Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

3.5. Раскраска графов и вопросы топологии

Многогранники

С античных времен были известны пять правильных тел Платона — тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр, додекаэдр (рис. 3.73, позиции 1 – 5). Архимед отсек у них углы и получил еще пять полуправильных многогранников. Усеченный тетраэдр состоит из четырех шестиугольных граней и такого же числа треугольных граней. Все грани усеченного тетраэдра правильные, причем сторона шестиугольника равна стороне треугольника. Усеченный гексаэдр состоит из шести восьмиугольных граней и восьми треугольных, а усеченный октаэдр — из шести квадратов и восьми шестиугольников, причем две последние усеченные фигуры имеют равное число вершин, ребер и граней. В табл. 3.42 занесены все 13 полуправильных многогранников Архимеда, которые на рис. 3.73 заняли позиции с 10 по 14. Позиции 12 и 13 занимают ромбокубоктаэдры в двух модификациях, отличающихся поворотом верхней части многогранника относительно его нижней на угол 90°.

Таблица 3.42

Многогранники	Позиция рис. 3.73	f Грани	n Вершины	m Ребра
Тетраэдр	1	4	4	6
Гексаэдр (Куб)	2	6	8	12
Октаэдр	3	8	6	12
Додекаэдр	4	12	20	30
Икосаэдр	5	20	12	30
Усеченный тетраэдр	10	8	12	18
Усеченный гексаэдр	11	14	24	36
Ромбокубооктаэдр	12, 13	26	24	48
Плосконосый куб	14	38	24	60
Усеченный кубооктаэдр	15	26	48	72
Кубооктаэдр	16	14	12	24
Усеченный октаэдр	17	14	24	36
Усеченный додекаэдр	18	32	60	90
Ромбоикосододекаэдр	19	62	60	120
Усеченный икосододекаэдр	20	62	120	180
Икосододекаэдр	21	32	30	60
Усеченный икосаэдр	22	32	60	90
Плосконосый додекаэдр	23	92	60	150
Правильная призма	24	k + 2	2k	3k
Антипризма	25	2k + 2	2k	4k

Рис. 3.73

В Новое время Кеплер ввел звездчатый октаэдр (stella octangula), который получался в результате взаимного проникновение двух тетраэдров, построенных внутри куба. У него получилось, что из каждой грани одного тетраэдра торчит вершина другого тетраэдра в форме трехгранной пирамиды. Эта фигура уже не относится к выпуклым многогранникам, так как ее невозможно поставить, скажем, на стол одной какой-то гранью. Выпуклым называется такой многогранник, который остается по одну строну от плоскости любой своей грани. В многограннике Кеплера оказалось 14 вершин, 24 грани и 36 ребер.

К звездчатым относятся и тела Пуансо (на рис. 3.73, позиции 6 – 9), у которых имеются самопересекающиеся грани. Они, как и звезда Кеплера, не противоречат определению многогранника, а это определение требует, чтобы каждое ребро многогранника разделяло две и только две грани. Если, двигаясь по граням и пересекая ребро за ребром, мы можем обойти весь многогранник по внешним, всегда видимым сторонам, не рискуя оказаться с внутренней стороны какой-нибудь из граней, то такой многогранник называется ориентированным, в противном случае — неориентированным. Звездчатые и все прочие многогранники, изображенные на рис. 3.73, являются ориентированными. Но ниже мы познакомимся с неориентированным гептаэдром, у которого есть пересечения граней, не образующих ребра. Для таких тел, как гептаэдр, невозможно в принципе найти площадь поверхности и объем тела, хотя поиск этих геометрических величин у ориентированных многогранников тоже представляет немалую трудность. В частности, нахождение объема звездчатых тел Пуансо является сложной задачей, с которой, однако, автор этих тел благополучно справился.

Звездчатые формы вместе с правильными и полуправильными телами образуют 66 тел. Это число почти удвоится, если к ним добавить невыпуклые однородные многогранники, у которых часть граней, состоящая из правильных многоугольников, является выпуклой, а часть оказывается вдавленной внутрь объема. Это свойство тел, с одной стороны, роднит их с правильными и полуправильными телами, а с другой — объединяет и со звездчатыми телами, которые могут покоиться на плоскости, только опираясь на несколько вершин или ребер. Особый класс образуют параллелоэдры, которыми можно заполнить все бесконечное пространство, не оставляя пустоты и без того, чтобы их внутренние объемы пересекались (рис. 3.73, позиции 26 – 30).