Приложение IV. Уравнения Максвелла-Герца

Дж. Дж. Томсон

ФАРАДЕЕВЫ СИЛОВЫЕ ТРУБКИ И УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Глава I
Электрическое смещение и фарадеевы силовые трубки

Перевод начала первой главы из книги J. J. Thomson’a. Recent Researches on Electricity and Magnetism. Oxford. 1893. — Новейшие исследовая в области электричества и магнетизма.

1. Влияние, которое оказывали всегда обозначения и идеи теории электрической жидкости, со времени их введения, на науку об электричестве и магнетизме, представляет поразительную иллюстрацию благодетельного влияния, оказанного этой науке конкретным представлением символов, которые в математической теории электричества определяют состояние электрического поля. Действительно, услуги, которые старая теория жидкости оказала электричеству, доставив язык, которым научные факты могут быть выражены ясно и кратко, едва ли могут быть переоценены. Описательная теория этого рода не только служит средством для ясного изложения хорошо известных результатов, но часто оказывает важные услуги, указывая на возможность существования новых явлений.

Описательная гипотеза смещения в диэлектрике, которою Максвелл иллюстрировал свою математическую теорию, признается, по-видимому, многими читателями не столь простой, не столь легкой для понимания, как старая теория жидкости. Действительно, это, кажется, было одной из главных причин, почему его взгляды не встретили сначала общего признания, которое они получили впоследствии. Так как многие студенты находят концепцию "смещения" затруднительной, то я решаюсь дать другой способ представления процессов, встречающихся в электрическом поле, который я часто находил полезным и который с математической точки зрения равносилен теории Максвелла.

2. Этот способ основывается на концепции, введенной Фарадеем, о трубках электрической силы или, скорее, электростатической индукции. Как известно, Фарадей пользовался этими трубками, как способом выражения явлений электрического поля. Так, их стремлением к сокращению и боковому отталкиванию, которое подобные трубки оказывают друг на друга, он объяснял механические силы между электрическими телами, между тем, как влияние среды на эти трубки указывалось, по его мнению, существованием специфической индуктивной проницаемости диэлектриков. Хота выражения, которыми Фарадей пользовался, говоря о силовых линиях, оставляют впечатление, что он обыкновенно рассматривал их как цепи поляризованных частиц в диэлектрике, но, по-видимому, имеются указания, что он при случае рассматривал их с другой точки зрения, т. е. как нечто, существующее независимо от молекул диэлектрика, хотя бы последние были поляризованы трубками при прохождении через диэлектрик. Так, например, в параграфе 1616 его "Экспериментальных исследований" он, по-видимому, рассматривает эти трубки, как простирающиеся через пустоту. Мы примем этот последний взгляд на трубки электростатической индукции, мы будем считать, что они пребывают в эфире, при чем поляризация частиц, сопровождающая их прохождение через диэлектрик, — вторичное явление. Радикраткости мы будем называть такие трубки фарадеевыми трубками.

В дополнение к трубкам, простирающимся от положительного к отрицательному электричеству, предположим, что в эфире имеется множество трубок такого рода, которые лишь образуют отдельные замкнутые кривые вместо того, чтобы иметь свободные концы. Мы будем называть такие трубки замкнутыми трубками. Различие между обоими видами трубок подобно различию между вихревой нитью с концами на свободной поверхности жидкости и нитью, образующей замкнутое вихревое кольцо внутри ее. Эти замкнутые трубки, по предположению, присутствующие в эфире независимо от того, существуют ли электрические силы или нет, сообщают Эфиру волокнистую структуру (*).

(*) Замкнутые трубки в настоящее время использованы J. J. Thomson'oм для объяснения теории квантов. (Прим. ред.).

В своей теории электрических и магнитных явлений Фарадей пользовался наравне с трубками электростатической индукции также и трубками магнитной индукции. Однако, если держаться концепции трубок электростатической индукции, то мы найдем, что явления магнитного поля можно объяснить, как зависящие от движения электрических трубок.

3. Как это объяснено в параграфе 82 "Электричества и магнетизма", Максвелла, эти трубки начинаются от мест, заряженных положительным электричеством, и заканчиваются в местах, заряженных отрицательным электричеством, при чем количество положительного электричества в начале трубки равно количеству отрицательного электричества на конце трубки. Если допустить, что все трубки одинаковой силы, то количество свободного положительного электричества какой-либо поверхности пропорционально числу трубок, покидающих поверхность.

В математической теории электричества нет указаний на то, что есть предел, до которого поле электрической силы может быть подразделяемо на трубки постоянно уменьшающейся силы. Но дело обстоит иначе, если считать эти силовые трубки не только формой математического выражения, но и реальными физическими количествами, имеющими определенные размеры и формы (*).

(*) Эта мысль была высказана Томсоном еще в ту пору, когда не был установлен заряд электрона и, следовательно, атомистическая структура электричества во всей ее полноте. Однако, и теперь мы не можем установить, сколько трубок связано с элементарным зарядом. Во всяком случае, это должно быть какое-то определенное число. (Прим. ред.)

