Конструктивная математика

Акимов О.Е.

17. Числовые последовательности

Изучение конкретных (числовых, графических, табулированных) математических форм, имеющих высокую степень репрезентативности, в отличие от абстрактно-символьных, служит основным поставщиком новых знаний. Тяжела учесть той теории, которая хочет опереться на общие и универсальные формы, всячески игнорируя частности. Гегель говорит, что сущность должна являться, например, сущность алгебраических групп может являться нам в подстановках или матрицах (последние называются представлениями групп). Без конкретных математических объектов (матриц, подстановок и т.д.) нет не только представления о добытой сущности, а значит, и ее понимания, без них мы лишаемся главного источника для открытия нового — самой основы для творчества. Только решение конкретных задач и частных проблем, для которых обыкновенно и свойственны признаки конструирования, является наиважнейшей стороной не только образования, но и сущности самой науки. Универсальные теории, абстрактные логические обоснования или отвлеченные математические доказательства (например, алгебраические), при всей своей очевидной необходимости, не могут обеспечить прорыва в неизведанные области; такие знания всегда будут запаздывающими, так сказать, постзнаниями. Формальные теории не дают ту степень наглядности, которую демонстрируют нам обыкновенные геометрические построения и механические модели. Где наглядность, там отчетливое понимание, а где понимание, там стимул для дальнейшего творчества. Насколько важна данная мысль, проиллюстрируем на одном дискретном объекте, который именуется числовой последовательностью или рядом.

Максимально репрезентативные доказательства связаны с пространственно-протяженными образами. Вот как, например, еще древние греки доказывали справедливость суммы бесконечного следующего ряда вида

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2.

Они использовали метод дихотомии или половинного деления отрезка, ведущий свою родословную от апории Зенона «Ахиллес и черепаха» и проиллюстрированный на рис. 14. При этом система конечных сумм:

1 + 1/2 = 3/2, 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4,     1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 15/8, ... ,

от ряда к ряду все плотнее и плотнее приближается к числу 2. Пространственный образ, показанный на рис. 14, убеждает нас в значении результирующей суммы с такой силой, что все формально-логические доказательства или арифметические вычисления здесь делаются ненужными.

Рис. 14

Можно сколь угодно долго рассуждать с формально-логических позиций о рядах с бесконечным числом членов, вроде:

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... = ∞,     (1/1)² + (1/2)² + (1/3)² + ... = π²/6,

однако никакие общие слова не откроют вам тайну, почему в одном случае с ростом числа членов гармонического ряда (здесь обратные величины от членов арифметической прогрессии) сумма ряда неограниченно возрастает, в другом случае, с ростом числа тех же самых членов, но возведенных в квадрат, сумма уже стремится достичь некоторого небольшого предела, равного приблизительно 1,645? Или такой вопрос: чем принципиально отличаются два ряда:

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2,

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... = ∞?

И далее, отчего две другие части гармонического ряда, состоящие, скажем, из нечетных и четных членов, дают бесконечности:

1/1 + 1/3 + 1/5 + ... = ∞, 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = ∞,

а их разность будет почему-то конечной величиной:

1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 +... = ln2?

Быть может, в уменьшаемом и вычитаемом рядах под одинаковыми символами бесконечности ∞ скрывались две различные величины, разность которых и дала некоторое конечное число?

Чувство недоумения, которое нас сейчас охватило, на первый взгляд, кажется, возникло из-за недостаточной репрезентативности представленных здесь знаний. Нам явно недостает образности: символ бесконечности заслоняет нам бесконечную перспективу рядов и, скорее, вводит в заблуждение, чем что-либо разъясняет. Еще больше вопросов вызывают конечные суммы рядов с бесконечным числом членов. Логика элеатов подсказывает нам, что всякая бесконечная сумма пусть сколь угодно малых величин должна давать все же бесконечно большую величину. Нам представляется, что именно с этой необъятностью и приходит представление о бесконечности. Однако в одном случае (например, гармонический ряд) наши интуитивные предположения подтверждаются, в другом случае (квадраты членов гармонического ряда) не подтверждаются. Такое большое расхождение в числовых значениях суммы от близких по своей природе рядов кажется особенно странным.

Теперь, для лучшего усвоения природы бесконечных рядов, проследим за тем, что, собственно, происходит, когда члены расходящегося гармонического ряда последовательно возводятся в степень. Равенство 

π²/6 = (1/1)² + (1/2)² + (1/3)² + ... = » 1,6449340668

вычисляется на основе разложения функции x² в тригонометрический ряд при x = π:

x² = π²/3 – 4·(cosx/1² – cos2x/2² + cos3x/3² – ... ).

