Конструктивная математика

Акимов О.Е.

4. Характерные признаки логического и математического

Точная терминология нужна для однозначного взаимопонимания в среде ученых, однако эта задача должна быть отделена от задачи познания. Во враждебном окружении формалистов конструктивист должен уделять много внимания разработке своего понятийного языка, но в среде единомышленников ему нужно потратить гораздо меньше усилий на решение коммуникативной задачи; за счет этого высвобождаются его интеллектуальные ресурсы на решение задач познания. Таким образом, при обдумывании той или иной теории он может позволить себе перераспределить соотношения между понятиями и представлениями в пользу вторых, что будет способствовать решению познавательных задач.

Опираясь на совокупность основополагающих понятий и определений, логика закладывает прежде всего собственный фундамент. Сформировав из них обойму основополагающих принципов, т.е. создав некий скелет, далее логика начинает детализировать то, что ранее она выбрала, как нечто общее и универсальное. Таким образом, логик сразу отсекает для себя возможность возврата назад. Чтобы изменить созданную ей систему, она должна радикальным образом поменять исходные принципы. Поэтому все формально-логические системы склонны к консерватизму – в этом их основной порок. Математическая модель не имеет пирамидальной архитектуры, там нет «основания» или «начала», любая деталь может быть из нее выдернута и заменена другой.

Правда, логика дает в руки исследователям эффективные фигуры вывода из заранее определенных посылок, придающих некоторому содержанию общезначимую и унифицированную форму. При своем правильном использовании, в отсутствии психологического фактора, логика исключает возникновение противоречий. Поскольку описание объективного мира осуществляется, прежде всего, посредством обыкновенного языка общения, и лишь потом, с помощью формализованных методов, логика как таковая выступает в виде логики высказываний. Именно эта наука исторически возникла первой в виде силлогистики Аристотеля, которая без заметных изменений благополучно просуществовала вплоть до ХХ в. В различные периоды истории науки роль логики менялась. Были периоды, когда в ней видели основное средство познания мира. В связи с этим можно вспомнить схоластиков, Гегеля, а из недавнего прошлого, – позитивистов и марксистов, которые слишком мало обращали внимание на онтологическую картину мира и целиком посвятили себя исследованию исключительно логических и гносеологических проблем. Априорно, только из глубин своего ума они думали черпать новые знания.

В математике все не так, как в любимом детище Аристотеля и схоластов: истина и ложь, абстрактное и конкретное, общее и частное – все эти категории скорее логические, чем математические. Нужно отчетливо понимать, что логическая общность принципиально отличается от математической общности. Логическая общность лишена частностей, т.е. в рамках логики из общего нельзя вывести частное, поскольку всё специфическое теряет общее безвозвратно. Из понятия о животном нельзя логическим путем вывести понятие млекопитающего, из понятия млекопитающего нельзя получить понятие собаки, а определение собаки не проливает свет на внешний вид и повадки шотландской овчарки (колли). Совершенно иной характер общности мы имеем в математике. Уравнение кривой второго порядка за счет свободного параметра содержит в себе уравнения гиперболы, параболы, эллипса; круг является частным случаем эллипса, а прямая есть круг бесконечно большого диаметра. Прямая, круг, эллипс, парабола и гипербола – все линии в рамках аналитической геометрии выводятся из общего для них уравнения. Раз это так, то, по крайней мере, в астрономии – этой образцовой для всего естествознания науке – мы имеем ситуацию больше приближенную к математике, чем к логике, так как небесные тела, движущиеся по гиперболе, параболе, эллипсу, кругу и прямой могут быть представлены одним общим для них уравнением, имеющим различные параметры.

