Конструктивная математика

Акимов О.Е.

23. Модель атома Бора

Рассмотрим более подробно динамическую модель атома Бора, которая была некоторым подобием Солнечной системы. Как предположил Резерфорд, вращающиеся электроны удерживаются на стационарных круговых орбитах за счет равновесия кулоновской силы взаимодействия между положительно заряженным ядром (+Ze) и отрицательными электронами (–e), с одной стороны, и центробежной силой, с другой:

,

где m — масса электрона, v_n — его скорость на n-ой орбите, r_n — расстояние от ядра до электрона, находящегося на n-ом уровне; Z — зарядовое число ядра (для водорода Z = 1, для гелия Z = 2, для лития Z = 3 и т.д.). Учитывая известное соотношение

,

где ω_n — круговая частота, которую можно выразить через частоту (f_n) и период (T_n) колебания электрона на круговой орбите, приходим к третьему закону Кеплера:

.

Далее Бор воспользовался идеей Планка о квантовом излучении энергии, которая у него стала зависеть от главного квантового числа n: E_n = nhf. При переходе электрона с одной орбиты (m) на другую (n) и обратно происходит поглощение или испускание излучения с частотой f_mn, которая будет пропорциональна разности E_n – E_m. Вместо энергии можно воспользоваться выражением для импульса: p = mv_nr_n = nh/2π = nћ. Комбинируя данное выражение с исходной формулой равенства кулоновской силы с центробежной, при условии Z = 1 и n = 1, т.е. для первого уровня атома водорода, находим так называемый боровский радиус электрона, вошедший сегодня во все справочники по физике: r₁ = ћ²/me² = 0,528 × 10^–8 см, что хорошо согласовалось с данными по рассеянию α-частиц. Но самым замечательным оказалось совпадение эмпирически найденного значения постоянной Ридберга (R) с вычисленным ее значением по модели Бора.

В самом деле, полная энергия электрона на n-ом уровне в атоме складывается из кинетической (K) и потенциальной (U) энергий:

E_n = K_n + U_n = .

Воспользовавшись еще раз самым первым условием, мы легко находим связь между потенциальной и кинетической энергиями, которая равна K = –U/2. Следовательно, энергия электрона на стационарном уровне равна:

E_n = .

Формула Бальмера составляется из разности энергий, тогда частота излучаемой или поглощаемой электромагнитной волны равна:

f_mn = (E_n – E_m)/h = =

= ,

где m < n. При m = 1 получались ультрафиолетовые лучи серии Лаймана, при m = 2 — видимые лучи серии Бальмера, при m = 3 — инфракрасные лучи серии Пашена, при m = 4 — инфракрасные лучи серии Брэкетта, при m = 5 — инфракрасные лучи серии Пфундта. Таким образом, постоянная Ридберга, найденная при Z = 1 экспериментальным путем из спектров излучения и поглощения различных серий, равная R = 109678 см^–1, более не являлась фундаментальной (т.е. независимой от других) постоянной.

Удивительное числовое совпадение, которое особенно радовало Бора, опиралось, однако, на довольно зыбкое физическое обоснование. Динамическая модель атома, как аналога Солнечной системы, в которой действуют и всемирный закон тяготения в форме закона Кулона, и вытекающие из него законы Кеплера, не объясняла главного: почему электроны не падают на ядро, а также хранила полное молчание по поводу тонкого механизма излучения и поглощения электромагнитных волн.

Другими словами, Бором была произведена успешная числовая подгонка, но настоящей физической модели он не построил. Бор не использовал сложных математических вычислений, которые проводил Томсон. Если Томсон, как правило, выводил множество принципиально новых математических выражений, то Бор ограничился комбинацией старых, хорошо известных. Бор и не скрывал недостатки своей модели перед томсоновской, в которой действующие на электроны силы «допускают определенные конфигурации и движения, обеспечивающие устойчивое равновесие системы; такие конфигурации, по-видимому, не существуют для модели Резерфорда» [44, т.1, с. 84]. Бор привел таблицу заполнения электронных уровней по орбиталям 1a, 2a + 2b, 3a + 3b + 3c, напоминающую табл. 21, составленную в свое время Майером. Однако ее заполнение производилось почти наугад, во всяком случае, без каких-либо предварительных вычислений. Реальное заполнение электронных уровней по орбиталям 1s, 2s + 2p, 3s + 3p + 3d будет совершенно иным. В табл. 22 показано, как электроны заполняют атомные уровни по Бору (3, 4 и 5 столбцыы)и реально (6, 7 и 8 столбцы).

