Конструктивная математика

Акимов О.Е.

7. Математика дробей и пропорций

Первое, к чему пришли древние египтяне, были рациональные дроби; наиболее распространенными среди них были: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 2/3, 3/4, 4/5. Дробными величинами измерялись длины, площади, объемы, веса, периоды времени, музыкальные интервалы и пр. Дошедший до нас папирус Ринда, датируемый примерно 2000 г. до Р.Х., начинается с так называемой канонической таблицы представления дробей вида 2/n суммой дробей вида 1/k (табл. 1). В ней указаны нечетные знаменатели дроби вида 2/n, изменяющиеся от 3 до 101, и два, три или четыре знаменателя дроби вида 1/k. Приведем примеры разложения дробей 2/n на сумму дробей 1/k:

2/3 = 1/2 + 1/6,     2/5 = 1/3 + 1/15,     2/7 = 1/4 + 1/28, ...,
2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104,     2/15 = 1/10 + 1/30, ...,
2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606.

Таблица 1

n	k	n	k	n	k
3	2,6	37	24,111,296	71	40,568,710
5	3,15	39	26,78	73	60,219,292,365
7	4,28	41	24,246,328	75	50,150
9	6,18	43	42,86,129,301	77	44,308
11	6,66	45	30,90	79	60,237,316,790
13	8,52,104	47	30,141,4779	81	54,162
15	10,30	49	28,196	83	60,332,415,498
17	12,51,68	51	34,102	85	51,255
19	12,76 114	53	30,318,795	87	58,174
21	14,42	55	30,330	89	60,356,534,890
23	12,276	57	38,114	91	70,130
25	15,75	59	36,236,531	93	62,186
27	18,54	61	40,244.488,610	95	60,380,570
29	24,58 174,282	63	42,126	97	56,679,776
31	20,124,155	65	39,195	99	66,198
33	22,66	67	40,335,536	101	101,202,303,606
35	30,42	69	46,138

Далее в папирусе Ринда приводятся условия и решения свыше 80 различных задач; при решении некоторых из них египтяне использовали данные разложения. Однако почему из бесчисленного множества разложений дроби 2/n на сумму дробей вида 1/k приведены именно эти, сказать трудно. Например, легко доказать, что любая дробь 2/n разлагается на две компоненты вида 1/k:

.

В частности, первые три разложения удовлетворяют этой формуле. Но зачем понадобилось менять эту процедуру для других 46 значений n (исключение составляет еще дробь с n = 23), непонятно.

Больше того, каноническое разложение, которым египтяне пользовались на протяжении многих веков, вдруг в какое-то время подвергалось изменениям. Например, существует глиняная табличка, относящаяся примерно к раннему периоду Нового царства (1500 год до Р.Х.), в которой уже вместо двучленного разложения дроби 2/7 использовалось трехчленное: 2/7 = 1/6 + 1/14 + 1/21. Все это трудно объяснить, хотя недостатка в гипотезах мы сегодня не испытываем. Арабский математик Абуль-Вефа (940 – 998) в «Книге о том, что нужно знать писцам, дельцам и прочим о науке арифметике» приводит таблицы разложения дробей вида n/60 на сумму двух, трех и более дробных слагаемых, в основе которых лежал канонический алгоритм:

,      ,

,      .

В соответствии с этими формулами, например, дробь 48/60 представлялась не в виде элементарной дроби 4/5, а в виде суммы трех дробей:

.

Для следующей дроби, 49/60, давалось такое разложение:

.

Причем алгоритм разложения дроби n/60 довольно часто отклонялся от канонического. Такая странная процедура над дробями перекликается с формой разложения дробей 2/n, существовавшая в Древнем Египте.

Если указанные действия с дробно-рациональными числами, которые производили египтяне и арабы, остаются загадкой для современных историков науки, то операции, которые совершали математики Древней Греции, с подобными числами никакой тайны не составляют, и даже, напротив, через них открывается понимание огромного пласта научной культуры эллинов, отразившегося и на развитии научных предпочтений возрождающейся Европы.

Сегодня нам трудно сказать, откуда первый древнегреческий философ, ученый и видный политический деятель Фалес Милетский (625 – 547 гг. до Р.Х.) узнал о пропорциональности сторон подобных треугольников: открылась ли эта истина ему самому или ее передали ему египетские жрецы во время его торговых и дипломатических миссий в страну древних пирамид. Главное, что он умел находить какую-либо неизвестную величину по трем известным на основе пропорции a/b = c/d. Так, измерив длину тени, отбрасываемой предметами, Фалес с помощью этой пропорции нашел высоту египетской пирамиды. Измерение расстояния до корабля, находящегося далеко в море, им производилось тоже на основе этой пропорции. Выбрав на берегу моря базис a и вымерив с крайних его точек углы до корабля, он затем вычерчивал подобный треугольник небольших размеров и измерял у него две стороны, скажем, c и d. После этого ничего не стоило найти неизвестное расстояние до корабля — сторону b. Задачи такого класса и более сложные умели прекрасно решать в Египте (это стало известно из найденных папирусов).

