Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

4.9. Аттрактор «Крепостная стена»

Материал данного и следующих подразделов может быть легко приспособлен для проведения лабораторно-практических занятий в компьютерном классе. Бифуркационную диаграмму не построить за полтора или три часа, обычно отводимые на занятия, но отыскать аттрактор и замерить его параметры за это время можно. Причем материал такого рода вызывает, как правило, неподдельный интерес, так как картинки, появляющиеся на экране дисплея, весьма любопытны и зрелищны. Как и в предыдущих случаях, мы не приводим конкретных программ, поскольку любой программный продукт быстро устаревает. Достаточно сказать, что все графики в этом подразделе были получены с помощью системы MATLAB v. 4.0, а сегодня вышла уже шестая версия этого пакета, предоставившая новые возможности для реализации рекурсивных процедур. Преподаватель, быть может, предпочтет совершенно иную систему, например MathCad или что-то еще. Не станем навязывать ему вычислительную систему и стеснять его в проведении практических занятий. Свою цель мы видим лишь в том, чтобы указать, какой теоретический материал удобен для демонстрации наиважнейших на сегодняшний день вопросов дискретной математики, каковыми являются аттракторы.

Ниже приводятся картинки, отобранные из нескольких сотен и считающиеся наиболее удачными, но они, тем не менее, весьма поверхностно передают те фантастические метаморфозы, которые можно наблюдать непосредственно на экране дисплея при грамотно составленной и хорошо отлаженной компьютерной программе. С помощью отдельных графиков практически невозможно продемонстрировать все характерные фазы перестройки тонкой структуры. Нужно все видеть в динамике, в форме живых и красочных клипов, когда каждая мода окрашена в свой цвет. Нам же придется ограничиться несколькими характерными моментами, которые в основном связаны с формированием аттракторов и субаттракторов, т.е. более мелких аттракторных подуровней, образуемых высшими модами в пределах основных уровней. Микроуровни субаттракторов имеют строго определенную протяженность, которая проявляется в виде просветов в макроуровнях. Понятия субаттрактора и микроуровня являются относительными, поскольку иерархия аттракторов может состоять не только из двух, но и из любого числа звеньев, т.е. микроуровни субаттрактора могут расщепиться на микромикроуровни субсубаттрактора. В этих случаях говорят, например, об 2·5·3-аттракторе, когда уровни аттрактора второго рода содержат подуровни аттрактора пятого рода, а те, в свою очередь, — подуровни аттрактора третьего рода. В результате такой иерархии образуется аттрактор 30-го рода, который имеет в своем составе мультиплет из 30 микроуровней.

Для воспроизведения нужного результата требуется указать четыре атрибута: рекурсивную функцию, порядок ее моды, величину коэффициента a и значение переменной x, что мы и делаем во всех случаях, когда приводим тот или иной график. Как обеспечить быстрое переключение с одного масштаба x на другой, каким образом можно точно найти максимум или минимум функции и прочие «технические» детали нас интересовать не будут. Здесь многое зависит от наличия того или иного программного обеспечения и опытности преподавателя. Хочется заранее предупредить читателя: для первого знакомства, по-видимому, достаточно просмотреть картинки, которые приведены в этом учебнике, но для более углубленного изучения материала (если он не включен в учебный процесс) необходимо сесть за компьютер и самим воспроизвести все увиденные графики на экране дисплея своего компьютера. Именно в этом заключается конструктивный метод обучения. Без самостоятельной проработки на компьютере вы не сможете усвоить материал и на одну десятую его объема. Компьютер же позволит вам увидеть намного больше, чем сказал автор. После этих предварительных замечаний перейдем к основной теме, объявленной в заголовке подраздела.

