Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

4.1. Что такое фрактал

Термин «фрактал» был введен в 1975 г. Бенуа Мандельбротом в связи с фрактальной, т.е. дробной (сравните: фракция), размерностью, которую в 1919 г. ввел математик Феликс Хаусдорф. Фрактал, по определению Мандельброта, есть некая цельная структура любой природы, состоящая из частей (субструктур), которые в том или ином смысле подобны целому. Небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале; фрактал может включать в себя повторяющиеся субструктуры бесконечное число раз. Самоподобие является, пожалуй, одним из основных признаков фракталов, хотя и не единственным. В соответствии с этим определением эффективным инструментом для описания фрактальных процессов и структур является рекурсивная функция, имеющая своим аргументом саму себя:

f (x), f (f (x)), f (f (f (x))) , …

Рекурсию можно осуществить несколькими математическими средствами, в том числе и через прямое произведение матриц. В этом произведении, называемом также кронекеровским, каждый элемент результирующей матрицы содержит исходную матрицу. С помощью матриц, как мы знаем, фиксируется определенная, чаще всего, пространственная организация. Следовательно, многократно произведенное прямое умножение позволяет мультиплицировать исходную структуру. При этом матрица выступает в качестве паттерна, который способен генерировать иерархическую систему, каждый уровень который воспроизводит предыдущий в больших или меньших масштабах. Рекурсивный геометрический образ в виде древовидного графа также лежит в основе большинства фрактальных структур. Существуют итерационные алгоритмы, которые по своей сути схожи с матричным, графическим или функциональным способом задания рекурсии.

По-видимому, природа воспользовалась оптимальным алгоритмом организационного развития, когда взяла за основу фрактальный принцип подобия. Обламывая сначала маленькие ветки, затем все большие и большие, мы обнаруживаем некоторую неизменную форму дерева. Отношение числа отсеченных ветвей к числу оставшихся всегда остается примерно постоянным, хотя на первом этапе обламываются крохотные побеги длиной в несколько сантиметров, а на последнем – многометровые ветви. Еще Леонардо да Винчи предположил, что сумма площадей сечения всех ветвей дерева на определенном уровне дает площадь сечения его ствола. А ведь по древовидному принципу устроена нервная, дыхательная и кровеносная системы животных. Трахея разветвляется на два бронха, задавая, таким образом, образец для более мелких геометрических форм и т.д.

Биогенетический закон Мюллера и Геккеля тоже относится к фрактальным механизмам регулирования живой природы, поскольку он касается масштабной симметрии, проходящей через все уровни эволюционного развития организма. Этот биологический закон гласит: онтогенез повторяет филогенез. Согласно этой формуле организмы в процессе своего индивидуального развития обнаруживают тенденцию вновь проходить те же самые стадии развития, которые они прошли в ходе своей эволюции. Такая повторяемость процессов начального созревания организма сильно сокращена во времени, многие этапы развития филогенеза просто выпадают из последовательности онтогенетического развития, тем не менее это единственный биологический закон, который хоть как-то объясняет, почему у зародышей высших млекопитающих появляются жаберные щели и прочие атавистические признаки.

Однако многие авторы научно-популярных статей заходят слишком далеко, когда начинают фантазировать, будто в крохотной микрочастице (электроне, протоне или каком-нибудь экзотическом «фридмоне») может содержаться целая Вселенная. Подобные апологеты фрактального устройства всего и вся уверяют, будто электроны и протоны несут некий «генетический код» Вселенной, который содержит всю информацию о мире, и нужно уметь только расшифровать ее, чтобы начать «выводить» новые разновидности миров. Такое применение теории фракталов для конструирования новых вселенных не может быть воспринято серьезно, поскольку для столь глобальных и смелых предположений пока нет никаких эмпирических данных.

Теория фракталов, несмотря на свою широту, тем не менее эффективно обслуживает довольно узкую прикладную область, тесно связанную с компьютерами. Эта область касается фрактального или рекурсивного сжатия или расширения изображения. Первым примером здесь, конечно, служит известная задача графического моделирования изрезанной береговой линии. Проблема состоит в том, что когда повторяют береговую линию в бесчисленных ее деталях, вплоть до размеров прибрежной гальки, то ее длинна оказывается больше земного экватора. Таким образом, возникает задача следующего содержания: где тот разумный предел детализации при воспроизведении контуров береговой линии, горного ландшафта или любого другого географического объекта, чтобы решение не выглядело абсурдным и не было слишком неудобным с точки зрения его использования на практике. Следовательно, нужна математически обоснованная процедура сглаживания, которая будет зависеть от масштаба изображения. Кроме того, необходимо учитывать запросы потребителя. Очевидно, на небольшой карте, взятой из учебника географии, можно пренебречь некоторыми крохотными островами и бухтами Скандинавского полуострова. Другое дело – мореходная карта лоцмана, цель которого – уметь находить безопасные пути причаливания к берегам Норвегии.