Как бы там ни было, но, судя по дошедшим из глубины веков отзывам античных историков и философов, эллинов просто очаровала эта нехитрая методика, из которой они извлекли все самое ценное, что только может дать элементарная формула. Вслед за Фалесом Пифагор (580 – 500 гг. до Р.Х.) со своими единомышленниками, создав закрытое научное общество, установил взаимно однозначное соответствие между высотой тона и длинной струны. Пифагорейцы создали акустическую теорию гармонических интервалов, где получили известные музыкальные отношения: октава (1/2), квинта (2/3), кварта (3/4) и т.д. Пифагор настолько поверил в мощь математической науки, что провозгласил в качестве принципа своей отчасти рациональной, отчасти мистической философии очень верную сентенцию: мир управляется числом. Принимать ли единицу, двоицу, триаду, тетраду или декаду (10 = 1 + 2 + 3 + 4) за божественные сущности, зависит от степени восхищения тех, кто с ними имеет дело. Пифагор и его последователи первыми из эллинов столкнулись с числовой гармонией, поэтому вполне естественно для первооткрывателей, что они были очарованы своим открытием. В любом случае, что бы ни говорили нынешние философы, та или иная мера влюбленности в красоту чисел есть вполне понятное чувство для всякого математика.

Обнаружение несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, т.е. отчетливое понимание того, что невозможно выразить отношение 1 : √2 рациональной дробью, нанесло смертельный удар числовому идеализму пифагорейцев. В самом деле, пусть, рассуждали они, имеет место пропорция: 1 : √2 = a : b. Тогда b² = 2a². Отсюда видно, что число b² — четно. Четный квадрат может дать только четное основание, значит, b — четно. Предположим, что b = 2c. Из исходной пропорции и четности числа b вытекает нечетность числа a. Но подставим последнее равенство в предыдущее: 4c² = 2a² или a² = 2c², т.е. a — четно. Возникло противоречие: целое число a одновременно оказывается и четным и нечетным. Таким образом, диагональ квадрата не может находиться с катетом в рациональном, т.е. ранее доступном для понимания отношении двух чисел a : b.

Открытие иррациональных чисел типа √2, сущность которых не укладывалась в головах античных математиков, посеяло скептицизм, а именно, неверие в теоретическое или формально-логическое обоснование. Природа этого скептицизма была примерно такой же, какой она была по отношению к известной апории Зенона «Ахиллес и черепаха». Согласно формально-логическому рассуждению, получалось, что знаменитый олимпийский бегун никогда бы не смог догнать и обогнать черепаху, что, однако, легко опровергалось практикой. Данная апория сильно мешала осмыслить понятие механической скорости, которое к тому времени еще не было отчетливо выработано. Однако логический скептицизм зажег зеленый свет для конструктивных методов проб и ошибок, носивших исключительно практический характер. Ведь числа типа легко получались путем геометрических построений, следовательно, они реально существуют. Тут же явилась мысль, что диаметр (d) и длина окружности (c), подобно катету и гипотенузе, находятся в иррациональном отношении ( d : c = 1 : π). В течение нескольких культурных эпох конструктивисты стремились инструментальными методами, т.е. с помощью циркуля и линейки, построить квадратуру круга. Они надеялись, что число π окажется квадратным корнем какого-нибудь неизвестного числа, например 10 (отношением 22 : 7 пользовался Архимед как приближением числа π). В конце концов, они убедились, что этого сделать нельзя и что число π не просто иррационально, оно еще и трансцендентно, другими словами, π находится за пределами не только теоретической, но и практической действительности.

После Фалеса и Пифагора Демокрит (470 – 370 гг. до Р.Х.) проникся верой во всесилие математики и, в частности, в дробно-рациональные отношения. Его научно-философские сочинения до нас не дошли, однако хорошо известно, что он находил объемы пирамид и конусов как треть объема призмы и цилиндра, построенных на основании пирамиды и цилиндра, т.е. по формуле V = Sh/3. Эту универсальную формулу он проверял опытным путем для огромного количества прямых и наклонных тел с различной формой основания следующим образом. С помощью крохотных кирпичиков-атомов (atomoz — неделимый) он строил сначала пирамиду или конус, а затем из тех же самых атомов и на том же основании складывал призму или цилиндр, при этом всякий раз высота последней конструкции достигала лишь одной трети от первой. Пропорция между объемами различных тел действительно выглядела магической, так как всякий раз приводила к неизменному отношению:

V_{пирамида} : V_призма = V_конус : V_{цилиндр} = 1 : 3

Здесь было от чего прийти в религиозный экстаз, в который впадали пифагорейцы.

