Конструктивная математика

Акимов О.Е.

22. Модель атома Томсона

Первую модель атома в 1903 г. предложил Джозеф Джон Томсон (1856 – 1940), создав ее вскоре после открытия им же в 1895 – 1897 гг. электрона. Длительность времени открытия электрона определяется продолжительностью проведения большой серии многосложных экспериментов, которые он вместе со своими сотрудниками проводил в Кавендишской лаборатории, которую с 1884 г. он же и возглавлял. Представление об электроне, как мельчайшей заряженной частице созрело не сразу. Известно, что в экспериментах электроны предстают делокализованными, т.е. как бы размазанными по всему объему пространства атома. Кроме того, почти сразу же стало понятно, что масса электрона является переменной величиной; опыт Кауфмана, проведенный несколькими годами позже, подтвердил то, о чем Томсон только смутно догадывался. Позже он выведет формулу для массы электрона, движущегося со скоростью, сопоставимой со скоростью света, которая количественно давала те же результаты, что и релятивистская формула. У него же в экспериментах пока получалось так, что величина массы тесно была связана с зарядом.

При измерении величины заряда Томсон колебался, какую величину от измеренной необходимо отнести на счет массы, а какую на счет заряда. Поэтому Томсон не особенно торопился с выводами о существовании объекта, форму которого он себе плохо представлял. В 1897 г. он мог уверенно говорить лишь о том, что отношение электрического заряда к массе для частиц, которые образуют катодные лучи, намного больше, чем для ионов водорода. Если предположить, что заряды их по абсолютной величине равны, то, рассудил Томсон, масса катодных частиц должна быть намного меньше массы атомов водорода. Когда представление об электроне у него более или менее сложилось, он предложил модель «пудинга с изюмом». Согласно этой модели, отрицательные электроны, образуя правильные конфигурации, «плавают» в эфирной среде, заряженной положительно. О существовании положительного ядра атома он тогда ничего не подозревал; ядро было открыто несколько лет спустя.

Теперь наш дальнейший интерес сосредоточится на той самой модели Томсона, которая послужила прототипом для представления о реальном атоме. Дело в том, что исходная модель была воссоздана в обычных лабораторных условиях макромира с помощью плавающих в ванне с водой намагниченных металлических иголок, которые закреплялись на крохотных пробковых плотиках. Опыт показал, что три близлежащие диполя в свободном плавании располагаются в вершинах правильного треугольника (3 + 0). Четыре диполя распределяются по вершинам квадрата (4 + 0). Пять диполей могут образовывать уже две устойчивые модификации: либо все пять занимают вершины правильного пятиугольника (5 + 0), либо четыре диполя занимают вершины квадратов, а один находится в центре (1 + 4).

Однако шесть диполей не располагаются по вершинам правильного шестиугольника, т.е. конфигурация 0 + 6 существовать не может; имеется лишь один устойчивый вариант, когда пять диполей находятся в вершинах правильного пятиугольника, а один в центре (1 + 5). Нет и варианта типа 0 + 7, но есть только 1 + 6. Зато из восьми диполей получается два варианта 1 + 7 и 2 + 6. Если число диполей не превосходит 15, то все они распределяются по двум подгруппам – внутренней и внешней. Для системы 14-го порядка образуется конфигурация 5 + 9, где кольцо из 5 диполей является внутренним по отношению к кольцу из 9 диполей. Для 15 диполей существует единственная конфигурация 1 + 5 + 9. Таким образом, возникает серия из трех подгрупп, например, 2 + 7 + 11 = 3 + 7 + 10 = 3 + 7 + 10 = 20. Это продолжается до конфигурации до 1 + 5 + 9 + 12 = 27, когда возникает четыре подгруппы. Количество возможных дипольных конфигураций, распределенных по одной, двум, трем и четырем подгруппам, которые Майеру удалось смоделировать в эксперименте, приведены в табл. 21 (в нее не вошли конфигурации с первым кольцом из пяти элементов: 5 + 0 = 5, 5 + 9 = 14, 5 + 9 + 12 = 26, 5 + 9 + 13 = 27 и т.д.)

