Конструктивная математика

Акимов О.Е.

3. Логика и математика как два метода познания

Термин логика произошел от греческого logoz, что переводится как речь, произнесенное слово; данный термин связан с глаголом говорить. У пифагорейцев обратное действие — слышать (akouw) — порождало услышанное слово, что отражалось термином акусма (akousma). Если истинность услышанного слова гарантируется авторитетом говорящего, то истинность произнесенного слова должна быть обеспечена формально-логическим выводом. Однако в рассуждениях акусматиков присутствуют элементы формально-логического вывода, а вывод логиков всегда опирается на авторитет посылок. Произнесенное слово и услышанное находились в оппозиции к третьему термину — математика. Весь комплекс знаний, связанный со словом maqhmatikh, восходит к конструктивному познанию.

Греческое слово maqanw переводится как изучаю или понимаю, maqhsiz — изучение или познание, а слово математика (maqhmatikh) раньше означало науку вообще и глубокое познание всякого предмета. Здесь также уместно напомнить, что греческое слово гипотеза (upoqesiz) первоначально означало кинематическую модель и геометрическую схему. В этом значении данным термином пользовался Птолемей. Схоласты, недолюбливавшие конструктивные методы античных математиков, сообщили слову гипотеза коннотацию сомнения и предположения, отсутствовавшие в первоначальном значении слова. Рядом с исходным словом гипотеза можно было поставить и боговдохновенное слово теория или близкое ему слово теорема; они образованы от греческого глагола qewrein — созерцать. Таким образом, три основных математических термина — гипотеза, теорема и теория — апеллируют, прежде всего, к воображению, на что всегда опирался и будет опираться конструктивный поиск.

Математика — это нечто зримое, логика — нечто высказанное, а акусматика — нечто услышанное. Математики все знания получали преимущественно через представления; логики — через понятия, а акусматики — через заклинания. В этом троичном делении схвачено, пожалуй, основное и самое первое различие между рационально-конструктивным, формально-феноменологическим и религиозно-мистическим. 

Логики и акусматики все свои знания выражали в словесно-символической форме, часто в очень претенциозной, поэтической и религиозной; математики же должны сами конструировать свои представления, т.е. заниматься более рациональным и прозаическим трудом. Понятийный спектр имеет две крайности в виде простого символа и философского принципа. Чистыми символами оперируют обыкновенно мистики. Так, пифагорейцы в качестве символов избрали для себя числа, сторонники каббалы — буквы, но перед первыми лежит всё же реальный мир, а перед вторыми — «священные тексты», поэтому пифагорейцы по степени идеализации мира приближаются к платоникам, а каббалисты занимают исключительно иррациональную позицию, смыкающуюся с позицией богословов. 

Формализм-феноменализм Аристотеля, Фомы Аквинского или Гегеля местами апеллирует к идее Бога, однако сама логика совершенно безразлична к теологии, поэтому формально-логическая эпистемология часто является рационалистической. Пифагорейско-платоновская эпистемология, которой внутренне присуща мистика и признание потустороннего мира или каких-то трансцендентных вещей, при всей этой теологической направленности совместима с конструктивистскими элементами. Логики-перипатетики и акусматики-пифагорейцы отличаются от конструктивных математиков тем, что первые тяготеют к схоластической манере поучать, вторые — к мистической манере внимать; как те, так и другие — формалисты-феноменалисты, оперирующие логическими дефинициями, философскими принципами, политическими декларациями, юридическими нормами, церковными заповедями, священными заветами. 

С помощью конструктивной математики познается объективный мир; с помощью формальной логики упорядочиваются мысли и феномены, данные нам в ощущениях; с помощью заклинаний вдалбливаются ложные понятия и представления, имеющие преимущественно иррациональный, эмоционально-чувственный статус, блокирующий волю индивидуума и определяющий его механическое неосознаваемое поведение. Последний тип эпистемологии носит откровенно религиозные и мистические формы, имеет мало общего с рациональной наукой, поэтому мы не рассматриваем его самостоятельно, но только как продолжение формально-феноменологической эпистемологии, как ее крайнюю форму. 

Логика и математика в известном смысле противостоят друг другу. Предметом логики является мышление субъекта, которое разворачивается во времени, линейно и последовательно; предметом математики является независимая от мышления структура объекта, которая существует как некая пространственная данность вся целиком. В таком цельном виде математическая структура не может проникнуть в наше сознание и должна быть последовательно деструктурирована. Эта миссия лежит на логике; можно сказать, что через логику субъекта становится доступна математика объекта. Поэтому было бы правильно всю математику, как науку о количественных отношениях и пространственных формах, разграничить на два отдела, где по отдельности излагались бы конструктивная или поисковая математика и доказательная или образовательная математика; последняя и будет связана с логикой. Конструктивная математика обращена на объект, формальная — на субъект. 

