Конструктивная математика

Акимов О.Е.

12. Аксиоматика «Логики Пор-Рояля»

Бесплодность поиска универсальной системы отправных положений нам демонстрируют Рене Декарт (1599–1650), Блез Паскаль (1623–1662), Антуан Арно (1612–1694) и Пьер Николь (1625–1695), которых нам удобно рассматривать в обратном порядке, поскольку, оттолкнувшись от Декарта, мы перейдем к Ньютону. Здесь необходимо помнить, что этот британец постоянно находился в оппозиции к названному французу, так что их лучше не ставить далеко друг от друга. Вместе с тем, мысли Арно и Николя тесно коррелируют с мыслями Евклида и Аристотеля, о которых мы только что рассказывали. Еще одним аргументом, оправдывающим наше нарушение хронологии, является то, что все перечисленные нами французы, имея примерно одинаковую идеологию рационализма (поэтому не так уж и важно, с какого конца начинать о них рассказ), тем не менее, различаются по степени отдаленности их от схоластики. Так вышло, что основоположник картезианства был дальше от нее, чем его последователи, т.е. последние оказались ближе к прежней форме философствования, навеянной еще античными софистами.

Итак, Арно и Николь под впечатлением учения Декарта и Паскаля написали «Логику, или Искусство мыслить», известную больше под названием «Логика Пор-Рояля». Пор-Рояль (Port-Royal) – аббатство близ Парижа, где обосновались янсенисты – последователи католического богослова Корнелия Янсена (1585–1638), который относился сочувственно к реформам Лютера – Кальвина и с презрением ко всему тому, что исходило от иезуитов. Посмертно в 1640 г. было издано его сочинение «Августин», шедшее вразрез с аристотелевско-аквинской схоластикой. Картезианство, как рационалистическое и гуманистическое течение в религиозном отношении, естественно, ближе подходило к учению Платона и Блаженного Августина, чем к учению Аристотеля и Фомы Аквинского. Известно, что Декарт отдавал большее предпочтение интуиции, чем логике, а его знаменитый принцип «Я мыслю, следовательно, я существую» восходит к Августину. Хотя аббатство Пор-Рояля было построено еще в начале XIII века прославилось оно в XVII веке благодаря таким видным французским мыслителям, как Декарт, Паскаль, Расин, Сенглен, Леметр де Саси и др. При аббатстве существовал женский монастырь, а позднее открылась школа для детей состоятельных аристократов Франции довольно либерального направления. Сюда в 1656 г., после своего изгнания из Сорбонны за свои радикальные взгляды и прибыл Антуан Арно. В 1665 г. по причине распространения янсенистской «заразы», истинные католики в лице иезуитского ордена открыли новое аббатство под тем же названием «Пор-Рояль» в самом Париже; старое же аббатство под Парижем вскоре после смерти видных картезианцев, в 1710 г. закрылось.

«Логика Пор-Рояля» была написана Арно и Николем в 1662 г., т.е. спустя два года после выхода в свет «Грамматики Пор-Рояля». Последняя была написана Арно совместно с Клодом Лансло под названием «Общая и рациональная грамматика». Главная идея лингвистического сочинения носила, собственно, логический характер. В «Грамматике» утверждалось, что в основе всех языков лежит единая логическая структура. «Логика» же Арно и Николя была в определенном смысле противоположна основной задачи, стоящей перед «Началами» Евклида. Тот излагал геометрию с использованием логики, они же, наоборот, стали логику излагать на манер геометрии, как она была представлена у античного автора. В обоих случая доля логики была огромна; соответственно ей в текстах обоих учебников присутствовали и спекуляции. Тем не менее картезианцы понимали, что геометрия по свей природе является больше интуиционистской, т.е. визуальной наукой, чем дедуктивной. Такая странная для логиков позиция, очевидно, вызвала нарекания со стороны коллег, поэтому в предисловии к «Логике» Арно и Николь спешили успокоить своих читателей: «Что касается примеров из геометрии, то их действительно поймут не все, но в этом нет большой беды. Они, как правило, встречаются или в особых, частных, рассуждениях, которые вполне можно пропустить, или там, где излагаются вещи, достаточно ясные сами по себе или достаточно проясненные другими примерами и потому не нуждающиеся в примерах из геометрии. Если к тому же рассмотреть все те места, где мы их приводим, никто не станет отрицать, что трудно было бы подыскать другие столь же подходящие примеры, потому что это единственная наука, доставляющая нам совершенно ясные и неопровержимые положения» [21, c. 24].