Таблица 22

Итак, Бору нужно было найти какой-то выход. К этому времени стала набирать популярность специальная теория относительности, основанная на двух известных постулатах. Молодые физики все чаще и громче стали говорить об особых пространствах субсветовых скоростей и субатомных масштабов, где будто бы законы традиционной механики перестают работать. Бор решил воспользоваться этим простым формалистским приемом, который состоял в провозглашении нужного физического закона, который, однако, недоступен для рационального моделирования. Молодой теоретик нуждался в двух «костылях», которые он сформулировал следующим образом:

«1. Динамическое равновесие системы в стационарных состояниях можно рассматривать с помощью обычной механики, тогда как переход системы из одного стационарного состояния в другое нельзя трактовать на этой основе.

2. Указанный переход сопровождается испусканием монохроматического излучения, для которого соотношение между частотой и количеством выделенной энергии именно такое, которое дает теория Планка» [44, т.1, с. 90].

Модная в то время философия конвенционализма, разработанная Пуанкаре, ясные постулаты, которые перекликались с постулатами теории относительности, простая и понятная математика, не идущая ни в какое сравнение с выкладками Томсона, и симпатичные рисунки (рис. 26) сделали свое дело — квантовая механика Бора пошла по Европе и стала овладевать массами. Его смелые идеи казались очень современными, быстро схватывались молодежью и всеми теми, кто хоть немного интересовался наукой, включая журналистов и философов.

Рис. 26

Истинной науки в предложенной миниатюрной Солнечной системе, где действовали законы Кеплера, было немного. Траектории, которые вычерчивал Бор даже для двух электронов гелия, а тем более для 88 орбит радия, не выдерживали никакой критики. Томсон понимал, что макрокристаллы поваренной соли или кварца сохраняют свою статическую конфигурацию и на атомарном уровне. В самом деле, почему электроны-планеты должны вращаться в одной плоскости эклиптики вокруг ядра-солнца (так их рисовал Бор)? В этом случае центр тяжести атома, как и центр тяжести Солнечной системы, будет колебаться возле некоторой геометрической точки. Из-за перемещений огромного числа электронов-планет микроскопический остов кристаллической решетки рассыплется, а значит,атомы не смогут существовать в стабильном виде и макрокристаллы поваренной соли или кварца превратяться в аморфную массу. Формула для постоянной Ридберга, выведенная Бором, как и формула Бальмера, должна была получить статус эмпирической подгонки, поскольку обе они четкого физического объяснения пока не имеют.

Нужно также не забывать, что задача трех тел до сих пор не решена; о чем же можно было говорить, когда вычерчивалось около сотни эллипсов, по которым якобы движутся отрицательно заряженные материальные частицы. Понятно, что кулоновское взаимодействие между одноименно заряженными электронами никогда не даст тех симпатичных арабесок, которые вычерчивал Бор. Однако красочные картинки траекторий электронов очень нравились околонаучной публики и все начинали думать, будто именно такова истинная конфигурация атомов. В «старомодных» моделях Томсона, в его сложных математических выкладках никто разбираться не хотел. Молодость, красота и простота победили: статическая модель Томсона была выброшена на свалку истории, а динамическая модель Бора была воспринята ученым сообществом, а вместе с ней была взята на вооружение формально-феноменологическая методология позитивизма.

Между тем, эпистемологический принцип конструирования природных явлений функционально пригодными, по-настоящему действующими моделями является единственно возможным. Тот, для кого сам процесс создания моделей является источником высшего наслаждения, не станет лукавить и искать обходные пути, прикрываясь позитивистскими лозунгами «экономии мыслительной деятельности». Для Томсона важна была истина без всяких утилитарных целей. «Для многих людей, – говорил он, – эта сторона физики является особенно привлекательной; … ум этих людей не может мириться с разнородностью и хаосом явлений, которые мы видим кругом, и заставляет их искать точку зрения, с которой самые разнородные явления, как свет, теплота, электричество и химические превращения являются различными проявлениями немногих принципов. Рассматривая вселенную, как машину, эти люди интересуются не тем, что может дать эта машина, а тем, как она построена, и как она работает. И если им для их собственного удовлетворения удается разрешить хотя бы ничтожную часть такой проблемы, они испытывают такую большую радость, что для них вопрос "в чем же значение гипотезы? " является настолько же второстепенным, насколько второстепенен вопрос "в чем значение поэзии, музыки и философии?"» [45, с. 58 – 59].

