Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

4.8. Бифуркационная диаграмма

Чтобы двигаться дальше, нам придется перейти с языка непрерывных функций и дифференциальных уравнений на язык дискретных функций и рекурсивных уравнений. Дискретизация времени обычно определяется практическими соображениями. Для наших уравнений дискретизация времени означает непринятие предельного перехода Δt → dt. Так, исходное выражение для экспоненциального закона Δx = αxΔt можно записать как закон геометрической прогрессии, о котором говорили Мальтус и Дарвин: X_{n + 1} = αX_n, т.е. число особей в новом поколении будет в α раз больше, чем в предыдущем. Закон Ферхюльста Δx = αxΔt – βx²Δt также можно записать в форме: X_{n + 1} = αX_n – βX_n², т.е. число особей в новом поколении равно числу народившихся за вычетом числа погибших в результате внутривидовой борьбы. Если здесь в качестве переменной взять величину x = αX/β, то закон Ферхюльста примет свой канонический вид: x_{n + 1} = ax_n(1 – x_n).

Рассмотрение роста и убыли численности популяции, отображаемых законом Ферхюльста, ничем особенным не отличается от анализа квадратичной функции, проведенного в предыдущем параграфе. Теперь мы воспользуемся кривой Ферхюльста, чтобы более детально прописать те моменты теории динамических систем, которые раньше были только коротко обозначены и проиллюстрированы рис. 4.24 и 4.31б.

На рис. 4.36а сплошной линией показана вершина параболы, получающаяся при подстановки x в функцию Ферхюльста канонического вида f (x) = ax (1 – x), когда величина параметра a < 3. В этом случае итерационный процесс, стартовавший из точки 0 < x₀ < 1, сходится в точке притяжения x*, так как абсолютная величина тангенса угла наклона проведенной к этой точке касательной удовлетворяет условию сходимости итерационного процесса, сформулированному в предыдущем параграфе: |f '(x*)| < 1. Как только a > 3 (пунктирная кривая), тут же нарушится критерий сходимости: |f '(x*)| > 1. Следовательно, ранее устойчивая точка x* перестает быть таковой; вместо нее появятся две особые точки x₁* и x₂*, которые уже не являются устойчивыми для функции f (x), но они будут устойчивыми для второй моды f (2)(x) (рис. 4.36б). Для функции f (x) точки x₁* и x₂* образуют цикл периода 2:

x₁* = f (x₂*) = f ⁽²⁾(x₁*),   x₂* = f (x₁*) = f ⁽²⁾(x₂*),

где f ⁽²⁾(x) = f (f (x)).

Рис. 4.36

Диагональ x_{n + 1} = x_n, которая обеспечивает итерационную процедуру, пересекает функцию f ⁽²⁾(x) в четырех местах (рис. 4.36б), но только точки x₁* и x₂* удовлетворяют условию сходимости: 

| [ f ⁽²⁾(x₁*)]' | < 1, | [ f ⁽²⁾(x₂*)]' | < 1. 

Такая ситуация сохранятся до тех пор, пока коэффициент a закона Ферхюльста находится в определенных пределах. Если a выходит из этих пределов, точки притяжения x₁* и x₂* исчезают, так как для них не будет выполняться условие притяжения:

[ f ⁽²⁾(x₁*)]' | > 1, |[ f ⁽²⁾(x₂*)]' | > 1,

но на моде f ⁽⁴⁾(x) (рис. 4.36в) появятся уже четыре точки x₁*, x₂*, x₃* и x₄*, для которых условие сходимости будет выполняться: 

| [ f ⁽⁴⁾(x₁*)]'| > 1, | [ f ⁽⁴⁾(x₂*)]'| > 1,

| [ f ⁽⁴⁾(x₃*)]' | > 1, | [ f ⁽⁴⁾(x₄*)]'| > 1,

хотя диагональ пересекает четвертую моду в шести местах. Для функции f ⁽²⁾(x) точки x₁*, x₂*, x₃* и x₄* образуют 4-период. Такая геометрическая конфигурация сохранится в области коэффициентов a, гораздо уже предыдущей. Если a превысит границу второй области, прежние притягивающие точки (x₁*, x₂*, x₃* и x₄*) исчезнут и вместо них появятся восемь новых, для которых условие сходимости итерационной процедуры будет выполняться уже для f ⁽⁸⁾(x). Каскад удвоения притягивающих точек можно продолжать до бесконечности, при этом коэффициент a устремится к некоторому пределу, который явится правой границей бесконечной последовательности чисел. Для иллюстрации этого каскада удвоений вычерчивают так называемую бифуркационную диаграмму x* = B(a), которая показывает число и значение притягивающих точек x* в зависимости от величины коэффициента a (слово бифуркация означает удвоение). На рис. 4.37а нанесены найденные значения притягивающих точек: 