Первое, о чем следует помнить, когда вы рассматривайте табл. 21, так это то, что она прекрасно демонстрирует принцип заполнения электронами энергетических уровней s, p, d орбиты в атоме. Неважно, что в этой дипольной модели отсутствует ядро; оно может повлиять только на число электронов, которые разместятся иначе в каждой из подгрупп. Но ядро не вносит какого-то принципиального изменения в сам ход заполнения уровней. Поскольку все приведенные в таблице числовые данные определялись экспериментальным способом, который нельзя назвать прецизионным, у нас, конечно, нет никаких гарантий, что какая-нибудь, пусть не очень устойчивая, конфигурация в таблице пропущена. Величина устойчивости магнитной системы в данном случае никак не измерялась.

Таблица 21

Возможно, кто-то найдет в ней и другие погрешности, однако данный эксперимент поддается усовершенствованию. Например, намагниченные иголки можно заменить массивными (размером с бильярдный шар) многополюсными электромагнитами, управляемыми как по числу полюсов, так и по величине напряженности магнитного поля. С помощью многоэлементной системы, состоящей из сотен таких плавающих магнитов, можно изучать конфигурации и степень устойчивости возникающих кольцевых структур, за счет регулировки величины токов. Сняв электромагниты с пробковых плотиков и разместив их в погруженные в воду сферы (соответствующим образом уравновешенные в воде), можно попытаться изучить характер объемных конфигураций. Такая модель будет близка к реальным условиям нахождения свободных электронов в пространстве трех измерений. Во всяком случае, нельзя отрицать, что результаты, полученные с помощью данной модели, имеют исключительно важное значение для понимания процессов, происходящих внутри атомов. Томсон о табл. 21 писал: «Я думаю, что эта таблица дает определенные указания для объяснения некоторых свойств атомов» [42, с. 74] и он, конечно же, прав.

Во-вторых, модель имеет обычные для наших масштабов размеры; они несопоставимы ни с астрономическими размерами Солнечной системы, ни с атомными. Тем не менее, модель ведет себя в соответствии с квантовой механикой. В ней существуют определенные стационарные состояния: когда количество диполей превысит какой-то порог, система скачком изменяет свою конфигурацию, вплоть до перехода «лишнего» диполя на внутренний уровень (ядра ведь нет, поэтому «возбужденные» диполи падают на нижний уровень, а не на верхний). При желании кольца с магнитными диполями можно раскрутить с помощью внешнего вращающегося магнитного поля подобно тому, как раскручивается ротор во вращающемся магнитном поле статора. Такая вращающаяся квантовая система будет походить уже на синхронизованные системы типа вышерассмотренных спутниковых систем Юпитера и Сатурна или троянской системы из астероидов. Качественно движение небесных тел мало чем будет отличаться от движений магнитиков, плавающих в ванне с водой или погруженных в воду, хотя количественные характеристики прочности связи, запаса устойчивости и прочие параметры, могут различаться на много порядков. Главное, что необходимо здесь понять, дискретность не является какой-то прерогативой микромира. Все, что происходит внутри атома, с той или иной точностью можно смоделировать на объектах любого масштаба. Мысль, будто законы физики каким-то образом зависят от абсолютных размеров системы, ошибочна.

Нужно заметить, что постановку эксперимента с магнитными диполями, плавающими в ванне с водой, осуществил не Томсон. Он даже не смог как следует сослаться на автора этого чудного эксперимента, сказав только, что «опыт впервые произведен, насколько мне известно, профессором Майером». К слову сказать, Томсон не любил читать научные статьи своих коллег и предпочитал либо сам присутствовать при проведении эксперимента, либо просил кого-нибудь, чтобы тот рассказал ему об уже проведенных опытах. Кто такой профессор Майер, предложивший и осуществивший столь «простой и изящный опыт», как выразился Томсон, история умалчивает. Единственное, о чем можно сейчас уверенно сказать, так это то, что Майер был наделен дюжим конструктивистским талантом. Но спасибо и Томсону, который вовремя обратил внимание на эксперимент Майера и осмыслил его ценность для понимания характера атомных явлений.

