Конструктивная математика

Акимов О.Е.

7a. Конструктивное мышление древних

Египтяне удивительно талантливый народ. Демокрит хвастался: «В построении линий с доказательствами я никем не был превзойден, даже египетскими гарпедонаптами». Гарпедонапты – это землемеры, единственным прибором которых была веревка с узлами. Чтобы построить прямой угол, они отмеряли 3, 4 и 5 узлов, что давала прямоугольный треугольник. Но точно такими же веревками пользовались индийские землемеры. Из глубины веков к нам дошла книга о «Правилах веревки» («Сульва-сутра»), куда вошли задачи, которые решались людьми за полторы-две тысячи лет до Р.Х. Древнеиндийские математики с помощью веревки строили прямоугольные треугольники со сторонами: 3 : 4 : 5,  5 : 12 : 13,  8 : 15 : 17,  7 : 24 : 25 и т.д.

В отношении постройки священного жертвенника действовали строгие предписания, в том числе, и в отношении соблюдения точных пропорций между сторонами. На рис. 1а показана разметка трапецеидального основания алтаря, стороны которого ориентировались строго по четырем сторонам света. Установлено, что эта разметка производилась с помощью верки с мерными узлами путем построения прямоугольных треугольников со сторонами, равными 12 : 16 : 20 и 15 : 20 : 25 мерам.

Рис. 1

Индийцы, как и греки, ставили задачу по вычерчиванию круга, площадь которого была бы равна площади заданного квадрата. В «Правилах веревки» приводился соответствующий алгоритм, который на современный язык можно было бы перевести следующим образом: «Из центра квадрата O перпендикулярно к стороне AB провести отрезок OP, равный половине диагонали, и на HP отложить отрезок HK = HP/3. Тогда получишь искомый радиус окружности, который будет равен отрезку OK» [31, с. 116 – 117 ]. Согласно такому построению, изображенному на рис.1б, число π будет равно 3,088.

Далее речь пойдет о кромлехах, при построении которых древние британцы тоже использовалась веревка с мерными узлами. Кромлех – это концентрические ряды столбов-менгиров, соединенных между собой каменными блоками-балками. Самым известным кромлехом является Стоунхендж, расположенный в графстве Уилтшир, вблизи города Солсбери. По прошествию многих тысяч лет его камни смотрятся непривлекательно, но когда-то они имели достаточно торжественный вид, все глыбы были тщательно обработаны. Достаточно сказать, что громадным и тяжелым горизонтальным блокам была придана округлая, изогнутая форма, в точности повторяющая круг, эллипс или яйцевидную фигуру, лежащую в основании конструкции. Крепеж вертикальных блоков с горизонтальными выполнялся так же, как если бы блоки были сделаны из дерева, т.е. в верхних горизонтальных блоках вырезались пазы, которые надевались на шипы, выточенные на вертикальных столбах.

Общее число кромлехов, найденных на территории Англии, Уэльса и Шотландии, равно приблизительно тысяче. Начало строительства самого известного и загадочного кромлеха – Стоунхенджа – относится к 2800 г. до Р.Х. Затем он многократно перестраивался, так что последнее новшество в его конструкции отнесено к 1600 г. до Р.Х. Второй по значимости кромлех – Вудхендж – строился и реконструировался на протяжении 2300 – 2000 гг. до Р.Х. Самые древние Хенджи так называемого первого класса начали сооружаться с 3500 г. до Р.Х.

Большой знаток древних сооружений, Джон Вуд в этой связи рассказывает об удивительно продвинутой мегалитической геометрии древних британцев:

«Независимо от периода постройки большинство каменных колец имело форму правильного круга. Примерное соотношение разных типов фигур следующее: 2/3 составляют правильные круги, 1/6 – приплюснутые круги, 1/9 – эллипсы и 1/18 – яйцевидные фигуры. Наиболее ранние кольца были правильными кругами, как и следовало ожидать, поскольку такие круги легче всего размечать. Некоторые приплюснутые круги могли быть построены в позднем неолите, но другие новшества – эллипсы и яйцеобразные фигуры – относятся к раннему бронзовому веку, причем большинство появилось после 2000 г. до Р.Х. С развитием более сложных фигур происходило общее уменьшение размеров каменных колец, и доля больших колец в раннем бронзовом веке заметно меньше, чем в позднем неолите» [67, с. 75 ].