x* = 0,64 (при a = 2,8); x₁*= 0,48, x₂*= 0,82 (при a = 3,3); 

x₁*= 0,38, x₂*= 0,50, x₃*= 0,83, x₄*= 0,88 (при a = 3,5). 

Рис. 4.37

Первое удвоение наступает при a₁ = 3, второе — при a₂ = 3,4495, третье — при a₃ = 3,5441; далее точки a_i настолько плотно ложатся на оси a, что они становятся неразличимы. В соответствии с ними происходит и бифуркация. За счет большого масштабного коэффициента k область действия каждой точки притяжения стремительно уменьшается с одновременным ростом их количества. Это приводит к слиянию ветвей бинарного дерева, отчего бифуркационная диаграмма представляется одной затемненной областью, которая и видна на рис. 4.37б.

Бифуркационная диаграмма — это самый любопытный математический объект, к которому сегодня приковано внимание математиков, естествоиспытателей, философов и даже богословов, интересующихся последними достижениями точных и опытных наук.

Диаграмма заставила крепко задуматься над нашими представлениями о непрерывном и дискретном, случайных и детерминированных процессах или хаотических и регулярных явлениях. Начиная с 1978 г., когда американский математик М. Фейгенбаум построил бифуркационную диаграмму, люди, не равнодушные к проблемам науки, неустанно спорят, откуда берется хаос в строго детерминированных процессах. Ведь функция f (x) гладкая, т.е. в каждой точке дифференцируема, или, как говорил Дж. Милнор, голоморфна; гладкими будут и ее моды. Но на бифуркационной диаграмме ясно видны узкие и широкие щели, говорящие о наличии дискретности. Дискретная сущность голоморфных отображений отчетливо видна по так называемому странному аттрактору Лоренца, когда в строго детерминированном процессе неожиданно созревают условия для спонтанного перепрыгивания его с одной орбиты на другую. Кто указывает этому, казалось бы, чисто математическому явлению, по какому пути развиваться? Тут и приходят на помощь теологи, утверждающие, будто динамикой развития подобных процессов руководят божественные силы. К счастью, многие дискретные и хаотические явления, не прибегая к сверхъестественным сущностям, вполне удается разъяснить на других, более прозрачных математических моделях, чем система дифференциальных уравнений, которую анализировал Лоренц.

Итак, самая первая притягивающая точка x* держится при значениях коэффициента a₀ < a < a₁; притягивающие точки x₁* и x₂* существуют в диапазоне a₁ < a < a₂; четыре притягивающие точки x₁*, x₂*, x₃, x₄* «живут» на отрезке a₂ < a < a₃. Но выяснилось, что другие четыре притягивающие точки находятся совершенно в другой области коэффициента a, а именно, в диапазоне 3,9601 < a < 3,9608. Циклы периода 5, 6 и прочие также многозначны и имеют по оси коэффициента a начало и конец существования. За величиной параметра a_∞ = 3,57 начинается область a_∞ < a < 4, где происходит не только удвоение, но и утроение периодов; имеются также другие нечетные периоды: 5, 7, 9, ... Эти нечетные периоды умножаются на периоды 2ⁿ, причем нарастание периодичности идет в обратном порядке, т.е. с увеличением коэффициента a вначале идут нечетные моды высшего порядка, а затем низшего, так что первый цикл нечетного периода бесконечно большого порядка появляется при a = 3,6786, а цикл периода 3 — при a_III = 3,8284. Это положение периодов на оси a разъясняется на рис. 4.37а, где справа в увеличенном масштабе (3,82 < a_III < 3,84) изображены три корня, из которых потом вырастают бесконечные бинарные деревья. Значениям параметров на рис. 4.37б отвечает самая широкая светлая полоса, которая занимает диапазон 3,8284 < a_III < 3,8496. Цикл периода 3 · 2 = 6 возникает при значении параметра a_VI = 3,6265, но он существует также при a_VI = {3,8415; 3,937516; 3,977760; 3,997583}. Цикл периода 5 начинается левее точки a_III, но затем он повторяется и правее ее, при a_V = {3,7382; 3,9056; 3,99026}.

