Конструктивная математика

Акимов О.Е.

11. Неопределенность дефиниций и аксиом

Дефиниции, аксиомы и теоремы, выведенные еще софистами, были триумфом школьной, т.е. схоластической науки (scholastic – школьная), которая ничего не открывала. На примере доказательства теоремы Пифагора мы видели, каким путем происходило закабаление творческого ума (здесь непременно нужно учитывать этот психологический аспект). Соединение геометрии с логикой, осуществленное Евклидом, является неестественным гибридом двух взаимоисключающих психических начал – образного (представление) и языкового (понятие). Этот кентавр возник в результате противостояния двух противоположных устремлений эллина: тяги к путешествиям и любви к изобразительному искусству, с одной стороны (пространственная составляющая) и, с другой – философское резонерство, которое в Элладе, особенно в поздний ее период, всегда носило скептический и софистический оттенок (формально-логическая составляющая).

Евклид, о личности которого историки ничего не знают, очевидно, был типичным софистом, т.е. философствующим преподавателем, специализирующимся на геометрии. До и после «Начал» Евклида в Античной Греции имелись аналогичные книги других авторов, причем под тем же самым названием; в частности, «Начала» Леонта, Февдия, Гиппократа, Евдема, которые, однако, до нас не дошли. Уже к концу V в. до Р.Х. геометрия приобрела аксиоматико-дедуктивную форму. Другими словами, с самого начала развитие греческой геометрии шло рука об руку с развитием логики.

Логика в то время претендовала на роль эпистемологии, что-то наподобие метанауки, которая, однако, никогда не открывала новые истины, а лишь подтверждала верность ранее найденных геометрических соотношений. Не дав никакого подлинно эвристического метода, логики, тем не менее, стали контролировать познавательный процесс и выдавать аттестат на истинность той или иной геометрической формулы. Из письма Архимеда к Эратосфену мы знаем, что под правильные формулы площадей и объемов геометрических фигур и тел, найденных каким-нибудь конструктивным путем, надо было еще подвести аксиоматико-дедуктивную базу, иначе софисты, т.е. тогдашние представители официальной учености, не признали бы их. Очевидно, формализм паразитировал на конструктивизме во все времена, начиная с самых древнейших.

Судя по учебнику, который Евклид оставил нам, он был редким ретроградом, который мучил своих несчастных учеников тупой зубрежкой спорных определений и постулатов, нудными теоремами и бессмысленными доказательствами самых очевидных пространственных соотношений. Его, как и Аристотеля, стали прославлять на закате эллинской культуры. Прокл (410–485) писал: Евклид «составил "Начала", собрав множество теорем Евдокса, усовершенствовав немало, принадлежавшее Теэтету, а также дав неопровержимые доказательства предложений, которые не были полностью доказаны его предшественниками. Этот муж жил во времена первого Птолемея, который однажды спросил его, нет ли более короткого пути в геометрию, чем путь "Начал", на что Евклид ответил, что в геометрию нет царского пути».

Евклидовы «Начала» [11] состоят из 13 книг; в первых шести описываются свойства прямых, треугольников, прямоугольников, многоугольников, окружности, а также рассказывается о пропорциях и подобии фигур; следующие четыре книги посвящены теории числа, в частности, здесь доказывается иррациональность числа ; в книге XI дается введение в стереометрию; в книге XII рассказывается о пирамидах, конусах и цилиндрах; а в книге XIII – о пяти Платоновых телах, – такова приблизительная структура древнего учебника математики.

Учебник начинался с длинного списка определений (definitiones) и постулатов (postulata), приводивших в восторг средневековых схоластов, радовавшихся новому инструменту властвования над учениками. Теперь они знали, каким образом можно держать в узде молодые умы, которые часто выигрывали в соревновании по решению конкретных задач. Чтобы читатель почувствовал формалистский дух «Начал», приведем из первой книги список обязательных дефиниций, которые требовалось выучить назубок каждому учащемуся как древней, так и средневековой школы. Этот список служит беспримерным памятником бесплодного формализма, которым до сих пор восхищаются неисправимые ретрограды XXI века, называя его началом «подлинной науки».