Чтобы вычертить круг, больших знаний не нужно. Вкопай в землю столб, накинь на него веревочную петлю, к другому концу веревки привяжи острый кол и, натянув туго веревку, прочерти на земле круг. Видимо, таким способом вычерчивалась геометрическая основа Стоунхенджа, который образован системой концентрических колец из камней и лунок. Для вычерчивания эллипса требовалось вкопать два столба, на которые набрасывались петельные концы веревки; длина веревки определялась прямоугольным треугольником A0F₁, лежащим внутри эллипса (рис. 2а). Так, треугольник с отношением сторон 3 : 4 : 5 является основой одного из эллипсов в Калленише, два эллипса Стентон-Дрю основаны на треугольнике с отношением сторон 5 : 12 : 13, эллипс Давиота близ Инвернеса основан на треугольнике 12 : 35 : 37 и т.д.

Рис. 2

Сложную геометрию имели приплюснутые круги (рис. 2б). Половина окружности строилась из центра O радиусом r₀, две дуги радиуса r₁ проводились из точек A и B, равноудаленных от центра O; наконец, часть дуги радиуса r₂ проводилась из точки C. Существовали приплюснутые круги, выполненные и по другой геометрии. Яйцевидные фигуры были двух видов. На рис. 2в показана яйцевидная фигура, в основе которой лежат два треугольника с отношением сторон 3 : 4 : 5; замкнутая кривая вычерчивается тремя радиусами из соответствующих центров. На рис. 2г изображена другая яйцевидная фигура, в основе которой лежат два треугольника, имеющих общую гипотенузу; при этом замкнутая кривая вычерчивается двумя радиусами, а недостающие куски образованы двумя прямыми.

Более детальные планы Стоунхенджа, Вудхенджа, яйцеобразного кольца Борроустон-Рига, могильника Нью-Грейнджа, схемы огромных полей Ле-Менека и Пти-Менека, заставленных плотными рядами камней, а также привязка сооружений к географической местности и к важнейшим астрономическим направлениям можно найти на нижеследующей вставке.

Вставка из 20 иллюстраций.

В основании Вудхенджа лежит шесть колец яйцеобразной формы первого рода, т.е. вычерченных с помощью трех радиусов (рис. 2в). Треугольники A0B и B0C имеют отношение сторон: 12 : 35 : 37; это отношение лежит в основе эллипса Давиота. Самый большой радиус (r₁), начиная от внутреннего кольца, принимал значения 18.61, 21.24, 23.90, 26.54, 31.82 и 34.46 м. Таким образом, при переходе от одного кольца к другому длина веревки увеличивалась на одну и ту же величину – 2.64 м. Исключение составляет переход от четвертого кольца к пятому, когда это значение удвоилось. Периметры колец соответственно равны 32.9, 51.2, 66.7, 87.0, 115.4 и 134.4 м. Если периметр третьего кольца принять за единицу, то все шесть периметров образуют весьма любопытную последовательность: ½, ¾, 1, 1¼, 1¾, 2.

Следовательно, наиболее важной характеристикой для яйцеобразных колец была длина периметра. При тщательном анализе всевозможных числовых соотношений ученые установили так называемый мегалитический ярд, т.е. повсеместно принятую единицу измерения, которая действовала почти на всей обширной территории Древней Британии в течение, по крайней мере, двух тысяч лет – факт сам по себе поразительный. Величина стандарта равнялась 0.829 м. Отсюда длины шести колец Вудхенджа, выраженные в мегалитических ярдах, составляла ряд чисел 40, 60, 80, 100, 140 и 160. Большая ось всех концентрических колец яйцевидной формы сориентирована на точку восхода Солнца в день летнего солнцестояния. На этой оси в вершине прямоугольного треугольника была найдена могила ребенка (очевидно, жертва религиозного ритуала). Количество столбов, вкопанных по периметру шести колец, определяется числами 12, 18, 18, 16, 32 и 60. Столбы исчезли, от них остались только лунки. Величина лунок от 16 столбов четвертого кольца примерно в два раза больше, чем от всех остальных столбов. Какой во всем этом скрыт смысл, пока неясно.

