Конструктивная математика

Акимов О.Е.

13. Рационализм картезианцев

Очень похожую на свод правил Арно и Николя систему отправных принципов мы находим у Блеза Паскаля. Вот его перечень аксиом [23, c. 96 – 97]:

1. Воздерживаться от определения вещей, самоочевидность которых исключает возможность появления более ясных терминов.
2. Не оставлять без определения ни один, хотя бы и в самой малой степени неясный либо же сколько-нибудь двусмысленный термин.
3. Применять в определениях лишь совершенно ясные или предварительно разъясненные слова.
4. Устанавливать необходимость каждого необходимого принципа, сколько бы тот ни был ясным и самоочевидным.
5. Принимать в качестве аксиом только самоочевидные положения.
6. Не доказывать положения, самоочевидность которых исключает появление более ясных доказательств.
7. Доказывать все положения, хотя бы в малой степени неясные, используя для их доказательства лишь наиболее очевидные аксиомы либо такие положения, которые уже приняты и доказаны.
8. Всегда мысленно замещать определяемое определением, дабы избежать заблуждений, связанных с многозначностью терминов, смысл которых должен быть ограничен определением.

У Паскаля заметно меньше уверенности в необходимости, а, главное, в нашей возможности определять и доказывать всё и вся. Он допускает, что многие вещи, как то: пространство, время, движение, равенство, больше, меньше, целое, число и т.д. определить невозможно, да и вряд ли необходимо, так как слова чаще не раскрывают, а, напротив, заслоняют суть вещей. Он, как и авторы «Логики Пор-Рояля», – за последовательность в изложении теории, однако, по его мнению, теоретический порядок «заключается отнюдь не в том, чтобы все определять или все доказывать, так же как и не в том, чтобы отказываться от какого-либо доказательства, но единственно в том, чтобы держаться середины: не определяя и не доказывая вещи ясные, понятные и известные, определять и доказывать все прочие» [23, с. 72].

Эту свою мысль он так и эдак стремится провести в своем небольшом трактате «О геометрическом уме», но читатель остается в недоумении, что же все-таки надо и чего не надо определять, ведь для нас лично бессмысленно что-либо определять, так как нам без всяких слов виден предмет определения. Двусмысленность – это всегда чужая проблема, а не наша личная. Определять слова и доказывать предложения – это учесть тех, кто собирается выставлять свои знания на всеобщее обозрение, выступать перед аудиторией придирчивых слушателей. Для тех же, кто в одиночку отправился в путь на розыски истины, громоздкий и тяжелый интеллектуальный багаж будет только мешать, особенно в минуты, когда он соберется с духом перепрыгнуть через глубокие ущелья полного незнания или попытается проникнуть в какие-то узкие расщелины между искаженными людскими предрассудками представлениями.

Кажется, Паскаль убедил всех, что пространство, как вместилище геометрических объектов, определять не нужно. А как насчет точки этого пространства, потом линии, плоскости – где нам остановиться? Может быть, на определении треугольника или круга – так кто ж их не знает, кто не имеет у себя в голове их отчетливых образов? И потом, как быть с надуманной альтернативой схоластов: универсалии в вещах (universalia in rem) или они существуют до вещей (ante rem)? В частности: numerus ante rem numerata aut in re numerata? (числа до перечисленных вещей или в перечисленных вещах?) Можно сказать, что всё развитие математики было ни чем иным, как сбрасыванием подобной метаматематической (на что претендует логика) и метафизической шелухи. Эта операция очищения никогда не проходила гладко; она обязательно оборачивалась изнурительной войной с ретроградами формализма. И здесь мы должны откровенно заметить, что у Паскаля, как и у Арно и Николя, просто не хватает мужества оставить всю логику за бортом исследовательского процесса; логика только путается под ногами у исследователя новых объектов, мешает истинной творческой процедуре.

Раздумывая на полпути между представлением и понятием, можно подумать, что он горой стоит за интуиционизм. Так, он писал: «... Какими бы ни были движение, число, пространство и время, всегда можно говорить об их увеличении или уменьшении, так что расположенные между ничто и бесконечностью, они всегда удалены от этих пределов. Такого рода истины нельзя доказать, однако они-то суть основание и начала геометрии. Поскольку же их недоказуемость обусловлена не смутностью, а, напротив, предельной очевидностью, отсутствие доказательств – не изъян, но, скорее, достоинство. Отсюда видно, что геометрия не может ни определять свои предметы, ни доказывать принципы, однако неспособность эта опирается на единственное и благоприятное для геометрии основание, состоящее в том, что и первым, и вторым присуща предельная ясность, которая действует на разум гораздо сильнее рассуждений» [23, с. 79 – 80].