Как бы ни оправдывались авторы – а оправдания эти кажутся нам достаточно непоследовательными – сочинение их вышло на манер евклидовых «Начал», которые они, тем не менее, беспощадно критиковали. Уж как старался Евклид в своих «Началах» все расставить по своим местам, так нет же, авторы «Логики Пор-Рояля» выставили его на посмешище, мол, все у него расположено абы как, вопреки «естественной природе вещей» и это у кого – у самого отца дедуктивного метода! А что делать нам, смертным, неспособным оставлять после себя на долгие века нетленных сочинений вроде «Начал»? «В первых четырех книгах, – уличают они Евклида в непоследовательности, – речь идет о протяженности, в пятой говорится о пропорциях всякого рода величин. В шестой книге Евклид вновь рассматривает протяжение, в седьмой, восьмой и девятой говорит о числах, а в десятой снова возвращается к протяжению. Это то, что касается общего порядка, но у него очень много беспорядка и в частностях. Он начинает первую книгу с построения равностороннего треугольника, а двадцатью двумя положениями ниже излагает общий способ построения любого треугольника по трем данным линиям при условии, что две из них [в сумме] больше одной, по отношению к чему построение равностороннего треугольника на одной данной линии является частным случаем. Относительно перпендикулярных и параллельных прямых Евклид ничего не доказывает иначе, как через посредство треугольников. Он примешивает к измерению линий измерение площадей. Он доказывает (кн. I, предложение 16), что если продолжить строну треугольника, внешний угол будет больше любого из внутренних, ему противолежащих, а 16-ю положениями ниже у него доказывается, что внешний угол равен двум противолежащим. Чтобы привести здесь все примеры подобного беспорядка, какие можно найти в "Началах", пришлось бы переписать всего Евклида» [21, с. 338].

Переводчик и комментатор «Начал» Д.Д. Мордухай-Болтовской, записавшийся в адвокаты к Евклиду, заверяет нас, будто для древнегреческого автора на первом месте были не силлогизмы, а «вычерчивание геометрических фигур»: геометрический объект существовал, если его можно было построить с помощью линейки и циркуля. «Евклид, как и Аристотель, – пишет этот защитник, – не задавался целью вывести все свои положения силлогистически из немногих высказанных им определений, постулатов и аксиом. Его целью было лишь убедить читателя в определенных истинах, но он вовсе не считал единственным способом убеждения формально-логический вывод положений из признанных читателем в начале истин» [22, c. 229].

Но такая конструктивная философия была противопоказана Евклиду. В данном случае Мордухай-Болтовской скорее выразил конструктивное направление геометрической мысли Древней Греции, которая билась над разрешением трех известных задач: построение квадратуры круга, удвоение объема куба и проведение трисекции плоского угла. Конструктивисты, вроде Евдокса, ломали голову над этими задачками, а софисты, вроде Евклида, оформляли результаты живого творчества в мертвые логические схемы. Что же касается истинных намерений Евклида и Аристотеля, то они как раз и касались отыскания начал для всякого знания. Их целью было получение именно логически связанной системы знаний. А то, что у них из этого ничего не вышло должно лишний раз подсказать нам о ложности поставленных ими целей.

Кроме того, здесь нужно помнить еще вот о чем. Каждый лектор или автор книг знает, от скольких случайных факторов зависит последовательность изложения материала. Сначала кажется логичным начать с такой-то одной темы; потом, в процессе изложения выясняется, что для ее раскрытия требуются то-то и то-то, что, в свою очередь, нуждается в дополнительных знаниях, которые также зависят от совершенно новых, взятых из другой темы, и этим перекрестным ссылкам нет конца. Обвинять автора в непоследовательности – любимый конек всех критиков. Когда знаешь об этом, не больно-то хочется искать строгой последовательности изложения – критику все равно не угодишь. Объективно, быть может, и существует единственно правильная последовательность в изложении, но субъективно ее сразу сложно обнаружить, а потом уже и не хочется начинать заново. Бывает, что и объективных путей существует несколько, причем все они тесно пересекаются: невозможно разделить одну ветвь от другой так, чтобы не потерять что-то в полноте содержания. Не раз говорилось, что логику и геометрию можно построить на нескольких системах аксиом, одинаково хорошо отвечающих формалистским требованиям полноты, независимости и непротиворечивости. Тем не менее, аксиоматики никак не успокоятся – всё ищут и ищут свой идеальный перечень грамматических предложений, который, по сути, никакого отношения к настоящей математике не имеет.

