Конструктивная математика

Акимов О.Е.

30. Спин-орбитальное взаимодействие

Имеется еще один важный случай, когда нужно расширять матрицу гамильтониана, точнее, удваивать ее размерность, что влечет за собой изменение набора базисных функций и введение новых матричных элементов. Дело в том, что для более тяжелых полупроводников таких, как α-Sn, InSb, CdTe, необходимо учитывать спин-орбитальное взаимодействие, рассматриваемое как возмущение гамильтониана орбитально-орбитального взаимодействия, с которым мы до сих пор имели дело. Спин-орбитальное взаимодействие образует спинорную составляющую в гамильтониане, которая моделируется на матрицах Паули. Уравнение Шредингера для этого случая выглядит следующим образом:

,

или, расписав матрицы Паули и векторное произведение, будем иметь:

,

где — невозмущенная и — возмущенная часть гамильтониана (остальные компоненты возмущенной части получаются обычной циклической заменой координат).

Если речь идет об учете спин-орбитального взаимодействия, когда гамильтониан составлен из матричных элементов потенциала 

< k + K' | V | k + K >, 

то для полупроводников IV группы в секулярном уравнении появится спин-орбитальный член с параметром λ :

det{[ћ²(K + k)²/2m – E]δ_KK' δ_SS' +

+ S(K – K' )[v(K – K' )δ_SS' – iλ(K × K' ) σ_SS' ]} = 0;

здесь по-прежнему S(K – K' ) — структурный фактор и v(K – K' ) — форм-фактор, а σ_SS'  — матрицы Паули. В частности, слагаемое с параметром λ расписывается как

(K – K' )σ_SS'  = (K – K' )_x + (K – K' )_y + (K × K')_z .

Для полупроводников со структурой цинковой обманки матричный элемент с параметром λ разбивается на симметричную и антисимметричную части:

S_s(K – K' )[v_s(K – K' )δ_SS' – iλ_s(K × K' )σ_SS' + 

+ S_a(K – K' )[v_a(K – K' )δ_SS' – iλ_a(K × K' )σ_SS' .

Если гамильтониан составлен из матричных элементов импульса

p_i = < u_n | p | u_m >, 

то трансформационная матрица T(3 × 3) превращается в матрицу T(8 × 8).

T(3 × 3) = ,

.

Эта матрица связывает два базиса по строкам и столбцам: 

{s, p_x, p_y, p^z, s', p'_x, p'_y, p'_z} и 

{s(1/2), p(1/2, 1/2), p(3/2, 1/2), p(3/2, 3/2), 

s(–1/2), p(1/2, –1/2), p(3/2, –1/2), p(3/2, –3/2)}.

Спин-орбитальная недиагональная матрица H_so : 

записанная во втором базисе, приобретает диагональный вид с элементами в диагонали 

{0, Δ/3, Δ/3, –2Δ/3, 0, Δ/3, Δ/3, –2Δ/3}, 

где Δ — энергия спин-орбитального расщепления (определяется экспериментально). Матрица гамильтониана, учитывающая спин-орбитальное возмущение, имеет удвоенную размерность за счет учета электронов с противоположным спином:

,

где H₀ — невозмущенная часть гамильтониана.

Произведем конкретный числовой расчет энергетических уровней серого олова. Нет смысла для этих целей выбирать гамильтониан Г(27 × 27), так как максимальное спин-орбитальное взаимодействие проявляется для орбитали Г '₂₅ ЗВ и нижнего уровня орбитали Г₁₅ ЗП, которые в этом случае изменят симметрию под воздействием спиновой группы вращения D_1/2 :

Г '₂₅ × D_1/2 = Г₇₊ + Г₈₊,     Г₁₅ × D_1/2 = Г_6– + Г_8–.

Спин-орбитальное расщепление для верхнего уровня Г '_25u от узла Г_{200} составляет не более 4% от расщепления Г '₂₅ от узла Г_{111}. Поэтому есть смысл вести расчет по узлу Г_{111}. Итак, воспользуемся гамильтонианом Г(15 × 15) и произведем пересчет элементов матрицы H_so между состояниями Г₁₅ и Г₁₅.

.

Для примера, выпишем вторую строку матрицы Т(8 × 8), соответствующую второй базисной функции:

p(1/2, 1/2) = .

Теперь, воспользовавшись матрицей H_so, произведем следующую подстановку в выписанную базисную функцию:

=

= = .

Аналогичным образом проверяем все остальные строки. Между состояниями Г '₂₅ и Г₁₅ существует энергетический зазор величиной Δ₁. Для α-Sn эти энергии равны: Δ = 0.0516 Ry, Δ₁ = 0.0776 Ry. Значение матричных элементов импульса серого олова приведены в табл. 32, а зонная структура, рассчитанная по двум симметричным направлениям с помощью гамильтониана Г(30 × 30), приведена на рис. 48. Точная зонная структура германия, показанная на рис. 47 сплошными линиями, тоже рассчитывалась с учетом спин-орбитального возмущения, что можно видеть по небольшому расщеплению уровней в области потолка ЗВ, однако обозначения энергетических уровней там были взяты без учета этого едва заметного возмущения.

.

Рис. 48