Конструктивная математика

Акимов О.Е.

5. Недостатки логических высказываний

Сейчас мы продемонстрируем довольно неприятный семантико-лингвистический эффект, который демонстрирует водораздел между формой и содержанием грамматического предложения. С чисто формальной точки зрения, между любыми простыми высказываниями A и B существует 16 различных отношений, что соответствует числу операций в логике Буля или числу возможных таблиц истинности или, наконец, числу диаграмм Эйлера – Венна. Это, вообще говоря, избыточное число операций. В логике высказываний это многообразие логических отношений сводят к пяти: отрицанию, дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквивалентности. Однако, строго с формальной точки зрения, достаточно обойтись двумя (например, отрицанием и дизъюнкцией) или даже одной (например, стрелкой Пирса) базисных операцией, а все остальные операции могут быть выражены через исходные. Существует специальная методика для нахождения той или иной группы базисных операций, изложенная нами в «Дискретной математике».

Джон Стюарт Милль (1806 – 1873) не первый и не последний мыслитель, который задумывался о роли логики для математики (в частности, евклидовой геометрии) и физики. Это очень обширная тема, которую нам здесь сейчас целиком не охватить. Заметим лишь, что Милль использовал свой индуктивный метод так, что вся математика и физика у него вытекала из опыта, подымаясь от частных эмпирических данных к самым широким теоретическим обобщениям. Он является типичным сторонником формально-феноменологического подхода к науке. По Миллю, числа, точки, линии и прочие геометрические элементы, не говоря уже о массе, силе, энергии и других физических величинах, являются прежде всего объектами опыта, затем они получают статус абстрактных конструктов, с помощью которых, однако, он не спешил моделировать. Далее для развития научных знаний он продолжал использовать индуктивную логику, которая у него имела дело не только с формой знания, но и с его содержанием. Выше мы уже говорили, что число является не только и не столько продуктом опыта, сколько актом элементарного моделирования. Милль, как и многие другие исследователи, стремился внести в логику семантическую составляющую, что является ошибкой. Мы не сможем сейчас рассмотреть всю проблематику, связанную с его индуктивной логикой, проанализируем только один, но достаточно важный вопрос. Покажем, что одно и то же содержание можно передать различными логическими формами, следовательно, одной и той же форме отвечает несколько смыслов. Продемонстрируем эту семантическую неоднозначность предложением, которое привел сам Милль в своем монументальном труде «Система логики».

В частности, он взял предложение: «Благородный человек достоин уважения» и стал уверять читателя, что оно относится к логическому сосуществованию двух признаков: A = благородство и B = уважение. Но на самом деле в данном предложении заключен смысл, который может быть передан различными формальными средствами. Например, импликативная форма представления будет выглядеть следующим образом: «Если человек благороден, то он достоин уважения». Здесь мы имеет причинную связь, типа «если A, то B»; аналогичный пример: «если сверкнет молния, то грянет гром». Однако причинная связь, как отмечал и сам Милль, однозначно определяет временную последовательность, т.е. порядок во времени, что близко также к отношению сосуществования: «Когда человек проявил благородство, после этого он достоин уважения»; отметим, что с точки зрения содержания здесь ничего не изменилось. Где есть сосуществование, там очень недалеко до простого существования: «из благородства вытекает существование уважения». Слово «достоин» можно трактовать как одну из форм эквивалентности; тогда уже будем иметь конструкцию сходства: «A эквивалентно B» или «Благородный человек одного достоинства с уважаемым человеком». Это же предложение можно «вытянуть» и на пространственную совместимость (в одном индивидууме) или пространственную упорядоченность двух человеческих качеств: «Где благородство, там и уважение». Таким образом, об упомянутых Миллем пяти видах содержания вряд ли приходится говорить: семантических видов либо вообще не существует, либо их столько, сколько существует грамматических форм для выражения одной и той же семантики.

Предложение о благородстве и уважении демонстрирует высокий градус спекулятивного потенциала, содержащийся вообще в обыденном языке и логике. Неизвестно, что подумалось Миллю во время написания им данного предложения, как перевел его предложение переводчик, о чем подумал читатель, услышав это предложение с чужого голоса, но факт остается фактом: семантика, заложенная в предложении благородный человек достоин уважения, представима через все существующие логические формы: благородный человек одного достоинства с уважаемым человеком (А ~ В); если человек благороден, то он достоин уважения (А > В); если человек достоин уважения, то он благороден (В > А); человек благороден или он достоин уважения (А or В); человек благороден и он достоин уважения (А & В). Если одна и та же смысловая фраза может быть выражена несколькими логическими высказываниями, то при их подстановке в дедуктивную цепочку можно получить и несколько отличающихся друг от друга логических выводов. И наоборот, некое формально строгое высказывание, например, если человек благороден, то он достоин уважения (А > В), вообще говоря, допускает вполне неопределенную смысловую интерпретацию: благородный человек достоин уважения, которая при переводе снова в строгое логическое высказывание может получить форму: если человек достоин уважения, то он благороден (В > А).