Эта ситуация наблюдается почти во всех областях математической физики: одного уравнения теплопроводности достаточно, чтобы рассчитать тепловые процессы в бесконечном числе частных случаев; достаточно знать уравнения Максвелла, чтобы математическим путем рассчитать сколь угодно сложную электромагнитную машину и т.д. Общему неоткуда больше взяться, кроме как, с одной стороны, из эмпирии, т.е. опыта, с другой, – из теоретических моделей. С помощью моделирования мы выходим за пределы опыта и попадаем в ту трансцендентную область реальности, в которую Кант уже и не надеялся попасть. Поиск всеобщего закона, который предлагается позитивистами, состоит в одном: в исключении из большого исходного набора данных каких-то второстепенных качеств и выделении существенных. Существенность и второстепенность каждый исследователь оценивает субъективно, отсюда возникают бесконечные дискуссии на тему, чей закон является более общим. У конструктивистов тоже возникают дискуссии, но они носят иную окраску. Речь идет не о всеобщности той или иной модели, которую каждый понимает по-своему, а об ее соответствии экспериментальным данным. Таким образом, дискуссии конструктивистов носят объективный и конечный характер, дискуссионные же вопросы позитивистов, как правило, имеют субъективный оттенок и длятся нескончаемо.

Позитивисты (Милль, например) числовую характеристику предметов относят к «наблюдаемым» свойствам предметов, конструктивисты же говорят, что это не так: на три елки или пять грибов можно смотреть вечно, при этом, так и не узнав, что количество елок равно трем, а грибов – пяти. Число идет изнутри человека, когда он однажды решается на конструктивную операцию счета, которая является одной из простейших, типа сравнений больше – меньше, дальше – ближе. Внешне счет и сравнение выглядят аналитическими процедурами, однако по своей природе их следует причислить к синтетическим или модельным.

В первом импульсе к выполнению сравнения или счета содержится главная синтетическая идея, потом идут реализации идеи, уточнение результатов и их проверка. У Кеплера сначала возник образ эллипса, затем началось конструирование конкретной модели орбиты Марса, сопоставление ее параметров с экспериментальными данными. Древние астрономы, зная все об эллипсе, не смогли его увидеть в движении планет, так как указание Платона – представлять все движения светил через круговое вращение – оказалось сильнее опыта. Таким образом, априорный образ эллипса оказался для Кеплера той мощной синтетической идеей, благодаря которой стал возможен дальнейший прогресс всего естествознания.

Аналогичную ситуацию мы имеем с елками и грибами. Желание сосчитать елки возникает вместе с возникновением идеи числа. Когда их немного, кажется, что число, как цвет и запах, идет от объекта, однако, когда мы смотрим на огромный лес, мы понимаем, что идея числа деревьев, т.е. желание сосчитать все деревья, вовсе не исходит от леса, это желание идет от нас, а то, что верно для 1000 единиц, будет справедливо и для трех. Хотя инициатива счета проистекает от человека, само число елок является объективной характеристикой реальности. Числа 3, 5 или 1000, а также эллиптическая орбита Марса, формула всемирного тяготения, модель атома – всё это является «синтетическими истинами», «ноуменами» или «вещами в себе» по терминологии Канта, т.е. скрытой от феноменалистов объективной реальностью.

В математике нет истины и лжи в том смысле, в каком они существуют в логике: там всегда господствует истина; могут возникнуть ошибки, типа 2 + 2 = 5, но это не математическая ложь, а ошибка человека, которая никакого отношения к математике не имеет; математика всегда дает правильное равенство 2 + 2 = 4. В логике выражения 2 + 2 = 5 имеют одинаковую силу с выражениями 2 + 2 = 4, так как в ней ложь (ноль) имеет те же права, что и истина (единица).

Некоторые философы не умеют отделить истину логическую от математической или естественнонаучной, отсюда возникают бесконечные споры об абсолютности и относительности истины. Геометрия, например, имеет дело со сферой, которая определяется как геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром. Если отдельная группа точек оказалась расположенной чуть ближе к центру, значит, сфера по какой-либо причине получила вмятину, но сама геометрия никогда не приводит к «вмятинам». Как только в математике появилась ложь, ищите недобросовестный ум человека, так как все ложное может возникнуть лишь в его голове, но не в математике как таковой.