В левом верхнем окошке рис. 4.38 показана кривая при коэффициенте a = 3,78, которая немного «не дотягивает» до цикла периода 3. В правом верхнем окошке этого же рисунка показана та же самая мода при a = 3,8284, когда возникают три притягивающие точки: x₁*= 0,1599; x₂*= 0,5143; x₃*= 0,9563. Примечательным фактом здесь является то, что экстремумы моды любого порядка (в данном случае третьего) при определенном значении коэффициента a касаются диагонали одновременно, независимо от того, где они до этого находились, т.е. движение экстремальных точек вдоль оси ординат происходит крайне неравномерно. Наиболее чувствительным к изменениям коэффициента a является центральный пик, минимум или максимум которого всегда находится в точке x = 0,5. Поэтому при разыскании точек притяжения удобно ориентироваться именно на него. Сказанное относится и к модам пятого порядка, изображенным на двух нижних графиках. При двух значениях a они дают соответственно две системы притягивающих точек с периодом 5:

a = 3,73818:	x1*= 0,229;	x2*= 0,507;	x3*= 0,661;	x4*= 0,838;	x5*= 0,934;
a = 3,90557:	x'1*= 0,090;	x'2*= 0,320;	x'3*= 0,497;	x'4*= 0,850;	x'5*= 0,976.

Рис. 4.38

На следующем рисунке (рис. 4.39), состоящем тоже из четырех окон, изображены графики четных мод (6-ого и 10-ого порядков) от функции Ферхюльста. Эти четыре моды порождают следующие системы притягивающих точек; для мод шестого порядка имеем:

a = 3,6265:	x1*= 0,307;	x2*= 0,493;	x3*= 0,638;	x4*= 0,772;	x5*= 0,838;	x6*= 0,906;
a = 3,8470:	x'1*= 0,142;	x'2*= 0,155;	x'3*= 0,468;	x'4*= 0,505;	x'5*= 0,958;	x'6*= 0,962.

Координаты притягивающих точек для десятой моды при a = 3,647006:

x1*= 0,293;	x2*= 0,355;	x3*= 0,502;	x4*= 0,576;	x5*= 0,672;
x6*= 0,755;	x7*= 0,803;	x8*= 0,835;	x9*= 0,890;	x10*= 0,912.

Рис. 4.39

На двух левых графиках рис. 4.39 отчетливо видны два различных уровня, по которым распределяются точки касания мод f ⁽⁶⁾ (x) и f ⁽¹⁰⁾(x). Это наводит на мысль, что порядки мод нужно представлять в виде двух простых множителей, как моды f ^(2×3)(x) и f ^(2×5) (x). Шесть точек касания от моды f ⁽⁶⁾(x), показанной справа вверху, распределены парами по трем уровням, т.е. данную моду нужно представлять уже как f ^(3×2)(x). Аналогичная картина наблюдается в отношении десятой моды, изображенной в нижнем правом углу: пары близко расположенных точек распределены по пяти уровням, следовательно, мы имеем дело с модой f ^(5×2)(x).

Теперь давайте посмотрим, что произойдет с модами высших порядков при таких a, когда моды низших порядков касаются диагонали. Представлены четыре графика четных и нечетных мод (рис. 4.38 и 4.39) при восьми различных значениях коэффициента a. Выберем из них четыре моды, а именно:

f ⁽³⁾(x)   при a = 3,832,     f ⁽⁵⁾(x)   при a = 3,73818,

f ^(2×3)(x)   при a = 3,5276,     f ^(2×5) (x)   при a = 3, 647006;

и при заданных четырех коэффициентах построим в одной системе координат графики мод, например, с 500-го по 510-й порядок. Результат такого построения показан на рис. 4.40.

