Конструктивная математика

Акимов О.Е.

14. Открытие дифференциала

С именем Ньютона обыкновенно связывают и открытие нового направления в математике – интегрально-дифференциальное исчисление. Однако первенство в этой области до сих пор оспаривается историками разных стран. В самом деле, разве можно допустить, чтобы честь открытия тайны решения алгебраических уравнений была приписана какому-то одному математику, а ведь создание интегрально-дифференциального исчисления сопряжено с гораздо большим кругом проблем. Первоначально интегрирование связывалось с нахождением площадей и объемов криволинейных фигур – задачи, которые успешно решал еще Архимед. Метод исчерпывания и метод интегральных сумм позволил ему найти квадратуру параболы и спирали, кубатуру цилиндра, шара и конуса, которые относились друг к другу как 3 : 2 : 1 – самое замечательное отношение. Дифференцирование развилось благодаря решению задач на проведение касательных к различным кривым, которые ставились античными математиками, но в сравнении с задачами интегрирования их было неизмеримо меньше. Греки знали, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному из точки касания. Существовала определенная методика проведения касательных к кривым второго порядка, в частности, к параболе.

Трудность, с которой столкнулись тогдашние математики при проведении касательных, поначалу не была решена и математиками Нового времени. Она состояла в том, что касательная имела всего одну точку касания с кривой, между тем для определения направления прямой требовалось две и только две точки. Единственная точка P либо на окружности, либо на параболе или любой другой кривой никак не могла определить единственную прямую. Следовательно, рассуждали математики, касательных в точке P должно быть несколько. Тут же возникал следующий вопрос: если их много, то сколько? Большинство древнегреческих математиков сошлось на том, что все кривые реально имеют атомарное строение и состоят не из точек, а из крохотных отрезков прямых. В окрестности точки P, говорили они, касательная будет принимать направление атомарной линии.

Такой физический взгляд на математические кривые вполне согласовывался с методами исчерпывания, квадрирования площадей и кубирования объемов: во всех этих задачах производилась полуэмпирическая аппроксимация кривых прямыми линиями, а изогнутых поверхностей – плоскостями. «Плоскими атомами» со времен написания Платоном «Тимея» обычно считались треугольники. Под «объемными атомами» древние (в частности, тот же Платон) мыслили пять правильных тел: тетраэдр для огня, куб (гексаэдр) для земли, октаэдр для воздуха, икосаэдр для воды и додекаэдр для эфира. Если в качестве атомов выступали шары (как у Демокрита и Архимеда), то и в этом случае при их сложении получалась зернистое, а не сплошное образование. Атомистам-геометрам, принадлежавшим обычно демокритовской, пифагорейской или платоновской школам, противостояли элементники-логики, следовавшие мировоззрению Аристотеля, который смог синтезировать взгляды многочисленных физиков-элементников вроде Эмпедокла.

В Новое время споры вокруг интегрально-дифференциального исчисления велись как раз по поводу природы дискретного и континуального, т.е. между сторонниками существования крохотных неделимых количеств (т.е. атомов) и исчезающих на бесконечности качеств (т.е. элементов). Идеологии механицизма и химизма уходили своими корнями, соответственно, в геометрию и логику. Где господствовал механицизм, там шел диктат отчетливых пространственных форм, при химизме же конкретные образы исчезали, и воображение заполнялось символами или расплывчатыми и ускользающими миражами качеств, которые можно было попытаться как-то искусственно структурировать средствами логики.

В трактатах Нового времени, где затрагивались вопросы о пределах и бесконечно малых, постоянно присутствовал полемический дух, разжигаемый двумя вышеуказанными противоборствующими лагерями. Почитайте, к примеру, схолию (поучение) Ньютона к первому отделу книги I его «Математических начал», где доказываются леммы о пределах и бесконечно малых, там только и растолковывается, как следует понимать предельные отношения исчезающих количеств. Автор пишет: «Доказательства делаются более краткими и при помощи способа неделимых [т.е. атомов], но так как само представление о неделимых грубовато, то этот способ представляется менее геометрическим, почему я и предпочел сводить доказательства всего последующего к пределам сумм и исчезающих количеств и к пределам их отношений. Поэтому я и предпослал сколь можно краткие доказательства свойств этих пределов. Способом пределов достигается то же самое, что и способом неделимых, и после того как его основания доказаны, мы можем ими пользоваться с еще большей уверенностью. Поэтому, если во всем последующем изложении я и рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими из неизменных частиц или, если я принимаю за прямые линии весьма малые частицы кривых, то следует понимать, что это – не неделимые, а исчезающие делимые [до бесконечности] величины, что это – не суммы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм и пределы отношений исчезающих величин...» [25, с. 69].

