Конструктивная математика

Акимов О.Е.

6. Различие между конструктивным и формальным

Фрэнсис Бэкон думал, что он нашел логический путь синтеза, когда произнес слово «индукция». Но по его учению, при постепенном обобщении нужно придерживаться определенных правил, которые к логике имеют мало отношения. При обзоре опытных данных, учит он, надо сначала зарегистрировать сходства, затем полное расхождение и, наконец, частичное совпадение, когда интересующее свойство присутствует в предмете более или менее заметно, но недостаточно полно; после такого анализа можно делать обобщение. Все это напоминает правила перехода улицы для пешехода: сначала посмотрите налево, затем направо и, наконец, убедившись окончательно, что движущегося транспорта на проезжей части нет, переходите улицу. Однако, несмотря на всем известные правила уличного движения, пешеходы гибли, и будут гибнуть под колесами автомобилей. Правила индуктивной логики не помогут в поиске новых истин, хотя их выполнение в какой-то степени дисциплинирует ум.

Милль, чьи идеи мы выше рассматривали, на каузальном принципе построил свою индуктивную логику. Всеобщность и необходимость физических и математических законов, а также причинно-следственные отношения он объяснял многократно повторяющимся единообразным воздействием на человека известных впечатлений. Чередование двух хорошо нам знакомых событий: вспышка молнии (причина) и раскаты грома (следствие), сопровождают историю развития не только человека, но и животный организм вообще. Подобные неразрывные ассоциации наследуются биологическим путем как опыт миллионов поколений. Поэтому, утверждает Милль, человек рождается с предрасположенностью к причинно-следственным механизмам освоения реальности и установление функциональных зависимостей у него становится чуть ли не физиологической потребностью, так что социальные и культурные воздействия только дополняют, обогащают и, быть может, в чем-то изменяют врожденные навыки. Функционально-причинная связь есть частный случай логической или, еще шире, формально-феноменологической закономерности.

Родоначальник позитивизма Огюст Конт был против редукции, сведения физики к математике, химии к физике, биологии к химии, психологии к биологии, социологии к психологии. Он, непонятным для конструктивиста способом, хотел «социологией» подмять биологию, химию, физику и математику. Милль идет тем же путем: он хочет с помощью «высших» или «общих» наук, логикой и психологией (через ощущения), построить «низшие» или «частные» науки, математику и естествознание. До него Шеллинг и Гегель тоже пытались из логического анализа вытянуть естественнонаучные законы. Перечисленные французские, английские и немецкие мыслители, вооружившись одной лишь философией, шли одним формально-логическим путем, который всех их завел в тупик. А всё началось еще с Аристотеля, для которого продолжением грамматики, риторики, диалектики и других языковых наук была логика. Вершиной его логики стала метафизика, отсюда все разговоры о категориях, дефинициях и классификациях. Формалист-феноменалист или позитивист, сочиняя все новые и новые слова, раскладывая их по видам и родам, надеется связать причины и следствия, которые отсутствуют в природе; это – субъективные понятия.

Совершенно по-другому мыслит ум конструктивный, у которого нет никаких философских предрассудков в отношении познаваемости мира. Из предварительных знаний он ценит только математику, так как именно она дает ему в руки мощные моделирующие средства. Через нее воплощается кантовская мечта априорного и синтетического моделирования, которое, однако, непрерывно сравнивается с фактами наблюдения и эксперимента. Ум, порождая число, геометрическую фигуру, уравнение или модель, наиточнейшим образом вычисляет объективную реальность, далее нужно лишь согласовать их с конкретной областью действительности. Если в естествознании действуют люди, назвавшиеся «позитивистами», не жди ничего позитивного: от их деятельности наука быстро приходит в запустение, все новое гибнет, задохнувшись ядовитыми парами схоластических рассуждений. Запутавшись в бесконечных цепочках своих логических спекуляций, эти формалисты-феноменалисты сопротивляются выдвижению любых конструктивных идей. Но если в естествознание приходят конструктивисты, наука развивается нормально: в ее недрах идут здоровые процессы неуклонного роста. Конструктивиста не пугает множественность моделей одного и того же физического процесса, он не стремится к универсализму и обобщениям, его не волнуют утилитарные задачи облагодетельствовать человечество новым рецептом материального процветания.