Первая проблема, возникающая в связи с аттракторами, заключается в том, в каком диапазоне значений коэффициентов а функции ax (1 – x) они существуют. Поскольку аттракторы ранее не попадали в поле зрения исследователей, исторически сложилось так, что авторы публикаций по динамическим процессам приводили данные по коэффициенту а на момент касания моды того или иного порядка с диагональной прямой. Однако несложно проследить, что при этом значении коэффициента а никакого аттракторного уровня для высших мод еще не возникает. Аттрактор появляется при несколько большем значении этого коэффициента. Существует также такое значение коэффициента а, при котором аттракторные просветы для всех, даже самых высших мод полностью исчезают. Важно понять, что зарождение и исчезновение аттрактора является сложным динамическим процессом, который начинается с выхода моды на основной аттракторный уровень и его расщепления на множество субаттракторных мультиплетов, далее происходит последовательное разрушение аттракторной конструкции, а заканчивается данный динамический процесс полным исчезновением основного аттракторного уровня. И все это протекает при непрерывно меняющемся коэффициенте а. Какой из этих моментов лучше всего подходит для регистрации коэффициента а?

Проведенные исследования показывают, что предпочтительным моментом для регистрации коэффициента а, который бы наилучшим образом соответствовал состоянию данного аттрактора, является выход экстремальных точек всех характеристических пиков моды на линию диагонали. Тогда значения коэффициента а будут всегда выше тех значений, когда моды только касаются диагонали. К моменту прохождения диагонали через характеристический максимум (минимум) моды основной уровень аттрактора успевает сформироваться для всех высших мод и он подвержен наименьшим колебаниям при смене мод. В то же время к данному моменту основной уровень еще не успевает расщепиться на первый дуплет. При этом, что особенно важно, для всех мод рекурсивной функции Ферхюльста центральный, наиболее чувствительный пик достигает уровня 0,5. Поэтому при нахождении показательных коэффициентов удобно ориентироваться именно на указанный уровень. Если центральный пик достиг величины 0,5, можно быть уверенным, что все экстремальные точки характеристических пиков лежат в точности на диагонали.

В табл. 4.7 приведена система бифуркационных коэффициентов, когда экстремальные точки мод f 1, f 2, f 4, f 8, ..., f 512 достигают диагонали. Необходимо сказать, что с этого момента и далее мы перешли на новую систему обозначения мод без указания их аргумента, но с указанием их порядка базовым шрифтом, поскольку мелкие верхние индексы не всегда хорошо видны на рисунках. Новое обозначение обусловливается еще и тем, что здесь и далее моды предстают в новом свете. Сейчас мы не станем говорить о точках притяжения с циклами периода 2, 3, 4 и т.д., нас будут интересовать более зримые вещи — аттракторные мультиплеты с двумя, тремя, четырьмя и т.д. устойчивыми уровнями.

То, что наблюдается при первых четырех бифуркационных коэффициентах, приведенных в табл. 4.7, изображено на рис. 4.41. При a₀ = 2 все моды выходят на уровень 0,5. При этом первая мода f1, т.е. сама рекурсивная функция ax (1 – x), имеет единственную точку на этом уровне, в которой она пересекается с диагональю f₀. Следующие моды отвоевывают все большее и большее аттракторное пространство. При a₁ = 3,236... происходит расщепление основного аттракторного уровня на два подуровня, т.е. появляется первый дуплет, причем один из подуровней сохраняет свое основное значение, равное 0,5. Теперь уже диагональ f₀ настраивается на максимум моды f 2 или на ее минимум, расположенный в точке x = 0,5. Таким образом, основной уровень никуда не исчезает и остается на своем месте для всех последующих бифуркаций. На графике, приведенном в правом верхнем углу рис. 4.41, изображены только четные моды; нечетные моды выйдут на те же самые уровни, но окажутся в противофазе к четным. При а₂ = 3,49856... произошла вторая бифуркация уровней или их удвоение; диагональ f 0 пересекает моды, кратные числу 4, в четырех местах. Следующая бифуркация произошла при коэффициенте а₃ = 3,55464..., результатом чего явились четыре дуплетных уровня. В этом случае настройка производится на экстремальные точки моды f 8. Цепь бифуркаций приводит к расщеплению исходного уровня на 2, 4, 8, ... подуровней, которые образуют фрактал «Крепостная стена».