1. Точка суть то, что не имеет частей.
2. Линия суть длина без ширины.
3. Концы линии суть точки.
4. Прямая линия суть та, которая равно расположена по отношению к точкам, лежащим на ней.
5. Поверхность суть то, что имеет только длину и ширину.
6. Концы поверхности суть линии.
7. Плоскость суть та, которая одинаково расположена относительно всех прямых линий, лежащих на ней.
8. Плоский угол суть взаимное наклонение двух линий
9. Если линии, образующие угол на плоскости, суть прямые, то угол называется прямолинейным.
10. Если прямая, встречающая другую прямую, составляет с ней два равные смежные угла, то каждый из этих углов суть прямой, а прямая, составляющая их, называется перпендикуляром ко второй прямой.
11. Тупой угол суть больше прямого.
12. Острый угол суть меньше прямого.
13. Граница суть то, что является оконечностью чего-либо.
14. Фигура суть то, что содержится внутри одной или нескольких границ.
15. Круг суть плоская фигура, ограниченная одной линией; [она] называется окружностью, [в ней] все прямые линии суть радиусы; [они] проведенные из некоторой точки, лежащей внутри нее; [радиусы] равны между собой.
16. Эта точка суть центр круга.
17. Диаметр круга суть прямая, проведенная через центр и ограниченная с обеих сторон окружностью; эта прямая делит круг пополам.
18. Полукруг суть фигура, ограниченная диаметром и равной частью окружности, на которую этот диаметр делит окружность.
19. Сегмент суть фигура, ограниченная прямой и одной независимой частью окружности, на которые эта прямая делит окружность.
20. Прямолинейная фигура суть та, которая ограничена прямыми линиями.
21. Трехсторонние фигуры суть те, которые ограничены тремя прямыми.
22. Четырехсторонние фигуры суть те, которые ограничены четырьмя прямыми.
23. Многосторонние фигуры суть те, которые ограничены более чем четырьмя прямыми.
24. Среди трехсторонних фигур имеется равносторонний треугольник, в котором все стороны равны.
25. Равнобедренный треугольник суть тот, в котором две стороны равны.
26. Разносторонний треугольник суть тот, в котором все стороны неравны.

Ретроград сегодняшней школы так же, как и его античный коллега или схоласт из средневекового университета, будет уверять вас в необходимости знания этих определений, без которых, как он думает, математическая наука существовать не может. Однако на протяжении многовековой истории существования евклидовых «Начал» шел непримиримый спор о количестве и содержании дефиниций. Ученые Средневековой, Новой и Новейшей Школы без устали спорили между собой, как лучше определить тот или иной термин и в каком порядке их нужно давать.

Так, наряду с определением точки как неделимого объекта, Герон, а за ним и большинство математиков Средних веков, подчеркивали невозможность ее измерения: точка суть место без протяженности в длину, ширину и высоту. Это определение корреспондировало с определением линии. Другое определение точки было таким: точка суть граница линии. В отношении линии многие авторы делали акцент не на ее одномерности, а на ее двусторонности, т.е. от всякой точки линия тянется не во все стороны, как плоскость, а только в две противоположные (если убрать последний термин, то получалась дефиниция плоского угла). Другими определениями для этого понятия были: линия суть граница поверхности или линия суть то, что вычерчивает движущаяся точка и т.д.

Подобные разногласия касались и всех остальных определений евклидова учебника. Кроме того, схоласты дополняли «самую строгую из наук» собственными дефинициями квадрата, ромба, прямоугольника, параллелограмма и т.п., которым Евклид почему-то не дал строгих определений. Вся ученость учителей стала заключаться в их умении определять одни группы слов через другие. Тот, кто знал множество вариантов одних и тех же понятий и историю развития системы определений, считался и лучшим знатоком науки геометрии. Решениями же каких-либо задач схоласты не занимались, так что к формулам длины, площади и объема различных геометрических объектов, найденным еще Демокритом, Евдоксом, Архимедом, они в течение долгих веков не добавили ровным счетом ничего.