Арно и Николь начали «Первую часть, в которой содержатся размышления об идеях, или о первом действии ума, называемом представлением», кажется, вполне удачно: «Слово идея принадлежит к числу тех, которые настолько ясны, что их нельзя разъяснять с помощью других слов, потому что не существует слов более ясных и более простых. Для того чтобы исключить неверное понимание его значения, можно единственно лишь отметить, что было бы неправильно относить его только к одному способу рассмотрения вещей, который состоит в обращении ума на образы, рисующиеся в нашем мозгу, и носит название воображения. ... Если мы станем размышлять над тем, что происходит в нашем уме, мы обнаружим, что очень многие вещи мыслятся нами без всякого телесного образа, и увидим разницу между воображением и чистым разумением» [21, с. 32 – 33].

В этих первых строках «Логики Пор-Рояля», где производится деление идей на те, что можно только представить в виде «телесного образа», и те, что можно мыслить в понятии, т.е. «чистое разумение» (pure intellection), данное нам через словесные определения, содержится главная эпистемологическая проблема логики и математики. Здесь расположена точка бифуркации (ветвления) двух принципиально различных методик, одна из них есть методика обучения готовым знаниям, другая – методика поиска и открытия новых знаний; первая преимущественно опирается на логику, вторая – на конкретную математику. О бессилии логики, говорят хотя бы две следующие цепочки суждений. Евклид выводил: «Все числа либо простые, либо составные; единица не является ни простым, ни составным числом. Следовательно, единица вообще не относится к числам». Арно и Николь ему возражали: «Часть имеет ту же природу, что и целое; единица есть часть множества единиц. Следовательно, единица имеет ту же природу, что и множество единиц, и, таким образом, она является числом». Это противоречие в отнесении единицы к числам указывает на то, что определяющие понятия и дедуктивный вывод всегда остаются чем-то внешним по отношению к самой сущности вещей.

Традиционная логика начинается с имен, потом идут определения и суждения, ближе к концу обычно рассматриваются умозаключения, дедуктивный и индуктивный вывод, а далее дается некий общий метод рассуждений, который у Арно и Николя сводятся к списку из восьми пунктов [21, с. 342]:

1. Не оставлять без определения ни одного неясного или неоднозначного термина.
2. Использовать в определениях только хорошо известные или уже разъясненные термины.
3. Принимать за аксиомы только совершенно очевидные.
4. Принимать за очевидное то, что признается истинным без особого напряжения внимания.
5. Доказывать все неясные положения, используя для их доказательства только предшествующие определения, или принятые аксиомы, или положения, которые уже были доказаны.
6. Никогда не обманываться неоднозначностью терминов и не забывать мысленно определения, которые их ограничивают и разъясняют.
7. Рассматривать вещи по возможности в их естественном порядке, начиная с самого общего и самого простого и излагая, прежде чем переходить к отдельным видам, все то, что относится к сущности рода.
8. По возможности делить всякий род на все его виды, всякое целое – на все его части и всякую задачу – на все мыслимые в ней случаи.

Арно и Николь, воспроизведя некоторые правила Паскаля и Декарта, ни на минуточку не сомневаются в том, что исходные термины должны быть тщательно оговорены. В двусмысленности терминов они видят источник недоразумений во время ведения споров между схоластами. Поэтому авторы «Логики Пор-Рояля» многократно, как заклинание, твердят одну и ту же мысль: не оставлять никакой двусмысленности в терминах. Говоря это, они не думали, собственно, о поисковых и исследовательских задачах, но лишь о победе в диспуте. Исключение делается только для самых очевидных вещей, да и то с оговоркой: «... Если в идее можно без особого напряжения внимания ясно усмотреть некоторый атрибут и в этом не мог бы по-настоящему сомневаться ни один здравомыслящий человек, то этого достаточно, чтобы принять положение, к которому мы приходим путем простого рассмотрения данной идеи, за принцип, не нуждающийся в доказательствах и требующий, самое большее, разъяснения и некоторых дополнительных замечаний» [21, с. 335].

Этот реверанс в сторону интуиционизма был сделан в связи с геометрической задачей построения перпендикуляра. Подобные исключения всегда придут на ум, когда занимаешься решением конкретных задач. Таким образом, авторы «Логики Пор-Рояля» оказались в сложном положении. С одной стороны, они прекрасно чувствовали мощь конструктивного метода, который диктуется нашей природной интуицией. С другой стороны, долгие года схоластической выучки не могли пройти бесследно: авторы никак не могли признаться себе в том, что геометрия и прочие точные науки просто не нуждаются в услугах логики. Очень многие моменты в геометрических построениях и в методах решения алгебраических задач не поддаются словесному определению. Даже убежденному формалисту всегда можно указать на действие, которое он не предусмотрел в своих дефинициях и постулатах, так как они слишком очевидны, чтобы о них говорить, но которые он, тем не менее, выполняет. Однако многое, что одним видится ясно, для других остается темным. Из-за этого одни понимают, что выстроил геометр, другие не могут разобраться в его построениях. Последние и пытаются как-то задействовать логику, чтобы лучше разглядеть, что делает геометр; только ведь слуховой аппарат не поможет там, где нужны очки.