То же самое нужно сказать об абстрактном и конкретном, которые также появились благодаря человеческому фактору: все числа одинаково абстрактны и одинаково конкретны; прямоугольник не является более абстрактной фигурой, чем квадрат, а круг более конкретным, чем многоугольник. Абстрактное получается в результате отвлечения от второстепенных деталей, а в числе или геометрической фигуре нет второстепенных деталей.

В головах многих философов произошел «оптический обман», когда они число и геометрическую фигуру приняли за объекты сознания, за плод нашего воображения, т.е. за нечто такое, что получилось в результате последовательного абстрагирования, путем отбрасывания второстепенных деталей, и чего нет в природе. Представление о сфере, по их мнению, формировалось примерно так же, как скульптор создает гранитный шар, постепенно отсекая от каменной глыбы неправильной формы все лишнее. Но при таком изготовлении шара его геометрическая идея, говорил Платон, должна была уже существовать в голове у скульптора. Проблема того, как она там оказалась, не является проблемой геометрии, т.е. не важно, каким образом этим естеством завладел субъект, важно другое: сфера есть предельно объективная вещь, она одинакова и для Евклида, и для аборигена Австралии, и даже для жука-скарабея, который тоже умеет вылепливать шарики из навоза.

Точнее даже так: сфере нет никакого дела до математика, аборигена и жука, она существует сама по себе, вне философской дискуссий о субъективности и объективности возникновения идей, и все ошибки в материализации ее идеи лежат вне науки математики. Сфера или число три – это очень простые математические конструкции, которые возникли в доисторические времена. Но возьмите такие представления, как матрица, группа, тензор, граф, возникшие сравнительно недавно, и историю которых можно легко проследить. По своей внутренней природе они ничем принципиальным не отличаются от представлений о числе и сфере. Однако во всех этих случаях – знаем мы историю возникновения представления или нет – математика имеет дело только с уже готовыми идеями.

Говорят, Земля – не шар, и вообще идеального шара в природе нет, а значит, в ней нет места для математики. На это нужно ответить: Земля была бы идеальным шаром, если бы в природе действовал только центрально-симметричный закон притяжения. Но так как наша планета участвует еще и во вращательном движении, возникшем благодаря особым, как говорят математики, «начальным условиям», то возникла «возмущающая» центробежная сила, вытолкнувшая часть массы к экватору; поэтому сейчас Земля представляет собой эллипсоид. Вращение этой геометрической фигуры повлекло к явлению, которое в механике получило название прецессия. Если бы Земля была идеальным шаром, то ее ось не испытывала бы медленного поворота в пространстве с периодом в 26 000 лет, в результате чего точки весеннего и осеннего равноденствия, а также летнего и зимнего солнцестояния движутся по эклиптике навстречу годичному движению Солнца, проходя 50,24" в год. Следовательно, со времен написания Птолемеем своего знаменитого «Альмагеста», т.е. с 150 г., точки сдвинулись почти на 26 градусов, что составило 26 календарных дней. Эта постоянно меняющаяся величина заставляет нас корректировать календари. Таким образом, отход формы Земли от идеального шара привел к многочисленным последствиям, включающим в себя движение полюса мира, изменение координат звезд и прочее.

«Идеальных», «математически точных» законов или объектов не видно потому, что в природе одновременно действуют сразу все, какие только могут существовать в математике, закономерности, за счет этого совместного действия наблюдаются отклонения от одних идеальных закономерностей в пользу других. Шар формирует объективный закон притяжения; в природе он существовал задолго до появления его в качестве идеи в голове человека. Человек мог прийти к идеи шара, конуса, цилиндра, куба независимо от того, видел он их прототипы в природе или нет, однако это вовсе не означает, что их подобия появились в природе благодаря некой умственной деятельности человека. «Я верю, – писал Шарль Эрмит, – что числа и функции анализа не являются произвольным созданием нашего разума. Я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи».

Математические объекты – числа, функции, геометрические формы и пр. – существуют в природе подобно тому, как существуют физические объекты – масса, сила, энергия, электромагнитное поле, атом и пр. Степень идеальности и абстрактности математических объектов просто выше, чем физических, ощущаемые же объекты слишком обременены материей. Но человек не есть то, что он ест, он представляет нечто большее, чем капуста, масло, рыба. Этим мы хотим подчеркнуть, что мозг человека в состоянии вырабатывать больше, чем доставляют ему его ощущения. Животные видят, слышат и осязают почти все то же, что видит, слышит и осязает человек, но человек, в отличие от животного, может еще и «ощущать» математические сущности.