За определениями шли постулаты, т.е. то, что допускалось:

1. От всякой точки до всякой точки [можно] провести прямую.
2. Конечную прямую [можно] продолжить.
3. Из всякого центра и всяким радиусом [можно] провести окружность.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, падающая на две другие прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то при продолжении эти две линии встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Прочтя эти определения и постулаты, белее древние, чем Евклид, математики из Египта, Вавилона или Китая, наверняка, были бы сильно удивлены. Они не смогли бы ответить, по крайней мере, на два вопроса: во-первых, почему это словесное извержение нужно было называть «математикой», да к тому же еще и «геометрией»; а, во-вторых, почему эту софистику должны заучивать наизусть все дети земли вот уже в течение двух с лишним тысяч лет, будто без неё невозможно дальнейшее существование цивилизации. Ученик этих трех более древних культур не стал бы спрашивать у своего учителя «допуск»: имеет ли он право данную точку взять в качестве центра окружности или «разрешения» на проведение линии из точки А в точку В. У него никогда бы не возникало сомнения в равенстве прямых углов и в справедливости более абстрактных законов рефлексивности (А = А) и транзитивности (если А = В и В = С, то А = С). Все эти надуманные законы были призваны регулировать несвободные отношения между безынициативным, почти беспомощным учеником и всевластным педантом. Никакого отношения к действительности или даже просто к продуктивной математике они не имеют. Постулаты и определения еще никому не помогли найти площадь или объем геометрической фигуры, но зато за ними всегда был виден строгий взгляд учителя, недовольного своенравием учеников. Раболепные зубрилки, которые затем сменяли своих мучителей, верили, что в этих наукообразных предложениях якобы заложен глубокий смысл. Но когда бывшие ученики подрастали и заступали на кафедры, они забывали о всяком содержание и требовали только одного – точного воспроизведения формулировок, в которых ни в коем случае нельзя было переставлять или заменять слова. Нет сомнений, что какому-нибудь озорному ученику Эллады приходила на ум крамольная мысль о множественности параллельных, но грозный учитель, указав ему на пятый постулат Евклида, быстро приводил его в чувство и он до конца своих дней отучался самостоятельно думать.

За постулатами выстраивались аксиомы, т.е. предложения, которые не требуют доказательства. Аристотель обращается к авторитету общепринятости отправных положений. «Началами доказательства, – пишет Аристотель в главе 2, книги 3 своей "Метафизики", – я называю общепринятые положения, на основании которых все строят свои доказательства, например положение, что ... невозможно в одно и то же время быть и не быть, а также все другие положения такого рода» [18, 996 b 26 – 32]. Аксиома об исключении третьего была провозглашена в связи с критикой гераклитовой диалектики, признающей одновременное существования A и не-A. Чуть ниже Аристотель обращает внимание на следующее: «Полагать, что ими [аксиомами] занимается одна наука [далее имеется в виду геометрия], нет достаточных оснований».

В следующей книге он уточняет эту мысль, апеллируя, во-первых, к ясности аксиом самих по себе и, во-вторых, к их общности, которая открывается знатокам первой философии, изучающей наиболее достоверные начала познания: «Тот, кто в какой-либо области располагает наибольшим знанием, должен быть в состоянии указать наиболее достоверные начала своего предмета... А это и есть философия [в другом месте он употребил словосочетание первая философия]. А самое достоверное из всех начал – то, относительно которого невозможно ошибиться, ибо такое начало должно быть наиболее очевидным (ведь все обманываются в том, что не очевидно) и свободным от всяких гипотез» [18, 1005 b 7 – 15].

У Евклида же аксиомы называются общие понятия. Средневековые схоласты этому греческому термину нашли латинский эквивалент: communes notiones. Вместо средневекового термина теорема (proposition), первоначально образованного от греческого глагола созерцать, рассматривать, Евклид противопоставляет визуально непроницаемый термин protasis, означающий у него как общую теорему, так и конкретную задачу (задачу схоласты называли problema).

Итак, перечислим все двенадцать аксиом Евклида.

1. Величины, равные одной и той же величине, равны между собой.
2. Если к равным величинам придадим равные же, то суммы получим равные.
3. Если от равных величин отнимем равные же, то остатки получим равные.
4. Если к неравным величинам придадим равные, то суммы получим неравные.
5. Если от равных величин отнимем равные, то остатки получим неравные.
6. Величины, двойные одной и той же величине, равны между собой.
7. Величины, половинные одной и той же величине, равны между собой.
8. Величины, совместимые по положению, равны между собой.
9. Целое больше своей части.
10. Все прямые углы равны между собой.
11. Если две прямые линии встречаются третьей так, что сумма внутренних углов, лежащих по одну сторону третьей, между двух прямых углов, то две первые прямые, при достаточном продолжении, встретятся по ту сторону третьей прямой, на которой сумма внутренних углов меньше двух прямых.
12. Две прямые линии не могут заключать пространства.