В этой схолии Ньютон подчеркивает, что бесконечно малые исчезают бесследно, но их отношения остаются конечной величиной. «Дело объясняется проще на бесконечно больших величинах, – поясняет это трудное место Ньютон. – Если две величины, разность которых задана, будут обе увеличиваться до бесконечности, то между ними существует предельное отношение, которое равно единице, однако нет предельных значений для самих величин, т.е. таких наибольших их значений, отношение которых как раз было бы равно единице» [25, с. 70]. Термины «предел» и «предельное отношение», которые встречаются в приведенных отрывках, не отражают понятия предела, введенного математиками позже. У Ньютона получалось: бесконечность/бесконечность = 1; согласно же нынешним представлениям, отношение бесконечность/бесконечность количественно не определено; то же самое и в отношении 0/0. Все девять лемм первого отдела «Математических начал», который называется «О методе первых и последних отношений, при помощи которых последующее доказывается», по сути, отражают точку зрения древних на метод исчерпывания, где говорится о совпадении предельных фигур вписанных с описанными, которые проведены возле каких-либо кривых (круга, параболы, шара и т.д.).

Ньютон принадлежал к спекулятивным ученым, колеблющимся между дискретными и континуальными представлениями. Пытаясь совместить несовместимое, он часто напускал густого тумана там, где не мог схватить ясных отношений между вещами. Эти нарочитые недомолвки и двусмысленности Ньютона его почитатели принимали за высшую диалектику ума. Например, из его «Оптики» прекрасно видно, что он не имел никакой определенной модели в отношении света и метался между двумя крайностями. В связи с этими колебаниями современные схоласты стали приписывать ему провидческий дар, благодаря которому он якобы смог предвидеть корпускулярно-волновой дуализм, господствующий в нынешней физики. Между тем баталии по поводу природы дифференциала и интеграла продолжились и после смерти главных спорщиков – Ньютона и Лейбница. В Трактате «Дифференциал» (1754) Даламбер писал: «Нам важно заняться метафизикой дифференциального исчисления. Эта метафизика, о которой столько писали, еще важнее и ее, быть может, еще труднее развить, чем сами правила этого исчисления... Ньютон никогда не считал дифференциальное исчисление исчислением бесконечно малых, а видел в нем метод первых и последних отношений, т.е. метод определения пределов отношений. Этот знаменитый ученый никогда поэтому не дифференцировал величины, а только уравнения, ибо всякое уравнение заключает в себе отношение между двумя переменными, и дифференцирование состоит только в определении пределов отношений между конечными разностями, содержащихся в уравнении двух переменных...» [26, с. 156 – 157].

Дифференцировать или брать производную можно и от отдельно взятых «величин» или, по терминологии Лейбница, «функций». Отсюда видно, что Даламбер, слепо следовавший за Ньютоном, не совсем правильно представлял себе сущность данной операции. Относительно бесконечно малых и дифференциала он дает следующие объяснения (если их вообще можно назвать «объяснениями»): «Бесконечно малое (геом.). Так в геометрии называют количества, которые рассматривают как меньшие, чем любая заданная величина. Под словом «дифференциал» мы в достаточной мере разъяснили, что это лишь претензия (pretendues) на количества, и мы доказали, что на самом деле они не существуют ни в природе, ни в допущении геометров» [25, с. 157].

Дифференциал от функции, как и сама функция, вполне описывается количественно и уж в любом случае дифференциал от физической переменной имеет материальное бытие (например, скорость и ускорение). Однако Даламбер, похоже, под дифференциалом понимает некое «исчезающее количество», вокруг которого схоласты Нового времени (ведь спекулятивно думающие люди всегда были и будут) развернули шумные дебаты. В «Размышлениях о метафизике исчисления бесконечно малых» Лазарь Карно тоже пытался «разъяснить» разницу между понятиями бесконечно малого количества, который имеет какой-нибудь геометрический образ, и предела, к которому подбираются путем символических выкладок: «... Понятие бесконечно малого количества не менее ясно, чем понятие предела, потому что оно есть не что иное, как разность этого предела и количества, последним значением которого он является. Разница между тем, что называется собственно методом пределов и методом бесконечно малых, состоит в том, что в первом из них в вычислениях допускаются, действительно, только самые пределы, являющиеся всегда означенными количествами, в то время как в методе бесконечно малых допускаются еще неозначенные количества, которые, предположительно, приближаются к ним непрерывно, а так же разности этих неозначенных количеств и их пределов. Это обстоятельство дает методу бесконечно малых больше средств для видоизменения выражений и алгебраических преобразований, не создавая ни малейшей разницы в строгости приемов обоих методов» [25, с. 158 – 159].