Как показывает драматическая история человечества, все конфликты и войны возникают обычно из-за формы. Один благоверный христианин убьет другого только за то, что первый крестное знамение совершает тремя перстами, второй – двумя. И хотя всякий христианин прекрасно знает, что на земле существуют иудеи и исламисты, которые тоже, как и он, верят в Бога, он скорее голову положит на плаху, чем согласится поменять свои религиозные обряды на обряды верующих других концессий. Формализм – это власть: любое пренебрежение формой для тех, кто ей однажды присягнул, есть тягчайшее преступление. Конструктивист, то и дело перешагивающий вековые устои выработанного не им ритуала, очень быстро зачисляется в преступники. Ко всему новому формалист относится крайне настороженно, и если оно все же появляется, он постарается влить молодое вино в старые меха. Вся его деятельность обыкновенно направлена на бесконечную перестановку, шлифовку и лакировку старого материала, который зачастую был открыт не одну тысячу лет назад каким-нибудь всеми забытым конструктивистом.

Преимущества конструктивного подхода над формальным иллюстрируется всей историей науки. Но в учебнике наподобие нашего экскурс в историю не может быть слишком долгим, поэтому нам важно с самого начала правильно расставить приоритеты. Одной из приоритетных тем в нашей работе является тема раскрытия достоинства конструктивной эпистемологии перед формальной. Общему и универсальному подходу, который как раз и влечет «имперский» формализм в виде аксиом, лемм и теорем – этих рудиментов античной софистики и средневековой схоластики, – мы противопоставляем частные приемы решения конкретных задач.

Приверженец формы обычно склонен пускаться в скучнейшие и малопродуктивные дискуссии по тем или иным терминам. Он никогда не предложит вам какого-то нового, оригинального и эффективного метода решения алгебраического или дифференциального уравнения; он вообще не хочет заниматься решением конкретных задач. Его цель состоит в строгом «обосновании» уже добытого, но, как он считает, сырого материала. Для него наиважнейшей целью является исключение «противоречий» между различными моделями конструктивного знания, «подведение общего знаменателя», что он называет «основанием» математики или ее «фундаментальными принципами». Он может до бесконечности обсуждать список и содержание своих аксиоматических положений, доказывая преимущество именно своего набора отправных принципов. Между тем, взяв курс на символическое обоснование уже добытого знания, он ставит железобетонные заставы в виде строгих дефиниций и аксиом на дорогах живого творчества. Определения и принципы, выдвинутые на первый план, не только сковывают движение по пути развития теории, они еще, нередко, вносят разлад в старые, «классические» концепции, которые без этих обманчивых подпорок сами бы по себе держались на своих ногах.

Копаясь в ворохе не обеспеченных смыслом знаков, не умея воссоздать отчетливую картину области своих исследований, формалисты объявили войну образам и представлениям, уничтожили множество полезных строительных приспособлений, с помощью которых конструктивисты вели поиск принципиально новых знаний. В символическом переосмыслении добытых знаний непосредственные математические и физические представления часто искажались, погружались в пучину метафизики и даже откровенного богословия. «Вопрос о том, наглядна ли данная модель как представление физической системы или нет, – пишет один из идеологов формально-феноменологического подхода Марио Бунге, – не имеет отношения к семантике той теории, к которой она, в конечном счете, относится. Наглядность – это благоприятная психологическая случайность, а не научная необходимость».