Далее события разворачивались следующим образом. Томсон в 1906 г. получает Нобелевскую премию «за вклад, который он внес своими теоретическими и экспериментальными исследованиями прохождения электричества через газы». К прославленному лауреату едут учиться молодые физики со всего света. На короткий период с сентября 1911 г. по март 1912 г. к нему приезжает и Нильс Бор (1885 – 1962). Отношения у них не заладились с первых же дней, да это и понятно. С 1909 г. и до самого приезда в Кембридж к Томсону Бор был страшно увлечен экзистенциальной философией Сёрена Кьеркегора. О его книге «Этапы жизненного пути» Бор писал своему брату: «… Я склонен даже считать, что это одна из прекраснейших вещей, которые мне когда-либо приходилось читать». Томсон же являл собой ярчайший пример воплощения рационализма и ему был, конечно, абсолютно чужд тот негативизм, который проистекал из философии Кьеркегора, и которым были заряжены мозги Бора. Иррациональное состояние душевного настроя молодого человека, который приехал в Кембридж на стажировку, Томсон и почувствовал. Эпистемологию Бора можно охарактеризовать его же собственной фразой, смысл которой передается словами: чтобы идея получила право на существование, она должна быть достаточно сумасшедшей. Бора и вправду тянуло, если не к сумасшедшим, то уж, во всяком случае, к парадоксальным и крайне необычным объяснениям формально-феноменологического характера.

Натянутые отношения между всемирно известным ученым и никому неизвестным стажером повлекли за собой отъезд Бора к Резерфорду в Манчестер. Ко времени прибытия в Манчестер произошли следующие события. В 1908 г. один из сотрудников Резерфорда по фамилии Гейгер построил прибор для подсчета количества альфа-частиц (сейчас этот прибор называют счетчиком Гейгера). «Имея возможность считать альфа-частицы, – вспоминает Петр Капица, – Резерфорд стал изучать целый ряд явлений, которые прежде не поддавались исследованию. В 1910 г. к нему в лабораторию приехал работать молодой ученый по имени Марсден. Он попросил Резерфорда дать ему какую-нибудь очень простую задачу. Резерфорд поручил ему считать альфа-частицы, проходящие через материю, и найти их рассеяние. При этом Резерфорд заметил, что, по его мнению, Марсден ничего особенного не обнаружит. Свои соображения Резерфорд основывал на принятой в то время модели атома Дж. Дж. Томсона. В соответствии с этой моделью атом представлялся сферой размером 10^–8 см с равнораспределенным положительным зарядом, в которую были вкраплены электроны. Гармонические колебания последних определяли спектры лучеиспускания. Нетрудно показать, что альфа-частицы должны были легко проходить через такую сферу, и особенного рассеяния их нельзя было ожидать. Всю энергию на своем пути альфа-частицы тратят на то, чтобы выбивать электроны, т. е. ионизовать окружающие атомы.

Марсден под руководством Гейгера стал делать свои наблюдения и скоро заметил, что большинство альфа-частиц проходит через материю, но все же существует заметное рассеяние, а некоторые частицы как бы отскакивают назад. Когда это узнал Резерфорд, он сказал: "Это невозможно. Это так же невозможно, как для пули невозможно отскочить от бумаги"… Изучая закон распределения отразившихся альфа-частиц, Резерфорд постарался определить, какое распределение поля внутри атома необходимо, чтобы объяснить закон рассеяния, при котором альфа-частицы могли бы даже возвращаться обратно. Он пришел к выводу, что это возможно тогда, когда весь заряд сосредоточен в центре, а не распределен по всему объему атома. Размер этого центра, названного им ядром, очень мал: порядка 10^–13 см в диаметре. Но куда же тогда поместить электроны? Резерфорд решил, что отрицательно заряженные электроны надо распределить кругом – они могут удерживаться благодаря вращению, центробежная сила которого уравновешивает силу притяжения положительного заряда ядра. Следовательно, модель атома есть не что иное, как некая Солнечная система, состоящая из ядра – Солнца и электронов – планет. Так он создал свою модель атома.

Эта модель встретила полное недоумение, так как она противоречила некоторым тогдашним, казавшимся незыблемыми, основам физики. Резерфорд, конечно, понимал, что на основе максвелловской теории электроны, вращаясь вокруг центра, неминуемо должны испускать свет, терять свою кинетическую энергию и рано или поздно упасть на ядро. Идти вразрез с основами максвелловской теории в то время было чрезвычайно трудно. Поэтому модель атома Резерфорда вначале не была признана. Так продолжалось два года. В это время к Резерфорду приехал работать молодой датский ученый Нильс Бор. Они часто обсуждали эту модель атома. Для Бора также было ясно, что принципы строения этой модели не находятся в соответствии с теми законами, которые было принято тогда считать основными. И Бор начал работать над этим парадоксом. Он верил в экспериментальную обоснованность модели Резерфорда, но надо было найти ей теоретическое обоснование» [43, с. 220 – 221].