Через непосредственные вычисления находим суммы других бесконечных степенных рядов, в частности:

(1/1)³ + (1/2)³ + (1/3)³ + ... » 1,2020569032,
(1/1)⁴ + (1/2)⁴ + (1/3)⁴ + ... » 1,0823232337,
(1/1)⁵ + (1/2)⁵ + (1/3)⁵ + ... » 1,0369277551,
(1/1)⁶ + (1/2)⁶ + (1/3)⁶ + ... » 1,0173430620,
(1/1)⁷ + (1/2)⁷ + (1/3)⁷ + ... » 1,0083492774,
(1/1)⁸ + (1/2)⁸ + (1/3)⁸ + ... » 1,0040773562.

Первый квадратичный ряд стремится к числу p2/6, но никогда не достигает этой величины.

Дискретному ряду можно поставить в соответствие несобственный интеграл , вычисляющий площадь под кривой y = 1/x^m при m = 2, 3, 4, ... . Горизонтальные прямые, отвечающие этим значениям m функции y, являются асимптотами для несобственного интеграла. Если мы посмотрим на графики функции y при m = 0,5; 0,75; 1,0; 1,5 (рис. 15), то не обнаружим никаких качественных отличий от кривых с m = 2, 3, 4. 

Рис. 15

Тогда в чем же дело: почему при m = 2 значение суммы равно 1,645, а при m = 1 оно становится равным бесконечности? Символ ∞ вполне точно передает те едва заметные изменения, которые происходят с функцией y при переходе значений ее показателя от m > 1, когда ряд сходится, к m ≤ 1, когда ряд расходится, но мало дает пищи для нашего воображения. Табл. 13, в которой приведены значения сумм при различных значениях n и m, частично компенсирует этот недостаток конкретных представлений.

Таблица 13

m\n	101	102	103	104	105
0.5	5.02	18.6	61.8	198	631
0.6	4.45	13.8	37.7	97.6	248
0.7	3.97	10.5	23.7	50.0	103
0.8	3.56	8.13	15.5	27.1	45.6
0.9	3.22	6.43	10.5	15.7	22.2
1.0	2.93	5.19	7.48	9.79	12.1
1.1	2.68	4.28	5.57	6.60	7.42
1.2	2.47	3.60	4.34	4.80	5.09
1.3	2.28	3.10	3.51	3.72	3.83
1.4	2.13	2.71	2.95	3.04	3.08
1.5	1.99	2.41	2.55	2.59	2.60
1.6	1.88	2.18	2.26	2.28	2.28
1.7	1.78	2.00	2.04	2.05	2.05
1.8	1.69	1.85	1.88	1.88	1.88
1.9	1.62	1.73	1.75	1.75	1.75
2.0	1.55	1.63	1.64	1.64	1.64

Гармонический ряд выделяется среди прочих хорошо известным законом нарастания суммы благодаря простой формуле: 

= ln(x) + C.

Эйлер первый догадался сравнить сумму гармонического ряда с функцией натурального логарифма (рис. 16) и, тем самым определить константу C, которая теперь носит его имя:

C_e =  (1 + 1/2 + ... + 1/n – ln(n)) = 0,5772156649...

Рис. 16

Кривая y₁ = ln(n) + C_e играет роль асимптоты, к которой стремится сумма y₂ = . Таким образом, имея перед собой числовую таблицу (табл. 13) или графики функций (рис. 16), мы несколько лучше понимаем смысл знака ∞, который выставляется с правой стороны от расходящихся сумм.

Итак, мы предприняли небольшое исследование расходящихся рядов в направлении их большей наглядности, но чувство неудовлетворенности нас не покинуло. Это чувство усугубляется, когда мы начинаем менять местоположения отдельных членов бесконечных рядов. В конечных последовательностях можно свободно переставлять слагаемые — сумма членов ряда от этого не меняется. Но в бесконечных рядах (во всяком случае, в знакопеременном гармоническом) за каждым местом закреплен определенный элемент, т.е. проведено взаимно однозначное соответствие между позициями ряда, выраженными целыми числами 1, 2, 3 и т.д., и, в частности, знакопеременными членами 1/1, –1/2, + 1/3, –1/4, + 1/5, ... . В том, что в современной математике дело обстоит именно указанным образом, доказывает следующий пример.

Запишем после каждого положительного члена знакопеременного гармонического ряда два отрицательных:

1/1 – 1/2 – 1/4 + 1/3 – 1/6 – 1/8 + 1/5 – ...

Затем, начиная с самого первого, сложим каждый член ряда с идущим за ним отрицательным:

1/2 – 1/4 + 1/6 – 1/8 + ...