Да, наглядность – свойство психологическое. Однако, чтобы до конца понять содержание физической системы, которую мы моделируем, необходимо стремиться к максимальной наглядности. Ненаглядная, плохо воспринимаемая модель – это все равно, что сказать «плохая модель», так как моделирование только и нужно, чтобы лучше представить физическую систему. Познание мира есть процесс его последовательного осмысления, а не просто его описания, как это часто делают формалисты-феноменалисты. Поэтому психологический аспект здесь не может быть случайным.

В психологическом плане конструктивисты и формалисты-феноменалисты представляют собой противоположные характеры, однако, с точки зрения теории познания, полярное отношение необходимо заменить импликацией, так как интеллектуальный потенциал конструктивиста, как правило, включает в себя ограниченные творческие возможности формалиста-феноменалиста. Это происходит оттого, что у конструктивиста львиная доля интеллектуальных усилий тратится на исследовательскую (эвристическую) фазу. Долгое время он «прокручивает» в голове один и тот же пространственный образ, постоянно разбирая и по-новому собирая его. На создание модели природного явления или цельной картины физического процесса у него могут уйти целые годы. Что касается оформительской фазы, то он не хуже формалиста-феноменалиста сможет справиться с ней, для чего найдет и точные термины, и подходящие условные обозначения. Формалисты-феноменалисты приступают к работе сразу со второй фазы, начиная свою творческую деятельность с выбора подходящих формулировок, терминов и даже красивых символов.

Формалисты – это люди, утверждающие, что для понимания природного явления достаточно установления функциональной связи между какими-либо измеряемыми величинами. Эта связь выражается в символьной форме, при помощи математических знаков; причинно-следственная связь также выражается в символьной форме, в роли которых, однако, выступают непосредственно измеряемые величины. Феноменалисты договариваются, что эта буква будет означать исходное воздействие, эта – отклик. Далее они с помощью буквенной формулы устанавливают отношение типа воздействие – отклик. Характеристику этих людей мы пишем в одно слово: «формалисты-феноменалисты», поскольку всякий формалист одновременно является и феноменалистом. Или лучше сказать так: феноменалист – это формалист в физике, а формалист – это феноменалист в математике. Общей чертой для них является то, что они не доходят до сущности вещей, поэтому они не познают внутреннее содержание объекта, а останавливаются на видимой, внешней стороне рассматриваемого предмета. Феноменалисты отрицают сущность вещей, их материальность; для них существуют лишь психические ощущения; всё остальное ставится ими под сомнение. Изучение предмета они начинают с его словесного или символьного описания, минуя эвристическую или исследовательскую фазу, т.е. они не работают с конкретными вещами или их моделями; они также часто игнорируют геометрические образы.

Многие историки науки думают, что, например древние китайцы, потому не проявляли большого интереса к точным и опытным наукам, что вовремя не соединили их с логикой. Тем самым они выказывают непонимание того, что логика есть не что иное, как только доминирование субъективного над объективным, формы над содержанием, символа над образом, понятия над представлением, анализа над синтезом. Следовательно, логика может лишь сдерживать развитие объективной науки и синтетического знания. Какими бы наивными методами ни пользовались в древних странах Востока при решении арифметических и геометрических задач, это были все же истинные знания, помогавшие человеку в его реальной жизни. Греция же Античного периода осчастливила человечество знаниями совершенного иного род, ценность которых, несмотря на всю их обширность, сложность и своеобразие, вызывает у конструктивно мыслящего человека определенное разочарование, поскольку он прекрасно видит в «Началах» Евклида начало схоластики.