Ошибка конструктивиста-математика — это недопустимое расхождение между объектом и его моделью; ошибка формалиста-логика — это противоречие внутри формальной системы, которое никакого отношения к объективной реальности не имеет, так как он оперирует только символами действительного мира. Двигаясь итерационно шаг за шагом, конструктивный математик приближается к своему идеалу совсем не так как математик-формалист или логик. Опираясь на представления о реальности, он стремится воссоздать, сконструировать соответствующую этой реальности конкретную модель. Эта его частная модель всегда будет более восприимчива к модернизации, ее наглядные детали обладают высокой мобильностью и легко поддаются коррекции. Психика конструктивиста как нельзя лучше приспособлена для подобного рода занятий. Так, Архимед за свою долгую жизнь инженера и теоретика успел построить и проанализировать множество механических и геометрических моделей. Или взять Максвелла, который за свою короткую творческую жизнь поменял три совершенно различных модели электромагнитного взаимодействия. 

Логические системы всегда оказываются консервативными и невосприимчивыми к совершенствованию. Осторожные, постоянно оглядывающиеся назад формалисты склонны строить гигантские системы, состоящие наполовину из примечаний и дополнений (полюбуйтесь на панлогические системы, созданные Аристотелем, Гегелем или Дж. Ст. Миллем). Непрерывно замазывая щели и законопачивая дыры, формалисты неустанно шлифуют и лакирую несущие опоры здания своего неизменного догмата, ни за что не соглашаясь на их демонтаж. Даже сам формальный аппарат логики за два с половиной тысячелетия своей истории претерпел крайне незначительные изменения, причем поверхностного характера. Между тем аппарат конструктивной математики в течение сравнительно короткого времени испытал быстрые и радикальные изменения.

Итак, математика тяготеет к конструктивной теории, а логика — к поверхностной феноменологии, эксперименту или эмпирическим данным. Любой формалист склонен к недооценке модельных построений и переоценке фактов; конструктивист же, напротив, чрезвычайно увлекается пространственной механикой и считает всякие опытные данные бесполезными, пока они не приобрели какую-нибудь, пусть самую предварительную теоретическую платформу. В результате расстановки этих приоритетов, у формалиста опыт всегда превалирует над теорией; у конструктивиста, наоборот, опыт, а значит, практика и прагматические цели уходят на второй план, главным для него становятся знания ради самих знаний, истина во имя самой истины. 

Конструктивист уверен в ценности теории самой по себе, без всяких меркантильных, утилитарных и прагматических намерений. Он говорит себе: объективный мир устроен так-то и так-то, вот адекватная модель, отображающая реальные процессы. Формалист критикует конструктивиста за идеализм, оторванность от жизни и бесполезность его теоретических построений. Путем эмпирической и формальной подгонки, он снабжает потребителей интеллектуального продукта неким «описанием» природы или «инструкцией» к ее использованию. Дескриптивной эпистемологией устанавливаются необходимые каузальные связи между причиной и следствием или функциональные зависимости между воздействием и откликом. Формалисты уверены, будто логика (т.е. техника составления правильных цепей рассуждений, сюда же можно включить силлогистику Аристотеля, диалектику Гегеля, а также античную и средневековую диалектику как искусство ведения софистических и схоластических споров) помогает открывать новые истины, что, конечно же, не так. Формально-феноменологические уравнения, таблицы и графики имеют весьма косвенное отношение к физической действительности, хотя они и позволяют сделать быстрый расчет или предсказать наперед ту или иную опытную ситуацию. 

Формалисты говорят: «Математика — это символьный язык, служащий для формального описания объекта познания». Конструктивист возразит ему: «Нет, математика это не столько язык познания, сколько сам объект познания». Граф или группа, конечно, могут отображать некие объекты, существующие в реальности, однако эти математические сущности могут обойтись и без физических представителей. Поэтому правильнее говорить о параллелизме между математическим и физическим мирами, когда вправе утверждать о представлении математических структур физическими моделями. Чтобы почувствовать разницу между формальным и конструктивным подходом, нужно отчетливо видеть разницу между математическим и логическим выражением. 