Любой внимательный читатель заметит, что 10-я аксиома непонятно зачем повторяет 4 постулат, 11 аксиома – 5 постулат, а 12 аксиома тесно перекликается с 8 определением. Понятно, что разницы между определениями, постулатами и аксиомами нет никакой. Зачем городить этот частокол малосодержательных предложений, неизвестно. Если начать обсуждать необходимость или бесполезность данных несуразностей, то мы рискуем вовлечь себя в пустые схоластические споры. В самом деле, конструктивно думающему человеку трудно уловить логическую необходимость, например, одновременного существования четырех аксиом порядка, которые в [19] формулируются следующим образом:

1. Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то А, В, С – различные точки одной прямой и В лежит также между С и А.
2. Каковы бы ни были точки А и С, существует по крайней мере одна точка В на прямой АС такая, что С лежит между А и В.
3. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
4. Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, и а – некоторая прямая в плоскости АВС, не содержащая ни одной из точек А, В, С. Тогда, если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также либо через точку отрезка АС, либо через точку отрезка ВС.

Если конструктивисты шли по пути анализа всё более усложняющихся математических объектов, то формалисты двинулись в противоположном направлении и стали наперегонки выискивать самые элементарные объекты, называя их «основаниями математики», при этом без конца споря между собой, чей объект примитивнее, т.е., с их точки зрения, более основательный. Это привело к конкуренции нескольких наиболее простых утверждений, которые в чем-то дублировали, а в чем-то противоречили друг другу. Отсюда всплыли три новых проблемы: непротиворечивости, полноты и замкнутости системы основополагающих утверждений, которые, конечно, не возникали перед человеком, который пытался найти, скажем, корни алгебраического уравнения пятой степени или решить сложную систему дифференциальных уравнений в частных производных.

Зато к обсуждению словесного фонтана из определений и аксиом, взметнувшегося в начале XX столетия, охотно подключились философы. Они устроили вокруг «оснований» самой строгой из наук такой невообразимый шум, что все подумали, будто без этих «оснований» математика существовать далее не может. В результате метаматематического философствования на свет появилось понятие «множества», заменившее старые схоластические универсалии. Операции с множествами, как хорошо известно, целиком дублируются логическими операциями, так что между ними невозможно провести границу. Однако Георг Кантор (1845–1918) пытался путем логико-множественных спекуляций уверить, например, Пуанкаре и других математиков-классиков, что целое может равняться части (см. аксиому 9 евклидовых «Начал»). Кантор же ввел понятия о счетном и континуальном бесконечных множествах. Счетным он стал называть такое множество, которому можно поставить в однозначное соответствие числа натурального ряда; континуальное он ассоциировал с вещественными числами.

Тут же возник схоластический спор, что первично: числа или элементы множества. Бесконечный ряд натуральных чисел вкладывается в бесконечный ряд действительных чисел; точки прямой, плоскости и объема характеризовались одной и той же бесконечной последовательностью действительных чисел. Людям, далеким от всякой математики, например философам, очень нравятся «глобальные» рассуждения формалистов. Их приводит в умиление положение о том, что число точек на линии равно числу точек на плоскости или в объеме. Это тождество проводится на том основании, что все точки линии, плоскости и объема проецируются на один и тот же бесконечный ряд вещественных чисел. Философы восклицали: «Ох, какой глубокий, мировоззренческий смысл здесь заложен! Теорией Кантора нельзя забивать гвозди, но она восхитительна». С конструктивной же позиции, подобные рассуждения являются образцом спекуляций в области математики. Математик-конструктивист не склонен доверять теориям, которые опираются только на манипуляцию некими символами и, прежде всего, символами, обозначающими бесконечность. У Кантора же выходило так, что если единицу прибавлять слева к бесконечности, то результирующая сумма вновь равнялась этой же самой бесконечности, а если единицу прибавлять справа, то получалась уже новая бесконечность, иными словами, в отношении бесконечности нарушался закон коммутативности. У него в бесконечности сливались не только часть и целое, но четное и нечетное, а сама бесконечность распадалась на актуальную и потенциальную, границу между которыми невозможно было уловить. В самом деле, разве можно представить что-то определенное, когда, рассказывая об актуальной бесконечности, вам указывают на Господа Бога, который у одних обитает на небесах, у других – в сердцах. Вообще, Бог – это некое "умное место", своеобразное вместилище для различных смутных идей. В другой раз, заговорив об актуальной бесконечности, Кантор указал на иррациональное число на том лишь основании, что выраженное через десятичную дробь 1,414213562... оно дает нескончаемый поток цифр. Так что же, иррациональные числа являют собой образец актуальной бесконечности? Трудно согласиться с таким пониманием, но не станем далее разбираться в спорных идеях Кантора, вместо этого приведем пять аксиом, которые выкристаллизовались к началу XX века на языке теории множеств [20].