Так возникает проблема соотношения локальной и глобальной геометрии. Раньше для решения подобной задачи использовали только измерительный циркуль, который перемещали вдоль некоторой ломаной кривой. С помощью этого нехитрого инструмента производили спрямление узких морщин береговой линии. В зависимости от масштаба ножки циркуля растворялись на определенный угол, этот угол фиксировался зажимом и далее при обходе береговой линии по карте малого масштаба эта линия спрямлялась так, что на новой карте большего масштаба контуры берега имели примерно ту же степень изрезанности, что и на исходной карте. Сегодня эту задачу с молниеносной скоростью, в режиме реального времени должен выполнять бортовой компьютер, установленный на каком-нибудь «Томагавке». На этой ракете существует эффективная система самонаведения на цель, которая может находиться за тысячу километров от пусковой установки. Подобие в различных масштабах – это, как уже было сказано, основная особенность фракталов. Изменение масштаба нередко служит единственным методом при нахождении правильного решения. Если у вас прогресс отсутствует в каких-то графических исследованиях, подумайте, не следует ли вам изменить масштаб изучаемого объекта.

Сегодня фрактальная методика широко применяется в компьютерной графике и дизайне. Именно компьютерные манипуляции с графическим образом положили начало серьезному математическому исследованию того, что раньше считалось баловством или, в лучшем случае, относилось к искусству. Фракталы определяются как геометрические процедуры, обладающие свойством воспроизводить исходный объект при его масштабном увеличении или уменьшении. Эта «бестолковая» процедура, порождающая множество симпатичных узоров в виде ковриков и деревьев, была и во многом остается скорее художественным приемом, чем источником истинного знания о реальном мире. Однако, помимо масштабной симметрии, существует еще одно важное понятие, которое тесно связывает теорию фракталов с действительностью. Этим понятием является аттрактор, который тесным образом связан со строго упорядоченными структурами. Можно сказать, что аттрактор и хаос находятся в отношении двойственности.

Шум шуму – рознь. Например, фоновый, или белый, шум, возникающий в канале телефонной связи, не совсем белый. «Случайные» флуктуации токов являются некоторым искажением речи; шум следует за первоначальным образцом, в чем-то повторяя его, а в чем-то отличаясь от него. В шумовом сигнале узнается какая-то закономерность, которую прежде следовало разгадать, чтобы потом можно было техническими средствами исключить. На любом уровне сглаживания случайных пиков обнаруживалась составляющая, которая присутствовала и в полезном сигнале, породившем этот шум. Эти первоначально полезные компоненты становились вредными благодаря многократному копированию на более низких амплитудах в виде частотной «ряби» или амплитудных «хвостов», которые цеплялись на основные гармоники полезного сигнала. Шумовая составляющая была явно вызвана к жизни полезным компонентом сигнала, но потом вышла из повиновения и стала развиваться по своим собственным внутренним законам. Шумовые флуктуации были вполне детерминированы, хотя они и относились к автономным, саморазвивающимся процессам, чувствительным к начальным условиям. Однако шумы компьютера, возникающие при вычислении амплитуды мод фракталов, которые мы рассмотрим здесь детально, имеют мало общего с только что описанными шумами в телефонной сети.

Переход от порядка к хаосу происходит скачкообразно; это последнее слово часто заменяют словами взрыв, буря, революция, ломка и т.д. Линейная и непрерывная математика здесь отказывается работать, и ей на смену приходит существенно нелинейная и дискретная математика. Быстрый переход от прежних законов функционирования системы к новым совершается в результате длительного, кумулятивного, скрытого, монотонного, количественного накопления, которое затем неожиданно сменяется на качественное изменение, со всеми своими противоположными эпитетами, приводящее нередко к разрушению самой системы. Здесь можно привести множество примеров из самых различных областей науки и техники.

Мир фракталов огромен и разнообразен. Фракталы находят в механике и акустике, в химии и биологии. Новые методы вычислений позволяют предупредить и избежать многих социальных катаклизмов. Для описания огромного числа объектов природы и общества, начиная от химических колебаний Белоусова и Жаботинского до развязывания локальных конфликтов, больше подходят приемы дискретной математики. Специалисты в области синергетики убедились, что не дифференцируемые и не гладкие кривые и поверхности, которые изучаются в курсе классического математического анализа, служат инструментом описания физических, биологических и социальных явлений, а ломаные, слоистые, дробленые, иначе говоря, фрактальные структуры. За последние два десятка лет произошла подлинная революция в компьютерных технологиях. Ситуация радикально изменилась, делая нелинейную математику доступной для обработки на компьютерах в масштабе реального времени. Фракталы стали и новым направлением в изобразительном искусстве, демонстрируя собой картины необычайной красоты и привлекательности. Однако нас они будут интересовать только с точки зрения математических закономерностей.