Таким образом, содержание и форма не столь тесно сцеплены, как это может показаться с первого взгляда. Одно и то же предложение, в зависимости от желаний и предпочтений субъекта, может сообщить самые различные логические формы. А это в свою очередь означает, что формально-феноменологический подход к науке неотъемлемо содержит внутри себя элементы спекуляции, которые обнаруживаются при внимательном анализе истории науки. Логик, составляя те или иные предложения, зачастую не отдает себе отчета, насколько они произвольны. Он мало задумывается над тем, какое именно высказывание соответствует реальному положению вещей. Гордясь строгостью дедуктивного вывода, он забывает о произвольности посылок. Конструктивный подход моделирования действительности лишен этих спекулятивных моментов; математические модели и алгоритмы интерпретируются, как правило, однозначно.

Милль давал как будто бы семантическую классификацию, но все вылилось у него в форму, что и следовало ожидать, поскольку все логические процедуры формальны. Идеальное соответствие содержания и формы можно достичь в физике на основе математики. Благородство и уважение – это моральные качества, к которым математику не применишь. Следовательно, этика, как философия и другие гуманитарные науки, находясь во власти логики, обречена на бесконечные спекуляции.

В логике идет непрекращающаяся война между номиналистами, которые под понятием вещи мыслят случайный знак, и реалистами, которые понятие отождествляют с вещью. Сознание отдельно взятого логика периодически и непроизвольно дрейфует от позиции номиналиста к позиции реалиста. Можно всю свою жизнь потратить на определения, что такое логика и философия, реалист и номиналист, имя и предложение, отношение и элемент, но в конце концов ни один человек в мире не будет доволен вашими субъективными дефинициями. Роды и виды, общее и единичное, абстрактное и конкретное – всего этого нет в математике. Физик, конечно, тоже может просидеть всю жизнь над созданием модели, над выводом по ней формулы и уйти из жизни, так ничего и не открыв. Но если счастье ему улыбнется – а это все же бывает время от времени, – то выведенную им объективную математическую формулу впишут золотыми буквами в историю науки.

Суждения вроде: «A влечет B, следовательно, чтобы предотвратить B, необходимо не допустить A» ориентировано на исследователя, оно, как и математическое доказательство, есть продукт логики мышления, но мало отражает объективные отношения. Верное средство избавиться от наблюдателя, а значит и субъективности теории, это исключить в рассуждениях причинно-следственные цепи: где появляется субъект, там господствует причинность.

Возьмите любое причинное предложение, например: «Нарастание анархии в обществе приводит к падению авторитета власти», «Безработица снижается с ростом инфляции» и поработайте с ним, как мы с миллевским предложением «Благородный человек достоин уважения», тогда вы увидите всю эфемерность причинных предложений.

Но дело даже не в формальном анализе, а в содержательном: существование класса обездоленных людей находится в причинном отношении к социальным конфликтам, и безработица связана с инфляцией как причина и следствие, только в сознании человека. В действительности, предложения не теряют своего реального содержания, когда ключевые слова упорядочиваешь в обратном порядке:

если человек благороден, то он достоин уважения,
если человек достоин уважения, то он благороден;

если в обществе нарастает анархия,
то это приводит к падению авторитета власти,

если падает авторитет власти,
то это приводит к нарастанию анархии в обществе;

если снижается безработица, то существует инфляция,
если существует инфляция, то снижается безработица.

Каузальное отношение – это априорная схема упорядочения событий в голове субъекта теории: никакого отношения к реальности она не имеет. В концептуальном плане причина и следствие взаимообусловлены, авторы же различных концепций нередко только и занимаются тем, что поправляют друг у друга, заменяя одни причинные высказывания на прямо противоположные.