Еще больше загадок скрывает Стоунхендж, хотя многое уже и здесь стало понятным. Общий план Стоунхенджа показан на рис. 3.

Рис. 3

1 — Алтарный камень,
2 — Подкова из пяти трилитов,	Важнейшие направления:
3 — Сарсеновое кольцо,
4 — Кольцо голубых камней,	ES — Восход Солнца в день летнего солнцестояния,
5 — Кольцо лунок Обри,	EM — Восход "высокой" Луны,
6 — Аллея, являющаяся входом в Стоунхендж,	WS — Заход Солнца в день зимнего солнцестояния,
7 — Пяточный камень.	WM — Заход "высокой" Луны.

Граница этого кромлеха очерчена валом, насыпанным по окружности, с диаметром 98 м; первоначальная высота вала равнялась примерно 2 м. Внутри этой границы шло кольцо из так называемых лунок Обри; 56 лунок, имеющих глубину 3/4 м и поперечный диаметр 1 м, расположены равномерно по окружности с диаметром в 87,8 м. Ошибка в расположении центров лунок вдоль окружности составляет менее 0,5 %. Затем по кольцу с диаметром в 40 м располагались голубые камни (такой оттенок они приобретали во время дождя); количество камней равнялось 30. 

Спустя 1800 лет после создания системы лунок Обри было построено Сарсеновое кольцо диаметром 31 м. Оно образовано также 30 камнями (сейчас осталось 17); шесть горизонтальных перекладин до сих пор находятся наверху на своих местах. Центр Сарсенового кольца немного не совпадает с центром кольца лунок Обри (разница составляет примерно 0,5 м). Десять самых огромных сарсенов, установленных парами внутри кольца, образуют подкову, обнимающую Алтарный камень, установленный в самом центре кромлеха. Каждая пара камней сверху накрывалась горизонтальным блоком, таким образом, получался Трилит (сегодня стоят три из пяти трилитов). 

Самые большие камни подковы имеют высоту 5 м и вес 50 т. Разрыв подковы обращен к Аллее, которая считается вратами Стоунхенджа. Ось подковы, Алтарный камень и середина Аллеи совпадает с направлением, указывающим на восход Солнца в день летнего солнцестояния. На Аллее на расстоянии 30 м от вала лежит Пяточный камень. Наиболее интересными камнями являются четыре камня, обозначенные на общем плане Стоунхенджа как 91 — 94. Они установлены на окружности лунок Обри в вершинах прямоугольника, который указывает на важнейшие направления захода и восхода Солнца и «высокой» Луны.Не вызывает никаких сомнений, что Стоунхендж представляет собой древнейшую астрономическую обсерваторию.

Как свидетельствуют многочисленные памятники истории цивилизаций, древний человек всегда принимал движение Солнца, Луны, планет и звезд за причину смены зимы, весны, осени и лета. Если внимательно отслеживать перемещение этих небесных объектов, то, верил он, будешь знать время наступления дождей, засухи, ветров, похолоданий, что, в принципе, является не такой уж и неправдой. Возможно, помимо астрономического наблюдательного средства кромлех выполнял какие-то другие общественные и религиозные функции. Однако нас он будет интересовать только с точки зрения наблюдательной астрономии, как календарь и одновременно своеобразный планетарий. Мы ограничимся рассмотрением назначения одних лишь лунок Обри — предшественниц пирамиды Хеопса. Чтобы понять их назначение, необходимо усвоить хотя бы самые минимальные астрономические сведения.