Как можно убедиться, проблемы дифференциального исчисления, спустя многие десятилетия после Ньютона, все еще были далеки от понимания; математики витали в облаках схоластики средневековых философов. Таким образом, рано появившиеся приемы проведения касательных неожиданно прервали свое естественное развитие из-за безнадежной попытки их метафизического осмысления. Подобно тому, как софисты не могли до конца понять, как Ахиллес мог бы догнать и перегнать черепаху, из-за чего произошла задержка в становлении кинематического понятия скорости, точно так же схоластические споры вокруг понятия дифференциала сильно сдерживали нормальное развитие конструктивных методов исчисления бесконечно малых. Отсюда проблема проведения касательных сама собой соединилась с давнишней фундаментальной проблемой науки, связанной с идеями скорости и ускорения – основополагающими понятиями механики.

Формалист Даламбер, занявший в науке XVIII века место формалиста Ньютона, был против соединения механики движения материальной точки с геометрической интерпретаций производной. В трактате «Флюксия» (1756) он недоумевает по поводу понятия мгновенной скорости: «Вводить здесь движение – значит, вводить идею чуждую и вовсе не требующуюся для доказательства: ведь мы не имеем четкой идеи о том, что такое скорость тела в каждое мгновение, когда эта скорость переменная... Когда скорость равномерная, это отношение пути ко времени... Но когда движение переменное ... это отношение дифференциала пути к дифференциалу времени, отношение, о котором нельзя дать ясной идеи иначе, как с помощью идеи предела. Таким образом, необходимо обратиться к последней, чтобы получить четкую идею флюксии» [26, с. 157]. Между тем, дифференциалы как раз и нужны были больше всего там, где скорость непрерывно менялась. Еще математики старейшего Оксфордского университета в начале XIV века умели решать задачу о нахождении пути и времени равномерно ускоренного движения. Подобные задачи были затем рассмотрены итальянцами Дж. Казали (1346), а много позже Г. Галилеем (1638).

К интегральной тематике нужно отнести трактат «О конфигурации качеств», написанный в 1350 г. преподавателем Сорбонны Николаем Оремом, и трактат Иоганна Кеплера 1609 г. «Новая астрономия», где он сформулировал свой знаменитый второй закон, связанный с площадями секторов эллипса. В трактате 1615 г. «Новая стереометрия винных бочек» Кеплер решал задачи по нахождению объемов не только бочек, но и многих других объемных тел вращения; в частности, тора, образующегося путем вращения круга, яблока, образующегося путем вращения кругового сегмента, большего, чем полукруг; лимона, образующегося путем вращения кругового сегмента, меньшего, чем полукруг. Ученик Галилея Эванджелиста Торричелли искал объем бесконечно длинного тела, образованного вращением одной из ветвей гиперболы (опубликовано в 1644 г. в его «Геометрических трудах»).

Декарт дал миру новый математический метод, соединивший геометрию с алгеброй – аналитическую геометрию. Теперь мог существовать не только образ окружности и параболы, но, за счет введения системы координат, и его алгебраическое уравнение, а также уравнение соответствующей касательной. На повестку дня встал вопрос об алгоритме поиска уравнения касательной, если известно уравнение кривой (процедура дифференцирования), и обратной задачи (процедура интегрирования). Максимального успеха в формулировании интегрального метода, по-видимому, добился французский математик Пьер Ферма (1601–1665), который дал методику «квадрирования бесчисленных парабол и гипербол». Этот же замечательный математик немало размышлял и над дифференциальной тематикой, т.е. природой касательных. Благодаря его стараниям в современный курс математического анализа вошла теорема Ферма, которая утверждает, что в экстремальных точках максимума и минимума для любой кривой касательная имеет нулевой наклон (т.е. производная равна нулю: y' = 0). Все эти результаты были опубликованы после смерти французского математика в собрании его сочинений 1679 г., однако известны они стали математикам уже в начале 1640-х гг.