Таблица 4.7

Мода	Коэффициенты бифуркации	Ряд Fi	Δ = F – Fi
f 1	a0 = 2,000000000000000	–	–
f 2	a1 = 3,236067977499789	F1 = 4,70894301	–0,039741
f 4	a2 = 3,498561699327702	F2 = 4,68077100	–0,011562
f 8	a3 = 3,554640862768825	F3 = 4,66295961	0,006242
f 16	a4 =3 ,566667379856267	F4 = 4,66840393	0,000798
f 32	a5 = 3,569243531637112	F5 = 4,66895374	0,000248
f 64	a6 = 3,569795293749944	F6 = 4,66915718	0,000044
f 128	a7 = 3,569913465422345	F7 = 4,66919100	0,000011
f 256	a8 = 3,569938774233296	F8 = 4,66919946	0,000002
f 512	a9 = 3,569944194608065	–	–

Динамический фрактал «Крепостная стена» ничем принципиальным не отличается от ранее рассмотренных статических фракталов, типа ломанной линии Коха или береговой линии побережья Великобритании, которую изучал Мандельброт. Если возникает «Крепостная стена», значит, имел место бифуркационный процесс, и наоборот. По коэффициентам бифуркаций a_i можно найти постоянную Фейгенбаума с той степенью точности, которая определяется тремя последними членами ряда a_i. В нашем случае эта константа вычисляется с точностью Δ = 0,000002:

(постоянная Фейгенбаума равна F = 4,6692016091029909...). Универсальность постоянной Фейгенбаума как раз и объясняется тем, что после возникновения основного аттракторного уровня происходит его расщепление по однотипной схеме, не зависящей как от вида рекурсивной функции f (x), так и от места возникновения аттрактора на оси абсцисс.

Рис. 4.41

В самом деле, рекурсивная функция Ферхюльста f (x) = ax (1 – x) является простейшей квадратичной зависимостью, впервые появившейся в 1845 г. при математическом описании роста численности биологической популяции в условиях конкуренции. Однако идентичность бифуркационных диаграмм заставляет задуматься о единой природе огромного класса рекурсивных функций, которые могут быть выражены формулой f (x) = ax P(x), где P(x) — некий полином с конечным или бесконечным числом членов. На рис. 4.42 дается сравнение «Крепостной стены» от функции Ферхюльста с произвольно выбранной функцией вида