В послесловии к книге Томсона «Электричество и материя» З. Цейтлин, последовательный приверженец классической физики, писал: «Исходя из понятия фарадеевских силовых линий, Дж. Дж. Томсон уже много лет разрабатывают физическую картину электромагнитных колебаний. Несмотря на высокий ученый авторитет Томсона, его идеи по этому вопросу обычно замалчиваются, и во всех руководствах, ученых и популярных работах по физике неизменно повторяется о "таинственной" природе электромагнитных волн, а силовые линии Фарадея истолковываются не как физические образования (как их толкует Томсон и толковали Фарадей и Максвелл), а как символическое изображение таинственных сил электромагнитного поля» [42, с. 151]. Далее Цейтлин продолжил: «Когда Фарадей подтвердил свои гениальные физические идеи гениальнейшими открытиями в области электромагнетизма, он этим не завоевал себе даже минимального признания. Формалисты школы Ампера – Вебера, подобно современным формалистам школы Маха – Авенариуса, с тайным, а иногда и с явным презрением смотрели на "грубые материальные" силовые линии и трубки, порожденные плебейской фантазией переплетчика и лабораторного сторожа Фарадея. И даже тогда, когда Максвелл облек плебейски обнаженное тело фарадеевских представлений в аристократические математические одежды, когда уравнения Максвелла победили на всех уровнях вплоть до предсказания за несколько десятков лет существования электромагнитных волн и давления света, даже тогда фарадеевское учение по мере возможности игнорируется: силовые линии, это – математические линии, а уравнения Максвелла написаны при помощи "удара большого пальца" (Пуанкаре), чуть ли не "самим Господом Богом" (Больцман)» [42, с. 155].

Наиболее отчетливо о различии между конструктивным и формальным подходами говорил Максвелл в своем знаменитом докладе «О соотношении между физикой и математикой» (от 15 сентября 1870 г.), прочитанном на физической секции Британской ассоциации физиков. Он говорил: «Человеческий ум редко бывает удовлетворен и, конечно, не выполняет своей наивысшей функции, когда производит работу счетной машины. Ученый, математик ли он или физик, стремится составить себе и развить ясное представление о предметах, с которыми он имеет дело. Для этого он согласен проделать длинные вычисления и даже сделаться на некоторое время вычислительной машиной, если тем самым он сделает свои идеи в конечном счете более ясными. Но если он видит, что ясные идеи нельзя получить с помощью процессов, этапы которых он, наверное, забудет, прежде чем придет к заключению, то гораздо лучше будет, если он обратится к другому методу и попытается понять предмет исследования при помощи удачно выбранных иллюстраций, взятых из более близких ему областей.

Мы все знаем, насколько иллюстративный метод изложения популярнее, чем метод, в котором главное место занимают голые рассуждения и расчеты. Истинно научный иллюстративный метод есть метод, который позволяет понять какое-либо представление или закон одной отрасли науки с помощью представления или закона, взятых из другой отрасли, и который, отвлекаясь вначале от различия физической природы реальных явлений, направляет мысль на овладение математической формой, общей соответствующим идеям в обеих науках. Точность такого иллюстративного метода зависит от того, действительно ли аналогичны по форме обе сравниваемые системы идей или, другими словами, действительно ли соответствующие физические величины принадлежат к одному и тому же математическому классу. При соблюдении этого условия метод иллюстрации весьма удобен для легкого и приятного обучения науке; но, помимо того, признание формальной аналогии между двумя системами идей приводит к более глубокому познанию обеих, чем познание, которое можно было получить, изучая каждую систему в отдельности.

Есть люди, которые могут полностью понять любое, выраженное в символической форме сложное соотношение или закон, как соотношение между абстрактными величинами. Такие люди иногда равнодушны к дальнейшему утверждению, что в природе действительно существуют величины, удовлетворяющие этим соотношениям. Мысленная картина конкретной реальности скорее мешает, чем помогает их рассуждениям. Но большинство людей совершенно неспособны без длительной тренировки удерживать в уме невоплощенные символы чистой математики, так что если наука должна когда-нибудь стать общедоступной, оставаясь, однако, на должной высоте, то это произойдет путем глубокого изучения и широкого применения принципов математической классификации величин, лежащих, как мы уже видели, в основе всякого истинно научного иллюстративного метода. Существуют, как я уже сказал, такие умы, которые могут с удовлетворением рассматривать чистые количества, представляющиеся глазу в виде символов, а разуму в форме, которую не может понять никто, кроме математиков. Другие получают большее удовлетворение, следя за геометрическими формами, которые они чертят на бумаге или строят в пустом пространстве перед собой. Иные же не удовлетворяются до тех пор, пока не перенесутся в созданную ими обстановку со всеми своими физическими силами. Они узнают, с какой скоростью проносится в пространстве планета, и испытывают от этого чувство восхитительного возбуждения. Они вычисляют силы, с которыми притягивают друг друга небесные тела, и чувствуют, как напрягаются от усилия их собственные мышцы. Для этих людей слова момент, энергия, масса не являются просто абстрактным выражением результатов научного исследования. Эти слова имеют для них глубокое значение и волнуют их душу, как воспоминания детства. Для того чтобы удовлетворить людей этих различных типов, научная истина должна была бы излагаться в различных формах и считаться одинаково научной, будет ли она выражена в полнокровной форме или же в скудном и бледном символическом выражении» [46, с. 7 – 9].

Сам Максвелл, как и Томсон, был приверженцем конструктивного подхода, т.е. когда у человека геометрические образы и модели превалируют над математическими символами и целиком определяют их, а не наоборот, как это мы видим у Бора.