Правила нахождения квадратуры кривых вида y = ax ^ m/n, написанные Ньютоном в 1669 г. и опубликованные в 1711 г., были ни чем иным, как повторением уже известных интегральных приемов. Дифференциалам (или, как говорил Ньютон, флюксиям) он посвятил три небольшие работы, написанные в молодые годы и навеянные в основном идеями того же Ферма, Декарта, Валлиса и его непосредственного патрона по Кембриджу Исаака Барроу. Ферма освоился с методикой нахождения экстремумов и проведения касательных к кривым к концу 30-х годов XVII в. Благодаря письмам Ферма, посланным Декарту и Робервалю, понятие о производной и ее назначении распространилось в среде математиков еще до рождения Ньютона и Лейбница. Под впечатлением от чтения работ французских математиков и от непосредственных бесед с Гюйгенсом, Лейбниц к осени 1675 г. закончил свои исследования по исчислению бесконечно малых, т.е. сформулировал главные идеи, относящиеся к дифференциалу, как бесконечно малому приращению функции, и интегралу, как сумме бесконечно малых дифференциалов. Кстати, термины «функция» и «дифференциал», а также обозначения дифференциала, как d, и интеграла в виде вытянутой буквы S, принадлежат ему. Терминология, введенная Ньютоном, не прижилась. Отчасти потому, что она была менее удобна, отчасти потому, что работы Ньютона были менее прозрачны для понимания, но главное – Ньютон в отношении нового открытия повел себя некрасиво, что сильно рассердило математиков, живущих в континентальной Европе. Поясним последнее.

Летом 1677 г. Лейбниц написал о своем открытии Ньютону, который сначала не отвечал и не рассказывал о своих достижениях. Но в первых двух изданиях своих «Начал» в схолии ко второй лемме книги II он сообщал, что передал Лейбницу код фразы: data aequatione quotcumque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire et vice versa (если задано уравнение, содержащее любое число переменных, то можно найти флюксии, и наоборот). Код представлял собой подсчет количества использованных в этой фразе каждой из букв и выглядел следующим образом: 6a, 2c, d, ae, 13e, 2f, 7i, 3l, 9n, 4o, 4q, 2r, 4s, 9t, 12v, x (было ли это на самом деле или это сочинил автор – неизвестно). Далее Ньютон писал: «Знаменитейший муж [т.е. Лейбниц] отвечал мне, что он также напал на этот метод, и сообщил мне свой метод, который оказался едва отличающимся от моего, и лишь терминами и начертаниями формул».

Однако при сравнении теории флюксий Ньютона с теорией дифференциала Лейбница первая заметно проигрывает, так как многие вопросы в ней оказались невыясненными, неудачно представленными или просто ошибочными. Впрочем, если помнить о вкладе всех предшествующих ученых, от Архимеда до Декарта, то их обоих нельзя без больших оговорок назвать пионерами интегрально-дифференциального исчисления. Как бы там ни было, между Ньютоном и Лейбницем вспыхнул громкий и скандальный конфликт, благодаря которому вся Европа разделилась на два враждующих лагеря. После этого всякое упоминание о Лейбнице Ньютон из третьего издания своего сочинения исключил и вместо указанных слов написал следующее: «В письме к Д. И. Коллинзу [J. Collins] от 10 декабря 1672 г., в котором я описывал метод проведения касательных (тогда еще неопубликованный), относительно которого я подозревал, что он такой же, как и у Слузия [R. F. Sluse], я добавил: "Это составляет лишь частный случай или следствие гораздо более общего метода, который распространяется без всяких трудных выкладок не только на проведение касательных к каким угодно кривым, как к геометрическим, так и к механическим, но и решение других, более трудных типов задач, а именно: о кривизне, площадях, длинах и центрах тяжести кривых и т.п., причем не приходится ограничиваться случаем уравнений, не содержащих иррациональности (как по методу Гудде [J. Hudde] для максимума и минимума). Этот метод я сочетал с другим, относящимся к решению уравнений при помощи бесконечных рядов". Данного отрывка из письма будет достаточно. Последние же слова относятся к сочинению, написанному по этому поводу в 1671 г. Основания же для этого общего метода содержатся в предыдущей лемме».

Этим вновь написанным текстом подтверждался факт, что если даже и были у Ньютона предшественники, то никак не Лейбниц, а те два названных господина. Аналогичная тактика по штопанью белыми нитками была использована Ньютоном, когда Роберт Гук стал вполне законно претендовать на первенство в открытии всемирного закона тяготения. Ньютон тогда тоже решил растворить его единоличные заслуги в весьма сомнительных заслугах в этой области Рена и Галлея.

