Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

3.1. Группы цепей графа

Классы эквивалентности группы цепей тетраэдра

В графе Г₄₂ вершины и ребра распадаются на три класса эквивалентности относительно привязки a: вершины — {a}, {d, c}, {b}; ребра — {1, 2}, {4}, {3, 5}. На пяти ребрах можно составить четыре из шести ранее приведенных цепей: C, D, E и F. Классы переходов от одной цепи к другой здесь будут такими:

C_a1:  E – D = 21, D – E = 21;

C_a2:  E – F = 43, F – E = 43, C – D = 45, D – C = 45;

C_a3: C – E = 21 45, E – C = 21 45, D – F = 21 34, F – D = 21 34;

C_a4: C – F = 21 35, F – C = 21 35.

Таким образом, группа G_42a состоит из 13 элементов, включая тождественный. Удалив из графа Г₄₂ ребро 4, мы удаляем цепи C и F, а вместе с ними все переходы классов C_a2, C_a3 и C_a4. Останется группа {e, 12, 12}.

Отсутствие ребра 1 в графе Г₄ дает четыре цепи — A, B, C, D, для которых возможны следующие 13 переходов:

{B – C, C – B, A – B, B – A, D – C, C – D, C – A, A – C, D – B, B – D, A – D, D – A}.

Отсутствие ребра 2 оставляет цепи — A, B, E, F с переходами:

{A – F, F – A, A – B, B – A, E – F, F – E, E – A, A – E, F – B, B – F, E – B, B – E}.

Группа G_4a, в которую входят три группы 13-го порядка и три группы третьего порядка, сама является подгруппой группы G₄, в которую входят также подгруппы G_4b, G_4c, G_4d. Структура последних трех подгрупп аналогична только что рассмотренной. Важным вопросом здесь является пересечение элементов этих подгрупп. Дело в том, что цепи A, B, C, D, E, F оканчиваются в трех точках — b, c, d. Следовательно, если в качестве привязки выбрать, скажем, вершину b, то цепи C и F, а вместе с ними и преобразования C – F, F – C войдут в группу G_4b. Кроме того, может случиться так, что замена mn или mn преобразует в группе G_4a одну пару цепей, а в группе G_4b – другую. Эти обстоятельства нельзя не учитывать при определении порядка групп и построении решетки.

Итак, выберем в качестве привязки вершину b. В этом случае имеем шесть цепей, две из которых нам уже известны:

G = badc = 014, C = bdca = 342, J = bcad = 521,

H = bacd = 024, I = bdac = 312, F = bcda = 541.

Ребра, входящие в эти цепи, разделены по двум классам {0, 3, 5} и {1, 2, 4}. Поэтому элементы преобразования группы G_4b разбиваются на четыре класса:

C_b1: 

H – C = 03,     C – H = 03, 

G – F = 05,     F – G = 05, 

J – I = 53,     I – J = 53;

C_b2:  

I – C = 14,      C – I = 14,  

H – G = 12,      G – H = 12,  

F – J = 42,      J – F = 42; 

C_b3: 

G – C = 30 21,     C – G = 30 21,

G – J = 50 24,     J – G = 50 24, 

I – F = 53 42,     F – I = 53 42, 

H – I = 30 14,     I – H = 30 14;

C_b4: 

G – I = 30 24,     I – G = 30 24, 

J – C = 50 14,     C – J = 50 14, 

F – H = 50 12,     H – F = 50 12,

H – J = 50 14,     J – H = 50 14,

C – F = 53 12,     F – C = 53 12;

Сравнение классов C_b с классами C_a дает следующую картину: преобразование цепей C и F, находящихся в классе C_b4, ранее входили в класс C_a4; преобразования цепей J и H происходит так же, как E и B, с заменами ребер 0, 1, 4, 5, а цепей I и G, как D и A, с заменами ребер 0, 2, 3, 4. Получилось, что C_b4 = C_a4. Цепи I и J из класса C_b1 преобразуются так же, как цепи A и B из класса C_a2, а цепи H и G из класса C_b2, как цепи D и E из класса _a1. Получилось также, что замена ребер 1, 2 и 3, 5 преобразует разные цепи, а значит они входят и в разные классы. В третьих классах оказались одинаковыми четыре преобразования: 

A – E = H – I, E – A = I – H, J – G = D – B, G – J = B – D. 

Таким образом, с появлением группы G_4b прибавилось не 30, а только 16 новых элементов реберных преобразований.

Если в качестве привязки выбрать вершину c, то она определит цепи I = 213, K = 203, B = 430, G = 410, L = 501, E = 531 преобразующихся по формулам:

C_c1: 

K – B = 24,     B – K = 24, 

G – L = 45,     L – G = 45, 

E – I = 52,     I – E = 52; 

C_c2: 

K – I = 10,     I – K = 10, 

G – B = 13,     B – G = 13,

E – L = 30,     L – E = 30;

C_c3: 

B – I = 24 10,     I – B = 24 10,

I – L = 52 03,     L – I = 52 03,

G – E = 54 30,     E – G = 54 30,

G – K = 24 31,     K – G = 24 31,

K – E = 52 10,     E – K = 52 10,

B – L = 54 13,     L – B = 54 13;

C_c4: 

G – I = 30 24,     I – G = 30 24,

B – E = 54 10,     E – B = 54 10,

K – L = 52 13,     L – K = 52 13.

Наконец, если вершина d — привязка, то цепи J = 125, L = 105, A = 450, H = 420, K = 302, D = 352 преобразуются по формулам:

C_d1: 

J – D = 13,     D – J = 13, 

K – H = 34,     H – K = 34, 

A – L = 41,     L – A = 41; 

C_d2: 

J – L = 02,     L – J = 02,

A – H = 52,     H – A = 52,

D – K = 50,     K – D = 50;

C_d3: 

A – J = 20 41,     J – A = 20 41,

K – J = 50 31,     J – K = 50 31,

H – D = 34 50,     D – H = 34 50,

H – L = 52 14,     L – H = 52 14,

D – L = 13 02,     L – D = 13 02,

K – A = 43 52,     A – K = 43 52;

C_d4: 

D – A = 43 02,     A – D = 43 02,

H – J = 50 14,     J – H = 50 14,

K – L = 13 52,     L – K = 13 52.