После выхода «Начал» Ньютона все точные науки возрожденной Европы стали испытывать колоссальное давление со стороны формалистов, которые в то время выступали в союзе с богословами. Нечто аналогичное происходило и после выхода «Начал» Евклида и «Физики» Аристотеля. Как в Античное, так и в Новое время, конструктивисты еще длительный период более или менее мирно сосуществовали с формалистами, пока, наконец, последние не взяли всю полноту власти в свои руки. Сегодня в науке хозяйничают формалисты-феноменалисты, сомкнувшиеся со сторонниками религиозно-мистических и оккультно-эзотерических учений. При этом враги конструктивизма усиленно заверяли обывателя, будто только благодаря им наука получила истинное право на существование, будто до них и не было никакой науки, только их формально-логическое обоснование превратило стихию беспорядочных гипотез в строгую систему знаний, а религиозно-мистический опыт позволил достичь таких трансцендентных глубин, которые и не снились рационалистам. В действительности же, под спудом мистических заклинаний, искусственных принципов и строгих определений точная и опытная наука задыхается и гибнет.

Математика древних греков берет свое начало в Египте и Вавилоне, где прекрасно умели решать сложнейшие математические задачи. Но если кто-то думает, что точная наука была развита только в этих двух центрах цивилизации, он сильно заблуждается. Древние китайцы не хуже египтян, шумеров или халдеев умели решать математические задачи прикладного характера. Причем цивилизация долины Нила и цивилизация долины Тигра и Евфрата не были абсолютно автономными: на протяжении примерно трех тысячелетий до Р.Х. происходило взаимное проникновение двух культур. Между тем, цивилизация долины Янцзы на протяжении почти пяти тысяч лет по причине своей удаленности находилась в полной изоляции от двух вышеназванных цивилизаций. Как известно, греки дали миру аксиоматический метод и вообще ввели логику обоснования математических положений. Римляне перенесли эту культуру ума на социальную почву – так возникло Римское право. Аксиоматическая форма представления знаний консервативна и даже догматична в принципе. Она предполагает незыблемость определенной совокупности положений, на которой выстроена статичная концепция. Древнейшая же математика Египта, Вавилона и Китая не претендовала на универсализм и всеобщность методов и носила исключительно прикладной характер. Причем бинарный счет древних египтян удивительным образом совпадал с процедурой, осуществляемой современными компьютерами, которые ничего не доказывают, а просто вычисляют по заданным алгоритмам. Почему египтяне, а также вавилоняне и китайцы пошли по пути конструктивизма, а греки формализма? Какая из стратегий более продуктивна? На эти и другие вопросы мы отвечаем в следующем подразделе.

После распада Империи Александра Македонского и возвышения Римской империи математика Евдокса, Аполлония и Архимеда пришла в упадок. Римляне не дали точной науке ничего. Более того, проникновение логики в сферу естествознания, которое осуществил Аристотель, породило схоластику, затормозившую нормальное развитие науки более чем на полторы тысячи лет. Господство исключительно феноменологического и символического подходов к естествознанию знаменуется бурным расцветом алхимии и астрологии. Возрождение наук в Европе началось благодаря усилиям конструктивистов – Коперника, Кеплера, Декарта, Гюйгенса, Гука, Лейбница Якоба, Иоганна и Даниила Бернулли, упорно боровшихся с формализмом, который насаждался в университетской среде. В ХХ в. стараниями мистиков и формалистов факел конструктивной эпистемологии потух во второй раз. Мы живем в эпоху Нового Средневековья, когда для доказательства физических концепций снова апеллируют к тибетской «Книге мертвых» или к китайской «Книге перемен». Сегодня с университетской кафедры вновь можно услышать, будто между наукой и религией нет никаких противоречий.

Добавление, датируемое июлем 2008 года

Конструктивный подход состоит в том, чтобы полностью очистить наше мышление от всего формального, не иметь никакой предварительной эпистемологии, т.е. инструкции как правильно познавать мир. Человеческий мозг от природы приспособлен решать любые конкретные задачи по разгадке непознанного и не нуждается в инструкциях философов, сколь мудрыми они ни казались. Если задача не разрешима сегодня, значит, время ее решения еще не пришло. Общие, универсальные, философские или просто упреждающие темы конструктивист не должен затрагивать. Как только он начинает философствовать, он тут же превращается в формалиста или, во всяком случае, не конструктивно думающего человека.