После того, как спор о приоритете стал предметом внимания широких кругов европейской общественности, при Лондонском Королевском обществе была сформирована «Международная комиссия», которая должна была объективно расследовать авторство математического открытия. В выводах комиссия, состав которой держался в строжайшем секрете в течение ста с лишнем лет, признавалось авторство изобретения дифференциального метода за Ньютоном и намеки на плагиат со стороны Лейбница. Но объективности в таком выводе не было никакой: Королевское общество в тот период возглавлял Ньютон, комиссию сформировал он и даже выводы для этой комиссии были написаны им самим (нашли его черновик). Известный французский ученый и историк науки Араго по поводу этого спора писал: «Хотя Королевское общество решило спор в пользу Ньютона, однако я не могу согласиться с его решением, которое не принимают и новые геометры» [27, с. 112].

Ньютон уверял всех, что метод флюксий он открыл еще в 1665 г., но в конце 1713 г. Европу наводнили «летучие листки», опубликованные друзьями Лейбница, в частности, Иоганном Бернулли (1667–1748), в которых говорилось, что в 1670 г. Ньютон владел только методами работы с бесконечными рядами, которые нельзя признавать за методы дифференциального исчисления. Там же было сказано, что «когда Ньютон присваивает себе честь, принадлежащую другому, а именно, честь аналитического открытия дифференциального исчисления, впервые открытого Лейбницем..., он слишком поддается стремлению к славе и влиянию льстецов, незнающих о том, что происходило ранее. Получив незаслуженную долю в открытии, по доброте выделенную ему иностранцем [т.е. Лейбницем], он теперь хотел бы получить все – признак ума и не беспристрастного и не честного. На это жаловался и Гук по отношению к гипотезе планет, и Флемстид, чьи наблюдения использовались» незаконно Ньютоном [28, с. 346].

В 1665 г. Ньютон, возможно, и занимался тем, что он впоследствии, чтобы отгородить свои исследования от лейбницевских, назвал «теорией флюксий», но, как заметил известный историк математики Стройк: «Школа Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона» и к тому же: «Трудно разглядеть за геометрической формой его доказательств, что их автор полностью владел анализом, который он назвал теорией флюксий» [29, с. 146 – 147]. Не станем далее рассказывать детали этой длинной и запутанной истории, для нас сейчас важен вывод из нее, который формулируется следующим образом. Математический анализ бесконечно малых появился на свет в результате упорных исканий огромного числа математиков по всё той же конструктивной методике проб и ошибок. Ни Лейбницу, ни Ньютону, ни даже их великим предшественникам (Ферма, Декарту и пр.) нельзя отдавать пальму первенства в открытии дифференциала и интеграла. Ни один математик, начиная с Архимеда и заканчивая Даламбером, не может похвастаться полным и глубоким пониманием вопроса, связанного с исчислением бесконечно малых. Более или менее сносное обоснование инфинитезимальных приемов произошло не благодаря дедукции или какой-то там метафизики, а в силу математически корректного введения понятия предела, которое вызрело лишь в XIX веке в работах Коши и Вейерштрасса. Когда же при упоминании дифференциального исчисления всё внимание концентрируют на личности Ньютона, это вызывает вполне законное недовольство у математиков континентальной Европы, ибо именно этот господин из всех названных имен, быть может, меньше всего внес конструктивного. Более того, его работы содержали спекулятивные элементы, которые вызвали справедливую критику сначала со стороны его соотечественника епископа Дж. Беркли (1685–1753), а затем математиков, живущих за пределами Англии.

Покажем, в чем, собственно, основное различие между пониманием дифференцирования у Лейбница и Ньютона. Как известно, все формулы дифференцирования выводятся из ключевого выражения для дифференциала произведения двух функций f и g: d(fg) = fdg + gdf или через символ производной: (fg)' = fg' + gf'. В общем, эта формула витала в воздухе и, скорее всего, так или иначе была известна как Лейбницу, так и Ньютону из многочисленных задач, решенных для конкретных случаев. Перед ними стояла цель обоснования этой формулы. Лейбниц считал, что при раскрытии скобок в выражении

d(fg) = (f + df)(g + dg) – fg = fdg + gdf + dgdf

последнее слагаемое обращается в ноль в силу высшего порядка малости по сравнению с двумя другими членами. Такой взгляд на дифференциал в общем сохраняется до сих пор.