С этой интуиционистской позицией, естественно, нужно соглашаться. Только речь не должна идти об элементарных вещах, которые якобы образуют начала науки. Самые сложные пространственные структуры, а не только пустое пространство, мы способны воспринимать с максимальной очевидностью. Следует, однако, учитывать, что ясность эта существует для непосредственно мыслящего, а не для вашего собеседника или оппонента в горячем споре. И уж в любом случае не следует забывать о главном, о чем говорилось не раз: не существует очевидных истин для всех, формалисты способны к восприятию одних вещей, для них целый космос уместится на пяточке; конструктивисты воспринимают мир иначе, они и в капле увидят вселенную. Похоже, Паскаль, как и Декарт, верил в какой-то «естественный свет» разума. Он надеялся, что этим даром наделены все люди в одинаковой степени. Но история науки древней, новой и совсем недавней доказывает, что существует по крайней мере два сильно различающихся подвида Homo sapiens, которым лучше обитать на раздельных территориях, обнесенных высоким забором, иначе драки не миновать.

В общем, позиция Декарта была более интуиционистская, чем позиция Паскаля, и уж тем более позиция авторов «Логики Пор-Рояля». В первой части его «Начал философии», которая называется «Об основах человеческого познания», мы находим десятый параграф, где Декарт говорит, что ясные представления не нуждаются в логическом обосновании: «То, что является весьма простым и само собой понятным, логические дефиниции могут только затемнить...». Далее он поясняет сказанное в заголовке параграфа так: «Я часто замечал, что причиной заблуждения философов бывает то, что они пытаются с помощью логических дефиниций объяснить простейшие и само собой понятные вещи: таким образом они только их затемняют. Однако, когда я сказал, что положение Я мыслю, следовательно, я существую является первичным и самым достоверным, какое только может представляться кому-либо в ходе философствования, я тем самым не отрицал необходимости знать до него, что такое мышление, существование, достоверность..., но поскольку всё это – простейшие понятия, которые сами по себе не дают познания ни одной из бытующих вещей, я не счел нужным их перечислять» [24, c. 317].

Таким образом, Декарт не желает давать определения всем словам, которые существуют в языке, как то: мышление, существование, достоверность и т.п. К этим самоочевидным понятиям Паскаль присоединил такие термины, как пространство, число, больше, меньше и т.п. Однако Декарта, Паскаля и прочих картезианцев сильно беспокоила проблема, где же лежит граница интуитивной «отчетливости». В своем «Рассуждении о методе» Декарт говорит об этом и делится с нами тем, как он пришел к тому главному принципу, с которого начинается его философия: «Затем я рассмотрел, что вообще требуется для того, чтобы то или иное положение было истинно и достоверно; ибо, найдя одно положение достоверно истинным, я должен был также знать, в чем заключается эта достоверность. И, заметив, что в истине положения Я мыслю, следовательно, я существую меня убеждает единственно ясное представление, что для мышления надо существовать, я заключил, что можно взять за общее правило следующее: всё представляемое нами вполне ясно и отчетливо – истинно. Однако некоторая трудность заключается в правильном различении того, что именно мы способны представлять себе вполне отчетливо» [24, с. 269]. Далее мы не станем прослеживать ход мысли Декарта, который, как заведено, привел его к идеям о Боге. Для нас важно сейчас то, что он, похоже, намеренно исключил из своего списка основополагающих положений, которые приведены во второй части его «Рассуждения о методе», пункты, касающиеся определения терминов. В этом перечне нет положений, в котором говорилось бы что-либо о логическом доказательстве. О дедуктивном методе Картезий говорит, но говорит как-то скупо, в общих чертах. При исследовании физических, космологических, анатомических проблем он им, конечно, не пользуется, целиком полагаясь на структурный синтез имеющегося в его распоряжении образного материала.

Перед тем, как дать общие правила для руководства ума, Декарт, будучи по своей природе большим рационалистом, чем его последователи, предупредил своего читателя, что «вместо большого числа правил, составляющих логику», лучше руководствоваться немногими, но строго блюсти их. В итоге он указал четыре правила [24, с. 260], которые, однако, претендовали у него на какой-то универсализм и завершенность, что, в общем-то, противоречит позиции настоящего конструктивиста.