Евдокс Книдский (410 – 356 гг. до Р.Х.) был одним из крупнейших математиков античной эпохи. Известно, что его результаты математических исследований составили содержание по крайней мере пятой, шестой, второй части одиннадцатой и двенадцатой книг «Начал» Евклида. Именно ему, говорят историки, принадлежит отчетливая постановка и попытка разрешения задачи о квадратуре круга. Он нашел следующие важнейшие пропорции: площади двух кругов относятся как квадраты диаметров; объемы двух треугольных пирамид с равными высотами относятся как площади оснований; объемы двух равновысоких конусов или цилиндров относятся как кубы диаметров. Эти положения Евдокс доказывал с помощью знаменитого метода исчерпывания, который впоследствии использовал Архимед (287 – 212 гг. до Р.Х.) для нахождения площадей и объемов криволинейных фигур и тел. Метод исчерпывания служил Архимеду окончательным доказательством количественных соотношений, которые он сначала находил эмпирическим путем, взвешивая на весах или погружал в воду тела соответствующей формы. Так, он предварительно узнал о пропорции 2 : 3, которая существовала между объемами шара и описанного вокруг него цилиндра, выразив объем шара следующей формулой: V = (4/3)πR³.

В связи с последней пропорцией Плутарх написал: «И хотя у него было много прекрасных открытий, он, говорят, просил своих родственников и друзей начертать на его могиле только цилиндр и заключенный в нем шар, указав при чертеже соотношение между объемами этих тел».

Кроме того, Архимед нашел, что площадь поверхности шара относится к площади его большого круга как отношение 4 : 1. Он также определил, что площадь параболического сегмента относится к площади треугольника, имеющего то же основание и высоту, как 4 : 3 (заметим попутно, операция приведения площадей различных фигур к одному и тому же основанию у греков называлась параболой — παραβολη).

При предварительном нахождении последнего отношения он использовал эмпирический метод рычага, которым он как бы взвешивал фигуры на весах. По поводу этого своего механического приема он написал своему другу знаменитому географу Эратосфену следующее: «... Я счел нужным написать тебе и в этой же самой книге изложить некоторый особый метод, при помощи которого ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем. Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством; однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство, гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная. Поэтому и относительно тех теорем о конусе и пирамиде, для которых Евдокс первый нашел доказательство, а именно, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, а пирамида — третью часть призмы с тем же самым основанием и равной высотой, немалую долю заслуги я уделяю и Демокриту, который первый высказал это положение относительно упомянутых фигур, хотя и без доказательства. И нам довелось найти публикуемые теперь теоремы тем же самым методом, как и предыдущие; поэтому я и решил написать об этом методе и обнародовать его, с одной стороны, для того, чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминания о нем, а с другой, поскольку я убежден, что он может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову. Первым мы опишем то, что первым и было нами обнаружено при помощи механики, а именно, что всякий сегмент параболы составляет четыре трети треугольника с тем же основанием и равной высотой, а затем и каждую из теорем, полученных нами при помощи этого метода... » [10, c. 299].

Конструктивный метод Архимеда, позволивший ему открыть многие математические отношения, существующие в материальном мире, затем лег в основания научного естествознания. Его влияние сказалось, например, на гидромеханике. Еще Демокрит утверждал, что все тела имеют тяжесть; разностью весовых характеристик можно и нужно пытаться объяснить движение тел в природе. В частности, говорил Демокрит, поскольку огонь имеет самый малый вес, он выталкивается всеми другими телами, включая воздух; поэтому пламя всегда поднимается вверх, подобно пузырькам воздуха в воде. Такой взгляд на вещи сильно отличается от формально-феноменалистской физики Аристотеля, который за огнем, воздухом, водой и землей закрепил постоянные места во вселенной, лишив тем самым физику дальнейшей перспективы научного развития. Согласно аристотелевскому учению, чем дальше от своих «естественных мест» находятся тела, тем сильнее на них действует возвращающая сила. Если камень поднять высоко в небо, а огонь зажечь на земле, то эти тела немедленно устремляются к своим «местам» по особым «геодезическим» линиям, т.е. наикротчайшим путем. Аналогичная крайне немеханическая картина мира была восстановлена в ХХ веке через понятие кривизны пространства и времени.

Архимед принял атомарную модель Демокрита и продвинул ее далеко вперед с помощью своих строгих механико-геометрических построений. Так, в своей работе «О плавающих телах», в которой жидкость моделировалась атомами, он предположил, что на одном и том же уровне менее сдавленные атомы выталкиваются более сдавленными. По причине этого эффекта, писал он, «поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли» [10, 328]. Далее у него шло математическое обоснование этого вывода. Посредством аналогичных модельных представлений он приходит к представлениям, которые затем легли в основания нормальной физики. В частности, к известному архимедову закону, гласящему: «Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующий погруженной части тела, имел вес, равный весу всего тела».