В частности, читатель должен знать, что период обращения Луны составляет 27,3 суток; плоскость ее орбиты не совпадает с плоскостью небесного экватора, а к плоскости земной орбиты она наклонена под углом i = 5°, который нисколько не изменился с времен постройки кромлеха. Поэтому Луна пересекает плоскость эклиптики дважды в месяц. Точки пересечения называются узлами ее орбиты и обозначаются как N₁ и N₂, причем узел N₁ называется восходящим, N₂ — нисходящим. Плоскость лунной орбиты вращается, и узлы совершают полный оборот в течение 18,6 лет. Наклон эклиптики (ε), т.е. угол между небесным экватором и плоскостью орбиты Земли, несколько изменяется. На момент строительства лунок Обри он составлял ε = 24° (сейчас ε = 23,5°) При максимальном лунном склонении углы i и ε складываются, что дает величину 29°. Это положение Луны называется высоким; при низкой Луне углы i и ε вычитаются, что дает величину 19°. В результате наблюдатель в течение 18,6-летнего периода может видеть следующую картину. В период высокой Луны, который длится примерно 3 года, наблюдатель каждый месяц видит ее либо слишком высоко (+ i + ε), либо слишком низко (– i – ε) над горизонтом. Затем, через 9 лет, амплитуда ежемесячных ее колебаний постепенно уменьшается, и во время низкой Луны колебания совершаются между двумя крайними значениями: (– i + ε) и (+ i – ε). Все это не мог не заметить неолитический человек, который в бессонную лунную ночь только и делал, что смотрел на Луну.

Другое небесное событие, которое могло поразить его воображение, это лунные затмения, всегда происходящие в полнолуние. Они наступают тогда, когда Луна находится в узлах N₁ или N₂, т.е. два раза в год с интервалом в 6 месяцев. Поскольку узлы совершают 18,6-летний цикл, время наступления затмения из года в год меняется, но через указанный период времени фазы Луны, а значит, и затмения, повторяются в те же самые дни, хотя есть рассогласование в часах. Три 18,6-летних цикла дают один 56-летний цикл, число лет в котором совпадает с числом лунок Обри.

Ученые предположили, что кольцо с лунками было снабжено четырьмя маркировочными камушками, которые условно назывались Солнцем (S), Луной (M), Восходящим узлом (N₁) и Нисходящим узлом (N₂). Чтобы отслеживать лунные затмения, необходимо было маркировочные камушки бросать в соответствующие лунки. При затмении камни S и M должны находиться друг против друга; пусть это будут лунки 10 и 38 (счет лунок начинается от середины Аллеи по часовой стрелке), тогда камни N₁ и N₂, должны находиться в лунках 18 и 46, соответственно. Далее, камень S каждые 13 дней перебрасывался на две лунки против часовой стрелки, совершая полный цикл в течение одного года (точнее, за 364 дня). Камень M каждый день перебрасывался через лунку против часовой стрелки, так что он совершал полный цикл за 28 дней. Камни N₁ и N₂ всегда должны находиться друг против друга на одном диаметре и перемещаться на одну лунку каждые четыре месяца, они совершали полный цикл за 18,6 лет.

Лунки Обри позволяли достаточно точно предсказать дни летнего и зимнего солнцестояния, дни равноденствия, а также дни лунных затмений на протяжении многих лет. Этот прибор не мог работать слишком точно, в частности, затмения нельзя было предсказать с точностью до часа, минуты и секунды, как это делается сегодня, но ночь затмения по нему определить можно. Его достоинством является простота настройки: каждое очередное знаменательное событие на небе позволяло скорректировать прибор для последующего предсказания. Многовековые наблюдения позволяли приобрести необходимый в этом деле опыт. Например, если в день летнего солнцестояния служитель кромлеха занимал положение возле Алтарного камня, то он мог увидеть восход Солнца как раз над Пяточным камнем. Предположим он видел во время зимнего солнцестояния над Пяточным камнем восход полной Луны. Это говорило ему, что она находится в середине 18,6-летнего цикла точно между высокой и низкой Луной. Тогда он ждал лунного затмения в дни зимнего и летнего солнцестояния. Такие события как-то им отмечались и передавались потомкам.