Можно, конечно, всё вышесказанное назвать некой «философией» или «конструктивной эпистемологией», но я — только дворник, который убирает повсюду разбросанный интеллектуальный мусор, засоряющий мозги и мешающий нам решать частные задачи. Если я подымаюсь до каких-то общих вопросов, то это только потому, что к этому меня вынуждают сами философы. Кант и Декарт тоже поднимались на вершину схоластики, чтобы потом с этой высоты разоблачать спекуляции средневековых догматиков. Однако оба упомянутых мыслителя думали преимущественно конструктивно.

Конструктивизмом я пользуюсь интуитивно, формализм же отрицаю где-то на физиологическом уровне и не всегда могу рационально обосновать его неприятие. Я также уверен, что люди на генетическом уровне делятся на формалистов и конструктивистов, так что ярко выраженного формалиста, по-моему, невозможно научить конструктивно думать. В данном случае я имею в виду не только себя, но и любого живого, творчески мыслящего человека, занимающегося наукой. Ну, а как быть с искусственным интеллектом? Это несколько меняет ракурс, но не намного. Дело в том, что по границе, отделяющей формальное от конструктивного, как раз проходит граница, отделяющая машину от человека.

Гуманитарии любят поговорить относительно природы творчества вообще; для них, наверное, игра в шахматы и взятие дифференциала от неэлементарной функции — вполне творческий процесс. Но я уверен: всё, что делает машина, так или иначе формализуется, следовательно, такой вид интеллектуальной деятельности настоящим творчеством уже не назовешь. Сегодня машина переиграла в шахматы Гарри Каспарова, 13-го чемпиона мира. Однако это не означает, что она научилась творчески думать, как думает чемпион мира. Нас ведь не удивляет, что машина быстрее, чем человек, считает. Между тем быстрая и эффективная игра в шахматы интеллектуальный (искусственный или естестественный) процесс примерного одного порядка с умением компьютера быстро считать.

Возможно, размышляя над ответом, сколько будет 7 + 8, у первоклассника задействованы те же мозговые центры, что и у Архимеда, когда он впервые вычислял объем шара. Можно надеяться, что и первоклассник, и Архимед участвуют в конструктивном процессе творчества. Сегодняшняя машина в состоянии решить не только 7 + 8 и архимедову задачу, но и более сложные математические действия. Однако, например, задача по нахождению объема сколь угодно сложной геометрической конфигурации целиком относится уже к формальной, а не к творческой задаче, поскольку существует ее алгоритм решения. Конструктивизм начинается там, где никакого формализма еще нет и в помине. Он возникает на самом острие познавательного процесса, когда не существует никакой модели или алгоритма.

Я убежден, что в конструктивном смысле искусственный интеллект создать невозможно, поскольку естественный мозг — динамическая система, способная в режиме online перестраивать нейронную сеть в процессе соприкосновения с чем-то принципиально неведомым. Наш мозг мыслит образами и представлениями, что не укладывается в компьютерные алгоритмы. В «Дискретной математике» я затрагиваю серьезную языковую проблему, связанную с машинным переводом с одного языка на другой. Таким образом, в лингвистике я тоже вижу абсолютно неподдающийся компьютеризации компонент, а не только в задачах пространственно-механического характера.

С общим прогрессом знаний компьютер освоит какие-то задачи, которые сегодня не подаются моделированию и алгоритмизации. Но как бы там ни было, конструктивизм всегда идет впереди формализма, а человек — впереди машины. Наоборот, ситуация будет выглядеть совершенно парадоксально, когда принципиально не формализуемый процесс каким-то образом удастся реализовать в «железе», в машине, т.е. компьютеризировать. Таким образом, искусственного интеллекта с конструктивным образом мысли существовать не может.