Арно и Николь писали свою «Логику», положив перед собой учебник Евклида. Если бы они были натуралистами, целыми днями находящимися в поле, или астрономами, целыми ночами наблюдающими звездное небо, и захотели бы донести до нас некоторое общее представление о предмете своего исследования, они не стали бы на первое место выставлять пункты о необходимости определений терминов и строгости дедукции. Вперед нужно было бы выставлять какие-то рекомендации, которые бы способствовали разысканию нового материала. Главное для ищущего – иметь отчетливое исходное представление, действовать согласно какой-то зримой схеме, которая бы уточнялась и дополнялась и, в конце концов, вывела бы его на создание более или менее адекватной модели. Такие советы авторы «Логики» иногда дают, но эти положения не образуют какого-то законченного списка, который нельзя было бы дополнить новыми рекомендациями. Как назвать обнаруженный предмет и является ли его существование безупречными в логическом отношении, тоже не столь уж важно на первом этапе исследований.

Итак, выше мы воспроизвели список из восьми аксиом преимущественно логического содержания. Но вот в другом списке Арно и Николь вставляют в качестве 6-ой и 7-ой аксиом для «выведения великих истин» два чисто физический закона, недавно открытых Декартом: «Ни одно тело не может само прийти в движение, т.е. сообщить самому себе движение, будучи неподвижным» и «Ни одно тело не может привести в движение другое, если оно само не находится в движении». Почему в таком случае не вставить сюда же закон о сохранении импульса, о равенстве действия и противодействия или любой другой физический или химический закон? Тут же в качестве 9-ой и 10-ой аксиомы авторы взяли какие-то теологические положения, которые не имеют ни малейшего отношения к физике и вообще плохо согласуются между собой. В них говорится о понятии бесконечного, под которым авторы подразумевали, очевидно, Бога: «Конечный ум по природе своей не способен понять бесконечное» и «Свидетельство личности бесконечно могущественной, бесконечно мудрой, бесконечно благой и бесконечно реальной должно значить для нашего ума больше, чем самые убедительные доводы» [21, с. 329 – 330].

Таким образом, авторы «Логики Пор-Рояля» сформировали причудливый список из одиннадцати разноплановых аксиом, без которых, как им кажется, невозможно «познание самых сокровенных вещей». Опять же, что же касается нас, то мы бы к этому списку добавили двенадцатую аксиому, которая могла бы звучать, например, следующим образом: «Человек по своей природе не способен продуктивно думать, если его вовремя не покормить». Кто осмелится сказать, что это маловажное или не относящееся к делу утверждение? Странная смесь предложений, взятых из геометрии, теологии, физики, других разделов человеческих знаний, каждая из которых, кажется, призвана прислуживать одной-единственной логике, получит свое оправдание, если иметь в виду вполне схоластическую позицию авторов «Логики Пор-Рояля», заявленную ими в самом начале их сочинения.

В «Первом рассуждении, в котором рассказывается замысел этой новой "Логики"» они пишут: «Разумом пользуются как инструментом приобретения знаний, а следовало бы, наоборот, знания использовать как инструмент совершенствования разума... Поэтому благоразумные люди должны предаваться научным занятиям лишь постольку, поскольку они могут служить названной цели, и видеть в них не применение сил своего ума, а только их испытание. Если не ставить перед собой такой задачи, то изучение умозрительных наук, включая геометрию, астрономию и физику, превращается в пустую забаву, и тогда сомнительно, чтобы они заслуживали большего почтения, чем незнание всех этих предметов... Речь идет не только о том, что в этих науках есть такие дебри, где трудно отыскать что-либо полезное, – по нашему убеждению, они и вовсе бесполезны, если заниматься ими ради них самих. Люди созданы не для того, чтобы проводить время, измеряя линии, исследуя соотношения углов и изучая различные движения материи. Ум их слишком велик, а жизнь слишком коротка и время слишком драгоценно, чтобы тратить его на столь незначительные предметы» [21, с. 7 – 8]. Отсюда совет: все свои интеллектуальные силы и знания направляйте на логику, на совершенствование своей способности к суждениям, чтобы уметь «отличать истину от лжи». Чуть выше они оформили эти свои намерения в следующую достаточно сомнительную для конструктивного ума задачу: «Почти везде есть разные пути: одни – истинные, другие – ложные, и выбор возлагается на разум. Те, кто избирает истинные пути, обладает правильным умом, у тех же, кто принимает неверные решения, неправильный ум. Таково первое, самое существенное различие, какое можно установить в умственных способностях людей. Следовательно, прежде всего надо было бы приложить старания к тому, чтобы развить данную нам способность суждения, довести ее до наивысшего доступного нам совершенствования».