1. Никогда не принимать за истинное ничего, что не было бы для нас очевидным, т.е. старательно избегать торопливости и предубеждения и включать в свои суждения только то, что представляется уму столь ясно, что не дает ни малейшего повода для сомнений.
2. Делить всякое затруднение на столько частей, сколько их может быть и сколько требуется для его разрешения.
3. Располагать свои мысли в определенном порядке, начиная с предметов наиболее простых и наиболее легких для познания и мало-помалу, как бы по ступеням, восходя к познанию самых сложных; устанавливать порядок даже между теми предметами, которые по природе своей не предшествуют одни другим.
4. Всюду делать перечни настолько полные и обзоры настолько всеохватывающие, чтобы мы могли быть уверены, что ничего не упустили.

Первым пунктом в основание картезианской эпистемологии кладется интуиционистский принцип. Второй пункт, где говорится о делении «всякого затруднения» на части, видимо, исключает те сложные случае, когда истина не усматривается прямым путем, так что все стоящие перед исследователем проблемы разрешаются средствами дробления объекта. Третий и четвертый пункты расширяют толкование второго, но тоже, как и второй пункт, могут быть восприняты только как благие пожелания, не способные гарантировать успешного завершения исследования. Да и кто подскажет заблудшему правильную последовательность мыслей, кто положит конец его мучительным сомнениям? Даже Бог не в состоянии это сделать. Декарт был большой умница, но этими четырьмя принципами он отнюдь не покончил с предрассудками средневековой схоластики, а напротив, укрепил ее универсалистские притязания.

Был, правда, у него еще один, можно сказать, нулевой цикл, заключающийся в сокрушении всех старых строений и выравнивании площадки для возведения нового здания. Этот эпистемологический прием он называет «принципом сомнения» или «принципом критики». Что ж, пусть будет включена и эта стадия. Только все равно, на любых этапах строительства новой теории, логика не должна вмешиваться ни путем определения используемых терминов, ни путем дедуктивного вывода в форме: «из A следует B». Из A ничего не вытекает, так как до появления теории нет еще никакого A, а если даже и есть некое A, то далее может последовать не только B, но всё что угодно – C, D, E и т.д. Природа не знает никаких импликативных форм. Важную мысль не грех повторить: логика служит для упорядочения готовых мыслей, а для описания реальных объектов имеется лишь формы тождества и вычислительная математика, элементарными разделами которой являются геометрия и арифметика. С помощью самых примитивных чертежей и прикидочных вычислений исследователь пытается формировать каркас теории. Отделка же деталей теории: лингвистическая шлифовка терминов и подбор логических аргументов, которые бы служили убедительным доказательством теории, – все это вещи вторичные, не имеющие прямого отношения к эпистемологии открытий.

Читатель может спросить: «Пускай Коперника посетило озарение, и он понял, что Солнце должно находиться в центре мира. Но за этим первым интуитивным представлением должна последовать цепочка логических рассуждений, которая бы могла расставить на свои места все планеты». Нет, за первым большим озарением следует множество малых, которые увязываются в одну ладную картину при помощи геометрических построений и арифметических вычислений. В операциях 2 + 2 или ln 7, а также в действиях с циркулем и линейкой нет никакой логики. Космологическая или любая другая теория создается без логики, а вот когда уже готовая теория излагается на бумаге, рассказывается товарищу, учащимся школы или даже самому себе, здесь подключается логика, в этом случае нужно придерживаться какой-то дедуктивной последовательности, которая диктуется пропедевтикой.

Дедуктивный вывод – это убедительный язык, более ничего. Язык предполагает слова, которые должны быть предварительно определены: под орбитой мы понимаем то-то, под эклиптикой – то-то, хотя линия орбиты и плоскость эклиптики существуют в нашем мозгу без всяких имен и дефиниций. Таким образом, познавательный процесс складывается из огромного числа интуитивных озарений, которые появляются в нашем мозгу не в результате умозаключений, а в силу ассоциации зрительных образов, сходства механизмов взаимодействия или подобия пространственных структур. Логика может вводиться в процессе формирования теории, но только для фиксации и оформления промежуточных результатов в виде какого-то языкового текста. Переход от одного этапа теоретического строительства к следующему происходит в форме малого или большого интеллектуального скачка, когда в строящейся модели появляется какая-то одна дополнительная деталь. Впрочем, может происходить и радикальная ее перестройка, при которой старая картина полностью заменяется на новую. Но конструктивный подход всегда предусматривает именно пространственное моделирование, сочетающееся с определенными вычислительными процедурами. Кто начинает с определения терминов, тот мало занимается настоящей наукой и не участвует в истинном творческом процессе. Такого человека, быть может, надо назвать компилятором, комментатором или просто корректором, но только не ученым-исследователем.