1. Аксиома существования. Существует, по крайней мере, одно множество.
2. Аксиома тождества двух множеств. Если множества A и B составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают (тождественны, равны или эквивалентны).
3. Аксиома существования пустого множества. Существует такое множество, в котором отсутствуют элементы.
4. Аксиома объединения. Для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются все элементы множества A и все элементы множества B и которое никаких других элементов не содержит.
5. Аксиома разности. Для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются те элементы множества A, которые не являются элементами множества B.

Этот перечень у различных авторов меняется как по содержанию, так и по числу аксиом. Например, вместо разности напрашивается ввести пересечение множеств и т.д. Однако нельзя не заметить уже на этом примере, что мы имеем дело с рецидивом поиска универсальной системы, которая бы позволила формалистам выразить все их математические знания, опираясь на одно-единственное основание. По сути, нынешние формалисты недалеко ушли от аксиоматики Евклида и силлогистики Аристотеля. Поиск общего и универсального списка каких-то чудо-предложений являлся основной задачей формалистов-утопистов в любые времена. Что первично: единица числового ряда, точка геометрического пространства или элемент множества, всегда будет вызывать у них нескончаемые споры. Никогда не знаешь, с чего следует лучше начать строго формализованную науку – с логических положений или с множественных положений, выписанных только что. В действительности же здесь не может быть какого-то однозначного решения, так как условиям полноты, независимости и непротиворечивости удовлетворяют бесчисленное количество наборов логических и алгебраических предложений, что является следствием более общей природы «точного» знания: оно не имеет оснований, т.е. какого-то определенного начала или конца. Можно положить в основание одиннадцатую аксиому (пятый постулат) и вывести с его помощью теорему о том, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, или поступить ровно наоборот. Еще большей неопределенностью страдают вышеуказанные принципы Аристотеля, который ориентировался на общность, очевидность и общепринятость отправных положений. Примерно эти же ложные огни освещают путь нынешним философствующим формалистам, которые то и дело натыкаются на рифы реального мира.

Попытки заложить один фундамент под все без исключения точные знания есть утопическая мечта специфической категории людей, тщетно стремящихся к всеохватывающему универсализму. Сотни исследователей кинулись аксиоматизировать классическую механику, релятивистскую и квантовую физику; даже генетика и эволюционная теория не избежали этого интеллектуального насилия. Авторы аксиоматических концепций уверяли, что к аксиоматической форме должна прийти любая наука, если она хочет называться таковой, ибо, где аксиомы, там порядок и обоснованность, где их нет, там хаос и беззаконие. Однако на практике, все выходило наоборот: аксиоматизированные теории являют собой вершину скудоумия, которое оформлялось в самые банальные и бесполезные утверждения. Так, например, У. Чёрчмен вздумал аксиоматизировать уже достаточно бессодержательную науку – общую теорию систем. Что из этого получилось, можно судить по его списку аксиом: «1. Система синтезируется и конструируется. 2. Система синтезируется по частям. ... 9. Поиск обобщенной системы становится все более затруднительным с течением времени и никогда не завершится». На наш взгляд ,этот список было бы очень правильно дополнить следующими аксиомами: «10. Система разваливается сама или разрушается людьми. 11. Система выходит из строя по частям» и т.д. Любой конструктивист хорошо чувствует всю нелепость затеи по составлению глобального списка предложений, не требующих якобы никаких доказательств.