочены в решетку S(G₄), изображенную на рис. 3.5. Решетка S(G₄) правильная, имеет 36 четырехзвенных цепей, привязанных к полюсам S(G₄).

Рис. 3.5