Так геометрия, физика, астрономия и прочие науки оказались подчиненными логике, они образовали как бы ее отдельные разделы. Объективный мир не интересует авторов, они думают, как лучше и правильнее научится мыслить, т.е. мышление ради мышления. Примерно такое же подавление логикой всего и вся мы наблюдаем и в «Началах» Евклида. Там тоже на первом месте стоит аксиоматико-дедуктивная система, т.е. список определений, аксиом и доказательств, которые с тех самых пор стали отождествляться с главными истинами геометрии и математики вообще. Однако логика, т.е. умение человека последовательно излагать мысли о тех или иных вещах, вовсе не тождественно умению правильно решать кубическое уравнение или находить объем пирамиды. Иной математик не в состоянии внятно объяснить свои действия, тем не менее он безошибочно выдает решения на поставленные перед ним задачи. Это всё от того, что за выполнение этих задач у человека ответственна психологическая функция, сравнительно далеко отстоящая от последовательного суждения. Человек умеет прозревать истину единовременным, всевидящим взором. Придумывание же словесных определений, составление перечня аксиом и поиск дедуктивных доказательств, что образует сердцевину логики, существенно вторичны для познания окружающего нас мира и вовсе необязательны для геометра, физика и астронома. Для них оказывается более важными знания о конкретных предметах и умение строить адекватные реальности модели, чем знания так называемых общих принципов (таковых на самом деле не существует) и умение доказывать непротиворечивость аксиоматических и теоретических предложений.

Арно и Николь признаются, что «ни у какого другого автора мы не заимствовали для этой "Логики" больше, чем у Аристотеля, ибо ему принадлежит основная часть предписаний» [21, с.26]. И это действительно так: схоласту Аристотелю они остались верны не меньше, чем софисту Евклиду. Видимо, нелегко логикам признаться в неэффективности их инструмента в деле познания природы вещей и они не могут предать своих первых учителей. При этом авторы «Логики Пор-Рояля» прекрасно осознавали бесполезность «Физики» Аристотеля, которая во времена становления схоластики с 1209 по 1237 гг. была запрещена церковью. О ней они писали так: «... ее недостаток заключается не в том, что она ложна, а, напротив, в том, что она слишком уж истинна и учит нас только тому, чего и так невозможно не знать». Это верно относительно философии «Физики» – там действительно много банальных и тавтологических утверждений, примеры которых привели авторы «Логики Пор-Рояля». Когда же речь заходила о знании конкретных явлений, Аристотель имел о них часто ложное представление. «Ибо какой врач вздумал бы в наши дни утверждать, будто нервы отходят от сердца, как полагал Аристотель? Ведь анатомия со всей ясностью показала, что они берут начало в мозге. ... Какой философ стал бы повторять, что скорость падения тел, обладающих тяжестью, возрастает в той же пропорции, что и их вес? Ведь каждый может уяснить себе ошибочность этого представления Аристотеля, бросив вниз с возвышенного места два значительно различающихся по весу предмета и убедиться, что разница в скорости их падения очень мала» [21, с. 28].

Вместе с тем эти же картезианцы предупреждают: «... когда мы опровергаем какое-либо представление Аристотеля или какого-то другого, отсюда можно заключить, что в этом случае мы не разделяем данное мнение автора, но это вовсе не означает, будто мы не согласны с ним в других вопросах и тем более – будто мы питаем неприязнь и хотим его принизить» [21, с. 29]. Так не смог бы написать Декарт, но Арно и Николь остались солидарны с Аристотелем и Евклидом в главном: в схоластически-софистическом подходе к процессу познания. Их всех объединяет формальная сторона вещей, некое символьное, логико-лингвистическое оправдание для существования того или иного понятия, но не сам предмет как таковой, без всяких определений – этой субъективной процедуры ума. Реальные вещи могут и должны пребывать в нашем сознании, прежде всего, в виде представления, образа или модели, только в этом случае они теряют субъективную окраску и приобретают независимую от человека объективную значимость.