Конструктивная математика

Акимов О.Е.

1. Психологический аспект познания

Общая схема восприятия и познания окружающего мира примерно такова. В результате восприятия объектов внешнего мира сначала образуются смутные идеи – конгломерат из звуков и образов. Далее в процессе образного мышления из этого конгломерата вычленяются отчетливые представления и образы, а языковое мышление формирует понятия и дефиниции. За образное и языковое мышление, согласно современным нейрохирургическим исследованиям, ответственны различные полушария коры головного мозга: формально-лингвистические центры находятся в левом полушарии, а механико-геометрические – в правом. Правополушарное мышление, ответственное за пространственную организацию, называется интуитивным; его интегральный, макрооперационный ход трудно проследить самому, тем более передать или рассказать о нем другим. Образное мышление обрабатывает в основном объективные данные, поступающие из внешнего мира конструктивными методами, т.е. через представления. Левое полушарие оперирует преимущественно субъективными и качественными категориями; оно имеет дело с речью, логикой и счетом в уме (арифметические действия производятся помимо каких-либо пространственных моделей). Языковое мышление называют еще вербальным; в противоположность образному мышлению, его можно назвать дифференциальным или микрооперационным.

Биполярность психической деятельности имеет доминантный и рецессивный полюса, в зависимости от того, какое из полушарий – левое или правое – является ведущим, а какое – ведомым. Слева находятся «мистические» центры, справа – «эмоциональные», отсюда левополушарные люди менее эмоциональны, но более религиозны, и наоборот. Говоря о биполярности человеческой психики, мы будем иметь в виду те ее сектора, которые в основном ответственны за эпистемологию, но так как всякий индивид не только познает мир, но и эмоционально реагирует на него то, естественно, по определенному проявлению его психической деятельности можно судить и об его эпистемологии.

Левополушарные индивидуумы преимущественно как думают, так говорят и пишут: грамотно и точно; способны к быстрому заучиванию стихов, к овладению иностранными языками. Если правое полушарие каким-то образом повреждено, то человек сохраняет способность правильно строить предложения, но они отличаются своей крайней бессодержательностью. У близких, хорошо знавших его людей создается впечатление, что человека подменили, так как он превращается в роботоподобное существо. И, напротив, повреждение левого полушария может привести к утрате речи или серьезным ее нарушениям, однако способность рационально и связно думать человек сохраняет, вместе с этой способностью сохраняется и существо его личности, т.е. адекватная реакция на поступки других людей. Близкие и родные чувствуют, что имеют дело с тем же человеком, что и до повреждения мозга. Замечены также половые и возрастные отличия: у женщин и лиц пожилого возраста больше развито символьное, формально-феноменологическое мышление, у мужчин и детей – образное, механико-геометрическое. Люди с более активным левым полушарием скорее становятся поэтами, бухгалтерами, юристами, экономистами, психологами, социологами, деятелями других гуманитарных профессий; люди, загружающие преимущественно правое полушарие, это – художники, архитекторы-строители, инженеры-конструкторы, т.е. занятые в технических или эмпирических сферах знания об объективном мире. Таким образом, деление людей на конструктивистов и формалистов имеет под собой некоторые особенности морфологии мозга.

Предположим, что в данный момент вы разглядываете книгу, лежащую на вашем столе. В связи с ней нервные импульсы возбуждают в вашем мозгу образ синего глянцевого параллелепипеда, покоящегося на темно-коричневой отполированной поверхности. За возникновение данной картины ответственна низшая нервная система человека и мышление, как таковое, отсутствует. Представленный же образ или просто представление является уже продуктом высшей психической деятельности, которая может протекать вне всякого реального объекта. Этот образ, как правило, лишен каких-то неактуальных признаков (для книги это может быть фактура бумаги), но сохраняются существенные атрибуты (ее прямоугольная форма). Образы, ощущения и представления существуют не просто в пространстве, а в пространственно-временном континууме, что воспринимается нами как движущиеся образы. На динамику ощущений мы не в силах повлиять, но над представлениями можно производить операции: удалять, приближать, выворачивать наизнанку. Так, мысленно мы можем раскрыть книгу на запомнившейся нам странице и отыскать там интересующий нас рисунок. Манипулировать можно и с теми представлениями, которые ранее никогда не были даны нам в ощущениях, например, можно представить себе вращение Земли, движение Земли вокруг Солнца, перемещение солнечной системы вокруг центра нашей галактики. Подобная мыслительная операция возможна в силу способности нашего мозга к моделированию с помощью знакомых нам с детства предметов, например, вращение Земли проецируется на вращение юлы.

Иметь понятие, значит полностью абстрагироваться от визуально-пространственных характеристик предмета и удерживать его в своей памяти посредством специальных символов (в примере с книгой, – фамилия автора и название книги). Понятия связаны с интеллектуальной процедурой описания предмета, который к тому же может иметь несколько различных словесных обозначений; и наоборот, один и тот же термин допускает несколько толкований. Определение, данное через второстепенные свойства объекта, влечет за собой поверхностное описание (например, человек – двуногое существо без перьев; под это определение попадает общипанный петух), акцентирование же на основных характеристиках объекта говорит о его более глубоком понимании (например, человек – единственное млекопитающее, имеющее разум).