Математика предоставляет некоторые количественные отношения, выраженные уравнением или тождеством, т.е. определенной формой эквивалентности. При переходе от левой части уравнения к правой не происходит приращения принципиально нового знания: та информация, которая содержится в его левой части, будет содержаться и в правой. Однако прежде чем вложить информацию в левую часть уравнения, ее нужно увидеть, т.е. она добывается органами зрения, а не речи или слуха. Настоящее доказательство связано только с непосредственным видением, но никак не с декларированием слов. Математика всегда есть больше чем совокупность специальных символов и терминов; она выходит далеко за рамки некоего условного языка. Важно, что математика с помощью символов способна представлять и моделировать действительность — в этом ее основное предназначение. Существование математического факта можно считать установленным, если получена соответствующая ему конструкция, часто в виде формул, таблиц и рисунков. Сложная, труднодоступная истина устанавливается на основе простой, открытой истины, некой визуальной данности. Прежде чем реальность будет представлена в виде математических формул и геометрических чертежей, она должна быть описана с помощью наглядной пространственно-механической модели; именно на основе конкретного образа производятся все необходимые вычисления. Модель тоже может быть неадекватна реальности, только природа математических ошибок существенно иная, чем логических. 

Логический вывод подчиняется отношению порядка, который выражается словосочетаниями: «если А, то В», «А влечет В», «В, потому что А». Вместо букв А и В мы можем подставить C и D или любые другие буквы, т.е. логика изначально и принципиально имеет дело только с символами реальности, но не с самой объективной реальностью. Она упорядочивает мысли субъекта, но не внешние объекты, и правильность дедуктивного вывода еще не гарантирует истинности знаний о реальном мире, поскольку в буквенной идентификации реальных предметов может быть допущена ошибка.

Логика — это наука о доказательствах. Под доказательством понимают логически обоснованный формализм и, таким образом, теория доказательства становится разделом логики, изучающей различного рода суждения или умозаключения. При доказательстве той или иной истины мы всегда имеем в виду кого-то другого; для нас самих доказываемое всегда представляется чем-то очевидным. Таким образом, логика есть убедительное средство передачи информации от человека к человеку, следовательно, логика есть особая языковая форма. В очень малой степени она апеллирует к зрительному образу и реальному предмету: только символы объектов и только действия над этими символами относятся к предмету логики; реальный мир оказывается вне поля зрения этой науки. Кого не возмущали исключительно формальные выводы логиков-юристов или логиков-ученых, которые эквилибристикой слов доказывали нечто такое, что абсолютно не соответствовало действительности. 

Логика очень ревниво относится к формированию понятий, можно сказать, что она только этим и занята. Она может давать себе высокопарные определения: «наука о доказательствах» или «наука о правильных умозаключениях», но большая часть ее всегда приходилась на долгие и нудные суждения об именах, значениях, определениях и классификациях огромного количества слов, почерпнутых из жизни или различных отраслей знаний, вроде религии, морали и права. Логика со времен Зенона Элейского стремилась включить в качестве частностей арифметические и геометрические объекты, но последние этой близости настойчиво сопротивлялись. По апории Зенона «Ахилл и черепаха» противостояние между математикой и логикой особенно заметно. Еще большие претензии логика распространяла на естествознание. Завладев биологической классификацией и описанием животных и растительных форм, она возомнила, что это и есть настоящая наука. Но конструктивные представления не совместимы с составлением классификаций детерминированных сознанием форм; систематизация знаний — это самая первая форма естествознания, которая больше сковывает, чем способствует его развитию. Классификация предполагает описание по родам и видам, но посмотрите, например, на астрономию, какая здесь может быть подчиненность? Ее нет, по крайней мере, в той форме, в какой подчиненность существует в логике.

Логика не является строгой наукой в том смысле, что ее применение к анализу реальных ситуаций не может быть однозначным. Она призвана классифицировать и ранжировать наши высказывания о реальности, пытается сделать понятным наш язык для окружающих. Логика упорядочивает поток понятий, которые никогда не были — ни в древние времена, ни в нынешние — первичным продуктом мышления, т.е. тем передовым фронтом интеллектуальной деятельности, который осваивает неведомый мир. В понятиях добытые индивидуальным сознанием представления распространяются внутри общества и, как это обычно бывает при кодировании, трансляции и декодировании, исходная образная информация существенно искажается. Желательно спекулятивные рассуждения логического характера заменить строгими математическими вычислениями конструктивного характера. Тем самым ловятся сразу два зайца: новые знания получают обоснование и при этом, как правило, закладывается фундамент для возведения новых конструктивных моделей.