Рис. 4.42

В левом верхнем углу изображен аттрактор от первых 32 мод при а₅ = 3,56924... Основной его особенностью является строгая симметрия относительно серединной вертикали x = 0,5 и локализация границ в пределах единичного квадрата декартовой системы координат. Для новой рекурсивной функции более высокого порядка мы видим иную картину. Во-первых, вместо одной «Крепостной стены» появляются три: первая — в районе начала координат, причем границы этой «стены» выходят за единичные пределы; две другие «стены» — в областях x = 6,6 и x = 10,73. Во-вторых, все три «стены» заметно несимметричны. В-третьих, и самое главное, две дополнительные «стены», расположенные в областях x = 6,6 и x = 10,73, «возведены» в отсутствие диагонали f 0. Ее функцию взяла на себя мода f 1, т.е. сама рекурсивная функция. В свою очередь, мода f 2 взяла на себя роль моды f 1, мода f 3 — роль моды f 2 и т.д. Такое необычное расположение мод заставляет переосмыслить весь итерационный процесс. Ведь раньше, проводя диагональ f 0, считали, что тем самым обеспечивается переход от x_n к x_{n + 1}, т.е. переход от родителей к потомству, если говорить на языке биологических популяций. Таким образом, диагональ выступала искусственной подпоркой для обеспечения рекурсии в виде череды «поколений»: x₀, x₁, x₂, x₃, ... ; она вводилась в графические изображения (см. рис. 4.24 и 4.36а) субъективной волей исследователя. Теперь же, когда ее роль «самостийно» взяла на себя первая мода f 1, становится понятно, что аттракторы образуются не по причине касания диагонали с «макушкой» той или иной моды, а в результате «взаимодействия» всех мод между собой. Именно это создает фрактальные условия для «Крепостной стены» и всех прочих аттракторов. Отсюда, в частности, вместо трех возникло бесконечное множество аттракторных просветов, которые мы видели на левом верхнем графике рис. 4.40. Важно усвоить, что роль диагонали может выполнять не только сама рекурсивная функция f 1, но и любая ее мода — f 2, f 3, f 4 и т.д. На диагональ f 0 удобно ориентироваться при вычерчивании аттракторов, и мы будем это делать постоянно, но при этом не стоит забывать, что сама рекурсивная функция и ее моды ничего «не знают» о ней. К этому вопросу мы еще вернемся не единожды, а пока сосредоточимся на рекурсивной функции экспоненциального вида. Поскольку экспонента может быть разложена в степенной ряд, то рекурсивная функция вида f (x) = ax exp(1 – x) также относится к классу функций f (x) = ax P(x), который открывается законом Ферхюльста f (x) = ax (1 – x). На рис. 4.43 вычерчены два звена из 512 звеньев моды f 512 экспоненциальной функции. Как видно из графика «Крепостной стены», бифуркационный аттрактор для этой функции тоже несимметричен, но вертикальная и горизонтальные линии, проведенные на уровне числа e = 2,71828..., играют важную роль. Эти линии являются предельными, т.е. они делят «Крепостную стену» на две подобные части только в том случае, когда мода имеет бесконечно большой порядок. Поэтому главная вертикаль «стены» моды f 512 слегка отклонена от трансцендентного числа e. Та роль, которая была отведена в законе Ферхюльста аттракторному уровню 0,5 и координате x = 0,5, в экспоненциальном законе берет на себя единичный уровень и точка x = 1,0. Двумя другими важными особенностями экспоненциальной функции является, во-первых, то, что число звеньев «Крепостной стены» равно порядку моды , а во-вторых, максимальный аттракторный уровень в точности равен величине коэффициента а. Так, например, в правом нижнем углу рис. 4.43 приведен график моды f 512 при коэффициенте a₁ = 3,51 ... ; при этом бифуркационном значении коэффициента существует аттракторный дуплет в виде двух уровней — 1,0 и 3,51..., а сама мода f 512 состоит из 512 прямоугольных импульсов, которые резко обрываются в районе x = 746. Бифуркационные коэффициенты a_i и числовой ряд F_i, сходящийся к постоянной Фейгенбаума, приведены непосредственно на рис. 4.43.

Рис. 4.43

На рис. 4.44 приведена «Крепостная стена» от экспоненциальной функции, возникшая при коэффициенте a₇ = 10,68... на одном из самых верхних уровней 5-аттрактора и воспроизведенная модами, порядок которых определяется числами: 5·1, 5·2, 5·4, 5·8, 5·16, 5·32 и 5·64. Пять основных уровней этого аттрактора на модах с f 571 по f 575 приведены в правом нижнем углу данного рисунка. Следует иметь в виду, что во всех случаях, когда возникли n основных уровней от n-аттрактора, при увеличении коэффициента а на каждом из основных уровней начинается бифуркационный процесс, т.е. строительство «Крепостной стены», являющейся субаттрактором по отношению к основному n-аттрактору. Обратите также внимание на то, что максимальная высота «стены» и в нашем конкретном случае в точности совпадает со значением коэффициентом a₇. Семь значений бифуркационных коэффициентов a_i и пять чисел F_i приведены на рис. 4.44.

Рис. 4.44

Так как тригонометрические функции также раскладываются в степенные ряды, выражение f (x) = ax cos(x) относится к классу рекурсивных функций, обозначенному законом Ферхюльста. Тригонометрическая функция в определенном смысле интереснее, чем квадратичный и экспоненциальный законы, поэтому мы уделили ей особое внимание. Она позволит раскрыть общие условия возникновения аттракторов и понять природу хаотических процессов. В следующих подразделах, приводя графики мод f 1, f 2, ..., мы будем иметь в виду эту тригонометрическую функцию вида ax cos(x), не указывая ее явным образом. Косинус выбран нами для большей определенности; на его месте мог бы оказаться синус. Однако опыт детального исследования этой тригонометрической функции поможет читателю при самостоятельном изучении любых других, быть может, намного более сложных рекурсивных функций.