Отчего Стоунхендж просуществовал такое колоссальное количество лет и не был никем разрушен? Вероятно, его не разрушили потому, что он всегда был страшно интересен людям. Представьте себе, тысяча людей в округе узнают от служителей Стоунхенджа, что завтра ночью случится затмение Луны. На следующую ночь никто в этой округе не ложится спать и, в конце концов, все убеждались, что предсказание сбылось. Как эти люди будут относиться к служителям кромлеха? Понятно, как к богам. Почему тогда при столь сложной системе астрономических наблюдений не возникла письменность? Да потому что информация – это власть. Зачем нужна письменность, когда задача стояла прямо противоположная: скрыть информацию, не дать никому что-либо узнать? Наверное, многие служители кромлеха поплатились жизнью за укрытие своих научных тайн.

Как в Египте или Греции (вспомним тайное общество пифагорейцев), в Древней Британии, возможно, существовала закрытая каста жрецов, надежно скрывающая секреты расположения маркировочных камней. Многие, быть может, и видели эти невзрачные камушки, но разве могло кому-нибудь прийти в голову, что с их помощью можно предсказать расположение дневного и ночного светила. Возможно, ситуация была иной: все хорошо знали о назначении маркировочных камней и других ухищрениях, и Стоунхендж представлял собой бурлящий научный центр, где кипели споры, как лучше произвести маркировку лунок, какой проект принять для возведения очередного кромлеха, какими геометрическими свойствами обладают приплюснутые круги и т.д. В любом случае наука в таком обществе занимала исключительно важное место.

Постройка Стоунхенджа и его эксплуатация говорят о развитом конструктивном мышлении неолитической культуры, при которой люди еще ходили в шкурах зверей и не знали колеса. Однако по наукоемкости, британские кромлехи ничуть не уступают современному компьютеру, телевизору или автомобилю. Подобно тому, как сейчас Интернетом и Мерседесом  пользуются нынешние высокопоставленные служителей религиозного культа, Стоунхендж, наверняка, эксплуатировался во благо тогдашней жреческой касты. Таким образом, кромлехи, не менее загадочные пирамиды, разбросанные по всем частям света, и сменившие их более развитые архитектурные формы, которые можно наблюдать в церквах, мечетях и других культовых сооружениях, всегда были свидетелями блестящего достижения инженерно-конструкторской мысли. В то же самое время и вне всяких сомнений, они служили и еще долго будут служить центрами распространения самых иррациональных и консервативных знаний, глубоких человеческих заблуждений и вредных предрассудках, о которых, однако, рассказывается уже в других разделах нашего веб-сайта.

Многие вопросы неолитической культуры древних британцев остались вне нашего повествования. Мы ничего не рассказывали о странных рядах камней типа Ле-Менека и Пти-Менека, расположенных вблизи Карнака. Общие планы этих рядов камней вместе с картами Великобритании мы дали на вставке к этой странице. Там же на вы найдете план могильника Нью-Грейнджа, архитектура которого представляет собой удивительное соединение культовых традиций и астрономических знаний древних британцев. Невозможно удержаться, чтобы не сказать несколько слов об этом могильнике.

Он расположен в 50 км на северо-запад от Дублина. Время его постройки относится к 3300 г. до Р.Х. Могильник представляет собой насыпь округлой формы размерами 80 м в поперечнике и 10 м высотой. Внутри насыпи имеется коридор, длиной в 20 м, заканчивающийся небольшой комнатой, где когда-то находилось захороненное тело. На каменных стенах комнаты непосредственно около захоронения были нанесены узоры спирального и ромбического вида. Вход в коридор был долгое время завален землей, но когда-то, сразу после постройки, могильник представлял собой величественное зрелище. К входу вела 30-метровая каменная дорожка, аккуратно обложенная с обеих сторон стенами, сложенными из горного хрусталя (кварца). В утренних лучах солнца хрусталь блестел и переливался всеми цветами радуги. При входе на дорожку была установлена огромная каменная глыба, украшенная тонкой резьбой, которая до сих пор считается вершиной неолитического искусства. Коридор и все сооружение было построено так, чтобы точно в день зимнего солнцестояния, лучи восходящего солнца, пройдя внутренние помещения, падали на стену усыпальницы и освещали захороненное тело. Более подробно об этом могильнике и других сооружениях можно прочесть в вышеуказанной книге Дж. Вуда, которая дает достаточно полное представление о ярко выраженных конструктивных наклонностях древних британцев.