У психолога Вильяма Джемса наглядно показана условность психофизических реакций, в частности: «У меня текут слезы по щекам не потому, что мне грустно, мне грустно, так как я плачу». У социалиста Роберта Оуэна читаем: «Человек не формирует свой характер, характер формируется социальными условиями, в которых он живет». У экономиста Карла Маркса имеются такие каузальные рассуждения: «Цены стоят на высоком уровне не потому, что в обращении много или мало денег, а наоборот, в обращении находится много или мало денег потому, что цены стоят на высоком или низком уровне»; «не скорость обращения денег зависит от их количества, а количество обращающихся средств зависит от скорости их обращения». У философа Морица Шлика находим следующее высказывание: «Нет никакой разницы между утверждениями: прошлое определяет будущее и будущее определяет прошлое». Любой желающий может инвертировать чужие каузальные высказывания, создавая, таким образом, свой взгляд на мир; вопрос только в том, насколько он будет действительно оригинален.

Скорость, ускорение, масса, сила, импульс, энергия – все это результат сложного процесса моделирования реальности и вычленение из созданных моделей наиважнейших понятий, которые затем образуют различные функциональные зависимости, выраженные уравнениями, например: F = ma. Данное равенство можно трактовать каузальным образом двумя способами: «Если увеличить ускорение (a), то сила (F) возрастет» или «если увеличить силу (F), то ускорение (a) возрастет». Эта двойственность возможна благодаря тому, что все законы физики, с точки зрения логики, выражаются логической эквивалентностью, которая тождественна конъюнкции двух импликаций:

A ~ B = (A > B) & (B > A).

Таким образом, малая эффективность принципа причинности в объяснении реальных процессов вытекает из того, что любая развитая физическая теория представляется в виде совокупности математических уравнений.

Феноменалисты утверждают, что всякое углубление в причинную связь вскрывает функциональную зависимость, где причиной выступает аргумент (A), а следствием – функция (B). Закон детализирует каузальную связь, указывая, например, на прямую пропорциональную зависимость между причиной и следствием A = kB или обратную – A = k/B. В частности, ток (I) растет с ростом напряжения (U), следовательно, имеем пропорциональную зависимость: I = kU, но ток обратно пропорционален сопротивлению: I = k/R. Откуда взялись все эти физические величины – ток, напряжение, сопротивление, – как не из общей модели физического процесса. Они являются элементарными конструктами, модельными узлами и деталями, но они не являются нашими непосредственными ощущениями, как тому учат прямолинейные эмпирики-феноменалисты, вроде Маха, Авенариуса, Петцольда, и они далеки от индуктивной процедуры «отсечения» реальности, которую предложил Милль, т.е. это не просто идеализированные и абстрагированные «тени» явлений физики, отброшенные человеческим разумом на математику. Здесь мы имеем дело с самыми реальными величинами, которые не следует разделять на физические и математические, так как физика и математика в физической теории полностью сливаются.

Выяснение функциональной связи между электропроводностью металла и его температурой предшествовала конструктивная модель механизма электропроводности, которая включала в себя идею о свободных носителях в виде электронов. Более тонкий механизм электропроводности должен включать в себя ионную компоненту, т.е. знание потенциалов ионов, входящих в кристаллическую решетку проводника, и знание структуры решетки. Но до этой атомарной картины электричество мыслилось в виде жидкости; именно из этой модели непрерывной субстанции возникло понятие электрического тока. Модель изменилась, а закон Ома остался прежним. То же самое происходило с законом аберрации света. Астроном Брэдли, который его открыл, пользовался корпускулярной моделью лучей света. Потом выяснилось, что свет имеет волновую природу. Однако математический закон аберрации света после нового модельного представления не изменился. Это обстоятельство дало повод позитивистам заявить: важна не предварительная конструктивная модель, а результирующая формула, которая позволяет вычислить ток, зная сопротивление и напряжение; или угол наклона телескопа в зависимости от скорости перемещения физического тела, на котором он установлен. Однако формула Ома перестает работать, например, на больших частотах, так как проявляется так называемый скин-эффект, при котором ток течет не по всему объему проводника, а лишь по его поверхности. В этом случае знание о взаимодействии электронов с веществом проводника оказывается весьма кстати.

Важно понять, что и элементарная формула Ома была бы не известна, если бы Ом не предложил свою жидкостную модель электричества. Таким образом, функциональная зависимость существенно определяется принятой моделью, куда входят те или иные физические величины. То же самое в электродинамике: Герц и Лоренц заявили, будто квинтэссенция теории Максвелла заключена в его четырех уравнениях, однако они не учитывают, что эти уравнения никогда бы не появились без наглядной модели эфирной среды, предложенной Максвеллом. Его модель мировой среды была очень грубой и далекой от действительного положения дел; в будущем ее, наверняка, заменит новая, более точная. Тем не менее, законы Максвелла, как и закон Ома, вряд ли изменится, поскольку того модельного приближения, который он предложил, оказалось достаточно для вывода правильных законов электродинамики.