Сборником определений слов разговорного языка и специализированных терминов служит толковый словарь. Именно в нем приводятся названия вещей и соответствующая им смысловая интерпретация. В толковом словаре, как правило, нет каких-либо геометрических образов, чертежей, фотографий и других картинок (этим он, в частности, отличается от энциклопедического словаря), хотя определяемые понятия могут включать и зрительные образы. Представление, как элемент психической деятельности, тяготеет к пространственной и структурной организации, понятие – к временной и функциональной.

Источниками представлений являются органы зрения и осязания. Осматривая и ощупывая предмет, мы получаем информацию о его форме, размерах и местоположении. Чувство, улавливающее течение времени, позволяет нам проследить за динамикой развития пространственных характеристик: за изменением формы предмета или за перемещением его в пространстве. Однако представление – это не только зрительный образ, но и слуховой, вкусовой, тактильный, а понимание (осмысление) предмета часто включает в себя и представление о нем.

Например, при произнесении слова водопад мы воображаем шум падающей воды, одновременно наш нос как бы вновь чувствует влажность воздуха, а кожа «вспоминает» ощущение прохлады от бесчисленного количества выпавших на нее капелек влаги. Со словом полынь перед глазами встает другое представление, образ бледно-зеленой травы с узкими листьями; нос вдруг начинает ощущать терпкий запах, во рту появляется горьковатый вкус, а руки ощущают мягкость листвы, которая совсем не похожа, скажем, на жесткость листьев подорожника или колючесть листьев репейника. Образы водопада или полыни всегда очень конкретны: в принципе, мы можем указать место и время их восприятия. Представлениями, по-видимому, оперируют животные: собака помнит образ и запах своего хозяина, боль, которую она испытала от битья палкой, и неприятные ощущения от ошейника.

Старое изречение – мысль без слова, что душа без тела – не совсем точно. Если представление – это объект мышления, то оно легко может обойтись и без слов. Представления пришли и к человеку, и к собаке от реальных явлений; они – из внешнего мира; это – почти наполовину чувства. Понятие же, напротив, более тесно связано с нашим внутренним миром, языком. Оно всегда абстрактно; им не владеют животные, а если и владеют, то в самой зачаточной форме. Язык не обязательно совпадает с мышлением: за сказанным словом может и не стоять никакой мысли, и наоборот, мысль не обязательно воплощается в слове; высказанная идея – это скорее даже искаженная мысль. Образное мышление человека намного старше понятийного; оно в большей степени служит адаптации человека к окружающей среде: защита от естественных врагов, поиск пищи или партнера для продолжения рода осуществляется посредством образного мышления.

Если представление есть, прежде всего, конкретный элемент бытия, то понятие выражает отношение между элементами. Как представление не есть только пространственный образ, точно так же и понятие не сводится к чисто временной характеристике. Больше того, оно связано скорее не столько со временем, сколько с логикой и историческим развитием языковой формы, в которой время присутствует опосредованно, как сказал бы Гегель, в «снятом» виде. Кажется, что понятие существует для тех, кто не способен видеть, слышать и вообще ощущать. Можно обойтись без слов: достаточно непосредственно указать на предмет, чтобы человек понял, о чем идет речь. Недаром этимология древнерусского слова ведать связана со словом видеть; в английском языке выражение «I see» с прямым переводом «я вижу» означает также «я понимаю».

Представления даны нам в основном через зрительные образы, понятия – через словесные определения. Понятия и представления тесно взаимосвязаны: вслед за названным словом в памяти всплывает зрительный образ. Если каналы поступления чувственной информации от внешнего мира полностью блокированы, то представления могут быть столь отчетливы, что, кажется, идут извне, а не изнутри. Так, субъективные события, имеющие место при галлюцинациях или во сне, принимаются за объективные. Идея Бога, как внутреннее переживание определенного комплекса чувств, для религиозных людей превращается в образ реально живущего существа, обитающего где-то за пределами непосредственно видимого мира. Поскольку этот комплекс чувств крайне субъективен и произволен, то и воплощение Высшего Существа у разных людей будет различным. Об этом хорошо написал Вильям Джемс в своей книге «Многообразие религиозного опыта».

Возьмем другой пример. Половое созревание людей связано с переживанием комплекса сексуальных чувств, которые ищут в окружающей среде для себя соответствующий выход. Люди с повышенной половой потенцией отличаются и особой влюбчивостью. Конкретную материализацию получают также различные подозрения (например, чувство ревности), фобии (например, страх смерти оформляется через образ старухи с клюкой).

Однако вещи, данные в представлениях, могут сильно отличаться от вещей, данных непосредственно в ощущениях. Это касается как субъективных переживаний любви, ревности, страха, так и познавательных процессов. Например, орбиту Земли вокруг Солнца изображают в форме видимой эллиптической кривой, хотя в действительности траектория не имеет никакого видимого следа; то же самое можно сказать о земной оси.