Рис. 4.40

При коэффициенте a = 3,832 все десять мод дали график, вычерченный в левом верхнем углу этого рисунка. Мы видим систему просветов, где имеются три уровня. По оси ординат уровни примерно (здесь многое зависит от коэффициента a) соответствуют точкам притяжения x₁*, x₂* и x₃*. В этих трех точках по оси абсцисс находятся самые широкие просветы. Но помимо них существует бесчисленное множество более узких просветов, которые располагаются фрактальным образом. Последнее означает, что если за основу взять любую из светлых полос, то все более узкие полосы будут расположены относительно исходной точно так же, как центральная, самая широкая полоса располагается относительно всех прочих полос. Другими словами, здесь любая часть воспроизводит целое, а это свойство геометрической структуры доказывает ее фрактальную сущность. Бифуркационная диаграмма абсолютно не способна разъяснить нам данный математический факт.

Кроме того, бифуркационная диаграмма оперирует точками притяжения, между тем мы видим линии притяжения. На тех участках оси абсцисс, где находятся просветы, все моды стремятся занять один из трех уровней, причем чем выше порядок моды, тем больше значение ординаты приближается к некоторой идеальной величине. Именно таким свойством обладают протяженные аттракторы. Ранее рассмотренные «точки притяжения» тоже иногда именуются «аттракторами», поскольку аттрактором называют и точки, и линии, к которым притягиваются орбиты, т.е. восходящая последовательность мод. Однако следует иметь в виду, что линии притяжения состоят из точек притяжения; поэтому получается, что один протяженный аттрактор состоит из бесконечного числа точечных аттракторов. В нашем случае линия аттрактора является качественно новым образованием и существенно отличается от одинарной точки притяжения. Это дает право на смысловое разграничение точек притяжения от линий притяжения. Последнее словосочетание мы заменяем на термин аттрактор и говорим: всякий аттрактор состоит из точек притяжения. И еще одна маленькая деталь. Слово аттрактор перекликается с замечательным французским словом аттракцион, который не просто «притягивает» людей, он еще и забавляет их. Трудно найти в математике более удивительную и забавную вещь, чем аттрактор рекурсивной функции.

Три других графика на рис. 4.40 демонстрируют те же аттракторные свойства мод рекурсивной функции ax (1 – x), что и первый. Как и в предыдущем случае, бифуркационная диаграмма не отвечает на вопрос, от чего зависит ширина аттракторных просветов (для функций f ⁽⁵⁾ (x), f ^(2×3) (x) и f ^(2×5) (x) она слишком мала; поэтому пришлось изменить масштаб, чтобы можно было видеть аттракторные уровни). Она не дает понимания того, каким образом аттракторные уровни распадаются на дуплеты, триплеты и прочие мультиплеты, т.е. она не разъясняет нам наблюдаемую группировку отдельных аттракторных уровней. Почему, в частности, на двух нижних графиках нечетные моды занимают верхний блок аттракторных уровней, а четные — нижний?

Ясно, что бифуркационная диаграмма является вторичным продуктом рекурсивной процедуры, которая возникает в результате нахождения точек касания. Получается, что через диаграмму изучаются не сами рекурсивные моды f ⁽ⁿ⁾(x), а их «тени» в виде точек x*, причем делается акцент именно на касании мод с прямой диагональю, а не на касании мод друг с другом. Между тем моды интересны сами по себе. Геометрическая конфигурация мод заслуживает того, чтобы их изучать отдельно, вне бифуркационной диаграммы, которая больше запутывает нас, чем что-либо разъясняет, поскольку она сваливает все моды в одну кучу, не делая различий между ними. В самом деле, непрерывно увеличивая коэффициент a рекурсивной функции Ферхюльста ax (1 – x), мы наблюдаем «странную» картину, наподобие «странного» аттрактора Лоренца. Странно то, почему число притягивающих точек x* то увеличивается до бесконечности, то неожиданно уменьшается. Непонятна также закономерность появления просветов в диаграмме и неясно, чем обусловлена их ширина. Очевидно, что данная математическая модель, получившая широкое хождение и вызвала бесконечные споры о соотношении хаотического и регулярного, дискретного и непрерывного, нивелирует естественную природу рекурсивного процесса и сама нуждается в репрезентативной модели, которая бы позволила изучать в более отчетливых формах все названные проблемы. Самое главное, что дискуссия вокруг бифуркационной диаграммы заслонила собой важную проблему аттракторов. Складывается впечатление, будто авторы их просто не замечают. Аттракторы возникают на модах высшего порядка, прежде всего в местах касания диагонали с модами низшего порядка, но не только. Эти фрактальные образования в рекурсивных функциях носят дискретную природу и должны стать объектом самого детального исследования.