Да, человеческий мозг нередко будет уступать машине по быстродействию и объему вычислений. Но естественные мозги всё-таки способны составлять конструктивные модели для любых, сколь угодно сложных задач — пусть медленно, через бездну итерационных шагов, длинную серию приближенных и даже ошибочных моделей, но это возможно принципиально. Работай наши мозги как компьютер, мы бы до сих пор жили в Птолемеевой системе представлений, в которую постоянно бы вносили уточнения, удовлетворяющие самым точным астрономическим наблюдениям.

Заставить машину сделать качественно новый скачок в знаниях, какой сделал Коперник, оттолкнувшись от модели Птолемея, — невозможно. Коперник, Архимед, Максвелл — конструктивисты, которые вносили не формальные, логически обоснованные новшества, а такие новшества, которые совершенно не выводятся из предыдущих знаний. Эйнштейн же, Гильберт и прочие формалисты-универсалисты верили в утопию и всячески стремились формализовать, унифицировать, алгоритмизировать процесс мышления и творчества. Они хотели построить супертеорию, которая бы накрывала все будущие системы заний. Таким образом, они оказались тормозом в процессе познания мира, стали препятствовать поиску принципиально новых знаний.

Добавление, датируемое декабрем 2012 года

Недавно скончавшийся академик Владимир Игоревич Арнольд, весьма почитаемый у нас в стране и мире математик, 29 ноября 2000 года на конференции "Бизнес Россия — Франция. Успехи и перспективы" выступил с докладом "Псевдонаучные и математические эпидемии XX века". Приведем из него небольшой отрывок, затрагивающий тему формализма и конструктивизма, предварительно напомнив, что слова бурбакизированное и бурбакизаторы образованы от имени Николы Бурбаки — общего псевдонима для группы французских математиков, которые в своих книгах и статьях используют излишне абстрактный и формализованный язык.

«Современное формализованное бурбакизированное образование в математике — полная противоположность обучению умению думать и основам науки. Оно опасно для всего человечества. Студент 4-го курса одного из лучших парижских университетов спросил меня на письменном экзамене по дифференциальным уравнениям, будет 4/7 больше или меньше единицы. Это был хороший студент, он решал трудную задачу теории динамических систем. После нескольких страниц сложных рассуждений и вычислений, он правильно свел задачу к исследованию сходимости интеграла, зависящей именно от показателя 4/7 в асимптотической формуле для подынтегральной функции, показателя, который он сумел вычислить. Но вот простым дробям его учил не я, и сравнить 4/7 с единицей он мог только с помощью компьютера.

Стр.42 в газете "Монд" от 25 октября 2000 года написано, что 9308 больше чем 7153 на 93%. Анри Пуанкаре писал около ста лет назад, что есть только два способа обучить дробям: нужно разрезать (хотя бы мысленно) либо круглый пирог, либо яблоко. Но нынешние сверхабстрактные бурбакизаторы преподавания пошли по иному пути (сначала во Франции, а потом и в других странах, включая СССР). Вот школьники и думают, что 1/2 + 1/3 = 2/5.

Министр науки и образования Франции хотел резко сократить преподавание математики в школе, обнаружив младшеклассника, который на вопрос "сколько будет два плюс три?" отвечал : "три плюс два, так как сложение коммутативно" (а что сумма равна пяти сосчитать не мог). Боюсь, что и нам в России угрожает подобная же реформа. Конечно, предыдущие поколения математиков наломали дров при "модернизации" школьного обучения. Но его уничтожение нанесло бы огромный вред как соответствующим странам, так и человечеству в целом.

Подобную же опасность представляет разделение наук на "прикладные" (нужные) и "чистые" (фундаментальные). Уже Пастер отмечал, что никаких специальных прикладных наук нет, не было и не будет: есть лишь науки, обнаруживающие истину, и приложения этих наук, использующие истины, открытые фундаментальными науками. Попытки отделения "прикладных" наук приводили всегда и везде к катастрофическому падению уровня науки (а затем и техники, в том числе и военной)».