Ньютон же во Введении к «Трактату о квадратуре кривых», который больше напоминал конспект идей, сообщенных ему Лейбницем, написал свою знаменитую фразу: in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi – в математических вещах нельзя пренебрегать даже малыми ошибками. Здесь имелась в виду малость величины члена dgdf. Достоверно установлено, что «Трактат» написан по крайней мере не раньше 1676 г., т.е. после того, как о дифференциалах ему написал Лейбниц, а опубликован он был только в 1704 г. В печатном «Трактате» имелась оговорка, сделанная, очевидно, для Лейбница и его сторонников: «я постепенно пришел около 1665 и 1666 гг. к методу флюксий, который я прилагаю здесь к квадратуре кривых». Эти оправдательные слова больше говорят об обратном, а именно, что к выражению для дифференциала произведения двух функций d(fg) Ньютон пришел позже Лейбница. Однако самым любопытным является то, каким образом Ньютону удалось обойти условие Лейбница dgdf = 0, вызывавшее столько споров у тогдашних математиков.

В «Математических началах натуральной философии» (лемма II, книга II) имеется соответствующая выкладка, показывающая всю схоластическую изощренность ума знаменитого британца. Вывод формулы для d(fg) Ньютон произвел следующим образом: он взял не сами приращения df и dg, а их половинки, и далее стал манипулировать символами. В этих его действиях не было ни геометрического, ни механического смысла. В самом деле, составив произведение двух скобок:

(f + df/2)(g + dg/2) = fg + fdg/2 + gdf/2 + dgdf/4,

он затем отнял из него произведение двух других скобок:

(f – df/2)(g – dg/2) = fg – fdg/2 – gdf/2 + dgdf/4,

в результате чего получилось выражение fdg + gdf без опоры на условие dgdf = 0. Какой смысл заключен в этом загадочном трюке, ученый не разъяснил; и вообще, в отношении своих флюксий Ньютон рассуждал весьма и весьма туманно. Чего стоит одна его фраза: «Флюксии приблизительно пропорциональны приращениям флюент, образующимся в разные весьма малые промежутки времени, или, точнее говоря, находятся в предельном отношении зарождающихся приращений и могут быть представлены какими угодно линиями, этим приращениям пропорциональными» [25, с. 71]. Эту туманную формулировку восприняли потом ньютонеанцы во главе с Даламбером. Школа Лейбница придерживалась более отчетливых представлений. Производная связывалась только с тангенсом угла наклона касательной, а не с «какими угодно линиями». Чертежи, призванные пояснять, чем являются флюксии и приращения флюент, с точки зрения геометрии, у Ньютона выполняли прямо противоположное назначение и скорее дезориентировали воображение читателя, чем помогали ему. Из-за этой невнятности складывалось впечатление, будто их автор определенно следовал какому-то образцу, плохо прочувствовав его внутреннюю логику.

К ньютоновским спекуляциям придрался Беркли в своем известном трактате «Аналитик» (1734), после которого началась затянувшаяся почти на полтора столетия полемика по поводу сущности бесконечно малых. Там он едко и беспощадно критиковал «великого автора метода флюксий», положившего начало новому анализу. Досталось и Лейбницу, когда Беркли указал, что условие dgdf = 0 невозможно принять «при помощи законного логического хода рассуждений». У Ньютона существовал вывод формулы для производной показательной функции y = x ^ n, где он брал бином (x + o) ^ n и раскладывал его в известный ряд. Под буквой o понималось приращение аргумента ничтожно малой величины. Беркли обратил внимание на то, что при выводе формулы производной y' = nx ^ (n – 1) величина o сначала принимается за нечто вполне определенное, а в конце вывода она неожиданно принимается за «абсолютное ничто». Ясно, говорит критик, что если бы «аналитик» сразу принял условие o = 0, он бы никогда не вывел формулу для производной y', поэтому «всё это представляется весьма непоследовательным способом аргументации». Беркли задается вопросами, и сам на них отвечает: «Что такое флюксии? – Скорости исчезающих приращений. – А что такое эти самые исчезающие приращения? – Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. – Разве после этого мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин? Люди слишком часто внушают себе и другим, будто они представили себе и поняли явления, выраженные при помощи символов, тогда как в действительности они не имеют о них ни малейшего представления, а понимают только сами символы. И есть основание опасаться, что именно так обстоит дело в данном случае» [30, с. 426]. В последней реплике содержится квинтэссенция критики всякого формализма, апеллирующего к символам явлений, а не к их имитационным моделям, на основе которых только и приходит понимание этих явлений. В конце своего трактата Беркли задал еще 67 вопросов, аналогичных тем, что были приведены только что.