В результате мы получили исходный знакопеременный гармонический ряд, в сумме дающий число ln2, все члены которого, однако, будут поделены на 2. Следовательно, сумма такого ряда окажется в два раза меньше исходного ряда, т.е. будет равна числу (1/2)ln2. Далее, если позиционно складываются два ряда, на которые раскладывается числа ln2 и (1/2)ln2, то получается новый ряд (3/2) ln2, из которого можно исключить нули:

1	–1/2	+1/3	–1/4	+1/5	–1/6	+1/7	–1/8	+1/9	...	= ln2
	+1/2		–1/4		+1/6		–1/8		...	= (1/2)ln2
1	0	+1/3	–1/2	+1/5	0	+1/7	–1/4	+1/9	...	= (3/2)ln2

И хотя перестановка членов этого нового ряда вновь могла бы дать все элементы исходной знакопеременной гармонической последовательности ln2, с точки зрения современной математики, будет считаться ошибкой принять здесь в качестве суммы величину ln2 вместо (3/2)ln2.

Риман показал, что здесь за счет только некоторой перестановки членов можно добиться получения любой конечной суммы. Ну, разве это не удивительно — ведь нас со школьной скамьи учили, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Не кроется ли за этими странными перестановками внутри бесконечного ряда откровенная спекуляция? Почему с введением понятия позиции, т.е. некой пространственной или геометрической характеристики, в общем, глубоко чуждой арифметическим операциям, становятся возможны математически корректные операции сложения и вычитания?

Этот умственный дискомфорт человек конструктивного склада ума испытывает всякий раз, стоит ему только взяться за ряды. Формалист же, видимо, вполне удовлетворяется некоторыми формально-логическими манипуляциями. Честного исследователя, опирающегося на предельно ясные представления, такая методика «доказательства» не может удовлетворить. Если он рассказывает этот материал студентам в аудитории, он должен испытать некоторую неловкость от того, что сам до конца не понимает излагаемый материал, где на каждом шагу нарушаются фундаментальные законы арифметики.

В самом деле, в стандартных учебниках можно найти следующий вывод для суммы гармонического ряда. Сначала группируются слагаемые гармонического ряда, начиная со второго, в группы из 1, 2, 4, 8, ... членов:

1 + (1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + ... + 1/8) + (1/9 + ... + 1/16) + ...,

Далее, если в каждой группе все члены заменить наименьшим, получим

1 + 1/2 + 2·(1/4) + 4·(1/8) + 8·(1/16) + ... = 1 + 1/2 + 1/2 + ...

Сумма первых n членов нового ряда равна

1 + (n – 1)/2 = 1/2 + 1/2 + (n – 1)/2 = (n + 1)/2.

При n ® ∞ сумма устремляется к ∞. Этот вывод заканчивается обыкновенно словами: «Мы доказали, что сумма меньших слагаемых будет стремиться к бесконечности, а следовательно, сумма больших слагаемых, представляющих собой гармонический ряд, и подавно».

Однако ощущается спекулятивность таких манипуляций: перегруппировка, а тем более замена членов ряда — это совсем не те процедуры, которые могут быть применены к этим странным объектам, которые именуются бесконечными числовыми последовательностями. Закон ассоциативности так же, как и коммутативности, для них находится под вопросом. И потом, на каком основании ряд с бесконечно убывающими членами, каковым является гармонический ряд, был сведен к ряду с неизменными членами? Это — слишком грубая технология для столь тонких сущностей, каковыми являются данные ряды. Понятно, что через замену большего числа меньшим можно гармонический ряд свести к рядам типа:

1 + 1/4 + 1/4 + ... = ∞, 1 + 1/10⁹ + 1/10⁹ + ... = ∞,

1 + 1/10⁹⁹⁹ + 1/10⁹⁹⁹ + ... = ∞

и т.д. Но при этом всякий раз мы будем получать сумму, равную бесконечности, при устремлении в бесконечность числа членов ряда. Если в предложенном выше доказательстве группы членов, стоящих в скобках, заменить просто на наименьший член группы, то сумма сразу окажется небольшой конечной величиной:

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2.

Думается, что такая замена выглядит более правомерной, поскольку убывающая последовательность заменена на подобную же ей, убывающую. Значит, всё дело в скорости убывания членов ряда?

Сумма сходящихся рядов в курсах математического анализа находится через разложение функций в ряд Тейлора. Например, сумма знакопеременного гармонического ряда ищется из выражения

ln(1 + x) = x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 + ..., при x = 1.

Такой вывод нельзя назвать чисто формально-логическим, поскольку числовой расчет величины ln2 проводится здесь на основе определенной вычислительной процедуры, годной для безграничного класса функций. Однако данная процедура все же относится к доказательным.