Математика против логики, синтез против анализа, модель против дефиниции, представление против понятия, число против слова – эти противостояния сидят глубоко в сознании человека. Логика с математикой сосуществуют в естествознании, как живут в одном доме кошка с собакой. Появившись одновременно, они постоянно доказывают хозяину-естествоиспытателю свою исключительную преданность. Логика содержит в своем составе абсолютно математические компоненты, которые называются формальной логикой. Эта часть логики не претендует на поиск какой-то истины, лежащей вне ее компетенции, и дает людям вполне полезный аппарат преобразования одних логических высказываний в другие, в том числе, она позволяет упрощать запутанные речевые тексты. Аналогичным образом математика не свободна от логических компонентов. С древних времен она включала в себя доказательные средства, в частности, так называемый аксиоматический подход весь пронизан логическими понятиями.

Есть математики, которые только и занимаются обоснованием науки математики, но есть и логики, которые конструктивными средствами, например, диаграммами Эйлера-Венна и таблицами истинности, разрабатывали прекрасный математический аппарат для своей науки. В виду такого перекрестного эффекта в науке идут нескончаемые споры о назначении математики и логики. Бессчетное число раз говорилось, что логика упорядочивает мысли и речь человека, а математика описывает движение рычагов и зубчатых колес, атомов и небесных тел, – все напрасно; как претендовала логика на владычество над естествознанием, так по сей день она и метит на место царицы наук.

Математики XX века выстроили империю – нечто напоминающее огромную пирамиду, стоящую на «математических основаниях», куда включили обширнейшие разделы абстрактной алгебры и логики, не имеющие, однако, никакого отношения к решению каких бы то ни было прикладных задач. Но математика, как и любая другая наука, не имеет никаких оснований, и лишь самонадеянные формалисты, в силу своего неуемного стремления к обобщениям, пытаются полученные ими ограниченные знания облечь в универсальные формы, пригодные якобы на все случаи жизни. Эти утописты вырыли глубокий ров, отделяющий их предмет от реальных потребностей прикладной науки. Когда современный математик встречается с чем-то, что не подходит к его определению числа, группы, линейного пространства и т.п., он отказывается это исследовать. Придумав для себя удобную систему аксиом, он не хочет выйти за ее пределы, да он, собственно, и не знает, с какого конца подступиться к новому объекту. Таким образом, наш «универсалист» на поверку оказывается узким ремесленником, подготовленным для манипуляции пустыми, искусственно придуманными им же самим символами.

Обычно формалист держится подальше от насущных задач физики, которая без математической подпитки сегодня окончательно зачахла. Так получилось, что сегодня дискретная математика полностью обслуживает информационно-компьютерную область, а когда-то, в начале и середине XX века, теория групп питала кристаллографию, квантовую механику и физику элементарных частиц, т.е. самый передовой фронт естествознания. Но затем дискретная математика в этих сферах быстро выдохлась, поскольку аксиоматический формализм, который она восприняла, заведомо лишен большого творческого потенциала. Ведь логико-алгебраический подход не опирается на представления. И физики, по существу, вслепую манипулировали формулами, которые не были обеспечены конкретными образами, т.е. исследователи не имели перед глазами отчетливой модельной картины реальной действительности.

Сегодня в область физики ринулись мистики всех оттенков, неся с собой эзотерическую символику, взятую из древнеиндийских или древнекитайских текстов типа даосского знака Тай Цзи, иероглифов Ян и Инь, восьми триграмм из «Книги перемен», примеряя их к барионному октету и прочим кварковым моделям элементарных частиц. К счастью, в последние годы Российская академия наук и Министерство образования взялись, наконец, за решительное искоренение мистических и оккультных «наук» из сферы образования и подготовки будущих специалистов.