По складу характера Резерфорд был типичным представителем ученого-организатора. Капица вспоминает: «Пока работающий не начинал получать конкретных результатов, он мало обращал внимания на работу. Мелочной опекой он не занимался. Он часто приходил к нам в лабораторию на короткое время и неизменно делал замечание вроде: "Что вы тут все время топчетесь на одном месте, когда же будут результаты?"» Математику и математическую физику он знал в самом скромном объеме и практически никогда не облекал свои физические идеи в математическую форму. Поэтому, когда «эксперимент по рассеянию альфа-частиц, сделанный учеником Резерфорда Мардсеном (1910), однозначно указал на существование тяжелого ядра в центре атома», «Резерфорд так ясно себе представлял все происходящее во время столкновения частиц, что для него противоречие даже с фундаментальными законами электродинамики не послужило препятствием для установления планетарной модели атома» [43, с. 233].

В это время к нему на стажировку приезжает Бор с некоторыми идеями Томсона о слоистом строении атома. Следует заметить, что к марту 1912 г. Томсон, учтя экспериментальные данные Мардсена по рассеянию альфа-частиц и соображения Резерфорда, рассчитал новую стационарную модель атома, в центре которого находилось положительно заряженное ядро, а по периферии отрицательно заряженные электроны. Томсон не принял идею Резерфорда о вращающихся электронах – уж слишком она противоречила теории Максвелла. Но, чтобы неподвижные электроны не упали на ядро, он слегка изменил закон Кулона, добавив к нему отрицательное слагаемое, пропорциональное отношению r₀/r³, где r₀ = 10^–8 см. Теперь закон Кулона, который для электрически заряженных тел заменяет всемирный закон тяготения, у него выглядел так:

.

Этой моделью с небольшой коррекцией Томсон пользовался до конца своих дней, так и не приняв динамическую модель атома Резерфорда — Бора (про Мардсена, как водится в истории науки, все позабыли). Электромагнитное излучение в этой модели происходило от того, что какой-нибудь неравновесный, возбужденный электрон начинал колебаться внутри атома. Когда колебания переходили какие-то границы, перевозбужденный электрон покидал пределы атома. Электрон Томсона, как и в модели Майера, был диполем, что не так уж и далеко от истины, поскольку реальные электроны действительно обладают спиновой ориентацией.

Обязательная годичная стажировка, которую должны проходить все будущие преподаватели университетов, для Бора закончилась женитьбой, так что у Резерфорда в Манчестере он пробыл всего несколько весенних месяцев. Потом был медовый месяц. В октябре он получил должность внештатного преподавателя (приват-доцента) Копенгагенского университета и, после какого-то адаптационного периода, начал писать работу «О строении атомов и молекул», которая прославила его в веках. В ней использовалась формула Бальмера для описания спектров излучения атомов, открытая 28 лет назад, но сообщенная Бору Хансеном в феврале 1913 г. Она сыграла решающую роль для построения динамической модели атома. В начале марта Бор пересылает часть своей статьи Резерфорду и просит его содействия в ее публикации.

Резерфорд в ответном послании от 20 марта пишет: «Ваши мысли относительно причин возникновения спектра водорода очень остроумны и представляются хорошо продуманными, однако сочетание идей Планка со старой механикой создает значительные трудности для понимания того, что же все-таки является основой такого рассмотрения. Я обнаружил серьезное затруднение в связи с Вашей гипотезой, в котором Вы, без сомнения, полностью отдаете себе отчет; оно состоит в следующем: как может знать электрон, с какой частотой он должен колебаться, когда он переходит из одного стационарного состояния в другое? Мне кажется, что Вы вынуждены предположить, что электрон знает заблаговременно, где он собирается остановиться» [44, т. 2, с. 556]. Резерфорд выдвигал и другие аргументы против, но, в конце концов, сдался, принял от молодого приват-доцента революционную работу, которую из-за большого объема было решено разбить на части и опубликовать тремя статьями в течение 1913 г.