Не все, что описано или дано в определениях, можно представить образно. Классический пример: вообразить себе прямоугольный треугольник можно, но треугольник вообще – нельзя, хотя его определение существует.

В процессе познания вещи часть знаний приходится на понятия (эти функциональные элементы нуждаются в описании), а часть – на представления (структурные элементы требуют понимания). Но соотношение между ними неодинаковое: можно сказать, что понятие – это конечный продукт представления, т.е. надводная часть айсберга, поэтому именно образные представления и модели двигают науку вперед.

Понятийно-словесная оболочка мысли возникла и развилась благодаря коммуникационным потребностям человека; она является непосредственной реакцией психолингвистической деятельности человека, живущего в коллективе людей. Осознание же мира – это индивидуальный продукт психики; оно приходит не в результате словесного описания вещей, а путем их пространственного представления, моделирования и создания вещественных конструкций. Истину можно только самому увидеть, ее невозможно услышать от других и передать другим. Все понятия и определения держатся на авторитете их автора, представления же – истинны или ложны – сами по себе. В словесных баталиях истина скорее уничтожается, чем рождается. Прав тот, кто смог вообразить себе сущность явления, а таких, чаще всего, немного, они в меньшинстве, так как большинство ловится на удочку краснобаев, умеющих цветисто говорить, но плохо представляющих суть дела.

Понятия и представления выражаются через определенные системы символов. Для символов представлений важны пространственные характеристики (форма, размеры, композиционные соотношения) – только в этом случае геометрия форм образует адекватную модель. Например, важно, чтобы электроны обозначались шарами (а не эллипсоидами или кубами), однородное магнитное поле – параллельными силовыми линиями определенной плотности, орбиты планет – правильными эллипсами, зонные структуры полупроводников должны иметь конкретную ширину и очередность. Символы, отражающие понятия, должны быть компактны, легко узнаваемы и без труда воспроизводимы. Так, символами служат слова обыкновенного языка общения, специальные научные термины, многочисленные математические символы, обозначения химических элементов. Неразвитая символика сдерживает научно-познавательный процесс. Из истории естествознания хорошо известно, что введение специальной символики позволило Лагранжу и Гильберту сильно продвинуть вперед чисто геометрическую механику, какой она была во времена Ньютона.

Символ в науке не должен существовать совершенно обособленно от соответствующей пространственно-временной формы. Манипуляция иностранными (например, латинскими и английскими) или специальными словами, а также использование просто псевдонаучных терминов, за которыми нет никакого образного представления, как и употребление в древние времена магических заклинаний и знаков, приводит только к путанице. Хорошо изученные объекты имеют отчетливые функциональные и структурные формы. Таковыми являются гелиоцентрическая модель солнечной системы, оболочечная структура атома, капельная модель экситонной жидкости, сферический кристалл фуллерена, периодическая таблица Менделеева, клетка органической материи, структура молекулы ДНК.

В картине мира формалиста часто преобладают элементы: конвенциальные, условные, надуманные, обманчивые, специально вводящие в заблуждения, нарочито утрированные или даже безобразно извращенные, шокирующие, неимоверно раздутые, художественно приукрашенные, адаптированные к требования текущего момента, искусственно приспособленные к выживанию в конкурентной среде, спонтанно сфантазированные, мифологизированные, сказочные, мистифицированные, обожествленные, рассчитанные на какой-то иной, возможно, скрытый или плохо осознаваемый самим индивидуумом эффект. Так что под формально-феноменологическим подходом подразумевается то, что в нем могут присутствовать все перечисленные моменты либо в гипертрофированном, либо в ослабленной форме. Термин формальный при множестве оттенков имеет один неизменный смысл – ненастоящий, а термин феноменологический означает взятый с поверхности или рассчитанный на внешний эффект.

Более адекватная картина мира конструктивиста наполнена элементами противоположного свойства. Их главными признаками являются: разумность, открытость, наглядность, искренность, непритворность, согласованность, неподдельность, уместность, своевременность. Мы говорим, что конструктивисты являются обладателями рационально-конструктивного мировоззрения, ясность и определенность которого противостоит спекулятивности и расплывчатости мировоззрения формально-феноменологического. Термин рациональный указывает на отсутствие религиозно-мистических мотивов, а конструктивный часто означает модельный или алгоритмический. Модели, как правило, бывают пространственно-механические, алгоритмические процедуры можно задавать не только каким-то списком правил, но и таблицей, например, так называемыми арифметическими таблицами, и т.д.

Эпистемологическое деление на конструктивистов и формалистов является следствием принципа двойственности. Понятие двойственности распространяется на огромное число физических, биологических, психологических и даже социально-культурных явлений. Примеры двойственности, взятые из проективной геометрии, теории графов, логики, электротехники и линейного программирования, приводились в наших курсах лекций «Дискретная математика» и «Естествознание». Следует, однако, иметь в виду, что в эпистемологии конструктивизм и формализм никогда не выступают в чистом виде: их носителями были люди, которые, наряду с конструктивным подходом, использовали какие-то формально-феноменологические и даже религиозно-мистические приемы.