Несправедливо сенсуалисты, последователи Джона Локка, автора термина tabula rasa, обвиняли Декарта в априоризме, будто он исповедовал некую теорию врожденных идей. Вовсе нет, те идеи, которые мы генерируем во время творческого процесса, появились у нас в мозгу отнюдь не от рождения. Очень может быть, что эта наша способность создавать образы, сформировалась под действием жизненного опыта, который приобретается в детские годы. Только в зрелом возрасте, во время творческого поиска человеку уже не надо начинать с первичных чувств, связанных с осязанием, зрением, слухом и обонянием. Наши прямые ощущения тяжести и легкости, влажности и сухости, теплоты и холода, как и чувства страха, боли, голода, любви, удовольствия не должны принимать никакого участия в создании теории. До тех пор, пока человек ориентировался на сырой психологический материал, наука топталась на месте. Возьмем снова тот же пример с солнечной системой.

Сколько сотен астрономов наблюдали за светилами, однако ничто не заставило их изменить древнюю систему Птолемея. И вот пришел Коперник. Не перед его глазами, а перед его умственным взором открылась ему гелиоцентрическая система. При таком познавательном процессе прямой зрительный опыт, это «зыбкое свидетельство чувств», непосредственного участия не принимает. Отвлеченными представлениями или количественными величинами эмпирика отодвинута на самые задворки эпистемологии, когда уже почти готовую теорию необходимо было проверить. После того, как Коперник ясно представил гелиоцентрическую систему, далее ему понадобилось обосновать ее, найти в картине мира Птолемея слабые стороны, для чего он задействовал математический аппарат для вычисления эфемерид планет и лишь в конце эти расчетные данные сверил с наблюдениями.

И так везде: интуиция, т.е. мгновенное усмотрение истины, минуя всякое дедуктивное доказательство, для конструктивиста является отправной точкой во всех его исканиях, касается ли это астрономии, физики или чистой математики. Перед внутренним интеллектуальным взором исследователя должен открыться простой и ясный визуальный образ или, быть может, некая сложная картина, которая, однако, должна появиться единовременно, без какой-либо цепи рассуждений. Возможно, это будет динамический процесс, разворачивающийся во времени, т.е. своеобразная кинематографическая картинка, которую видел, наверное, Коперник, когда представлял себе движение планет вокруг Солнца. Но опять-таки, данный образ появляется в нашем сознании как нечто самодостаточное, для разворачивания его не требуется обоснования, все изменения в нем происходят отнюдь не под действием субъективных дедуктивных рассуждений, а в силу объективного движения, которое отвечает реальному пространственному перемещению объектов.

Таким образом, утверждаем мы самым категорическим образом, до формулирования всякой теории лучше всего, чтобы исследователь не пользовался никакими предварительными понятиями, определениями, принципами и не думал о порядке расположения материала, так как существует опасность, что за этими тремя березами он не увидит прекрасной березовой рощи. Лучше, когда он в деле отыскания истины предоставит своему воображению неограниченную свободу выражения, начнет как бы с чистого листа, tabula rasa. Частокол определений, постулатов и аксиом, по которым он всё равно не добьется согласия коллег, загораживает от него перспективу творчества и нисколько не помогает ему в познании вещей. И потом, откуда вначале исследования возьмутся определения, ясные и однозначные термины? С образов и только с них начинается всякое творческое мышление. Определения и логические доказательства, возможно, понадобятся адвокату, публично выступающему в суде и убеждающему судий и присяжных в своей правоте, но не исследователю, в одиночку пробивающемуся сквозь бурелом предрассудков к неведомым вершинам знаний. Первые представления, наверняка, будут у него ошибочными, но потом всё образуется, притрется и придет в норму. Символы и формулы, как термины и доказательства, появятся позже, когда сформируется главная идея, когда в голове человека возникнет устойчивая пространственная картина.

Сказанное относится не только к ученому, но и к учащемуся, который приступает к изучению нового предмета, ибо всякий незнающий мало чем отличается от исследователя принципиально новых областей науки. Лучше, если он в самом начале не будет заучивать какие-либо формулировки и не станет вникать в детали предмета, а постарается охватить предмет разом, пусть не глубоко, но обязательно весь целиком. Эти рекомендации, разумеется, идут вразрез с первыми пунктами, сформулированными Евклидом в «Началах», где трудно добраться до истинной геометрии из-за частокола определений, постулатов и аксиом. То же самое надо сказать и об авторах «Логики Пор-Рояля», хотя в целом они не против критического метода Декарта, который особенно хорош, когда им непосредственно пользуются, а не когда о нем рассказывают.