Принимая этот взгляд, мы естественно считаем эти трубки совершенно одинаковой силы. Мы увидим основания для допущения, что эта сила такова, что, когда трубки заканчиваются на проводнике, то на конце трубки имеется заряд отрицательного электричества, равный тому, который мы в теории электролиза ассоциируем с атомом одновалентного элемента в роде хлора.

Эта сила единичных трубок допускается потому, что явления электролиза показывают, что действительно имеется естественная единица, и что не существует дробных частей этой единицы, по крайней мере, в электричестве, прошедшем через электролит. Мы будем допускать в этой главе, что во всех электрических процессах, а не только в электролизе не существует дробных частей этой единицы.

Фарадеевы трубки либо образуют замкнутые цепи, либо начинаются и оканчиваются на атомах, а все незамкнутые трубки простираются в эфире вдоль прямых или кривых линий от одного атома к другому. Когда длина связывающей два атома трубки сравнима с расстоянием между атомами в молекуле, то атомы считаются в химическом соединении. Когда же трубка, связывающая атомы, гораздо длиннее этого расстояния, атомы считаются "химически свободными".

Свойство фарадеевых трубок образовывать всегда замкнутые цепи, т. е. иметь окончания на атомах, может быть иллюстрировано подобным же свойством трубок, образуемых вихревым движением в жидкости, лишенной трения. Эти трубки или образуют замкнутые цепи, или имеют свои окончания на границе жидкости, в которой имеет место вихревое движение.

Можно предположить, что фарадеевы трубки простираются через пространство, а не только ограничены местами, где имеет место конечной величины электродвижущая сила, так что отсутствие этого напряжения зависит не от отсутствия фарадеевых трубок, но от недостатка правильного расположения наличных трубок. Так что электродвижущая сила в данном месте представляет меру не всего числа трубок в этом месте, но лишь избытка числа их в неправдении электродвижущей силы над числом обращенных в противоположную сторону.

4. В этой главе мы постараемся показать, что различные явления электромагнитного поля могут быть объяснены как зависящие от движения фарадеевых трубок или от изменений в их положении или форме. Таким образом, с нашей точки зрения, этот взгляд на электрические явления может считаться образующим род молекулярной теории электричества, при чем фарадеевы трубки занимают место молекул в кинетической теории газов. Цель этого метода объяснить явления электрического поля, как зависящие от движения этих трубок, точно так, как цель кинетической теории газов объяснить свойства газа, как зависящие от движения молекул. Точно также эти трубки похожи на молекулы газа и в другом смысле, когда мы рассматриваем их как неспособные к разрушению или возникновению.

5. Прежде всего можно спросить, почему мы считаем нашими, так сказать, молекулами трубки электростатической индукции, а не трубки магнитной индукции? Ответ на этот вопрос тот, что очевидность, представляемая явлениями, которые сопровождают прохождение электричества через жидкости и газы, показывает, что молекулярное строение имеет чрезвычайно тесную связь с трубками электростатической индукции, гораздо более тесную, чем мы имеем основание допускать для трубок магнитной индукции. Выбор трубок электростатической индукции в качестве наших молекул является поэтому единственным, который дает нам наибольшую возможность объяснить те электрические явления, в которых играют роль материя так же, как эфир.

6. Рассмотрим с этой точки зрения происхождение энергии в электростатическом и электромагнитном полях. Мы предполагаем, что в связи с фарадеевыми трубками находится распределение скорости эфира как в самих трубках, так и в пространстве, окружающем их. Таким образом, мы можем иметь вращение в эфире внутри и вокруг трубок даже тогда, когда сами трубки ие имеют поступательной скорости, при чем кинетическая энергия, зависящая от этого движения, составляет потенциальную энергию электростатического поля. Когда же сами трубки находятся в движении, то мы прибавляем к нему другое распределение скорости, энергия которого составляет энергию магнитного поля.

Энергия, о которой мы говорили, находится в эфире, но, когда трубка падает на атом, то она может видоизменить внутреннее движение атома и, таким образом, воздействовать на его энергию. Итак, в придачу к кинетической энергии эфира, происходщей от электрического поля, в атомах может также находиться некоторая энергия, возникающая от той же причины и зависящая от изменения внутреннего движения в атомах, вызванного присутствием фарадеевых трубок.

Если изменение энергии атома, вызванное присутствием фарадеевой трубки, различно для атомов разных веществ, если оно не одинаково, например, для атома водорода и для атома хлора, то энергия известного числа молекул хлористоводородной кислоты будет зависеть от того, начинаются ли фарадеевы трубки от водорода к оканчиваются на хлоре или наоборот.

Если, таким образом, энергия в молекулах зависит от расположения трубок в молекуле, то будет иметь место стремление, чтобы все трубки начинались на водороде и заканчивались на хлоре или наоборот, сообразно тому, первое или второе из этих расположений делает различие между кинетической и потенциальной энергией максимальным. Другими словами, на языке обыковенной теории электричества, все атомы водорода обнаружат стремление зарядиться электричеством одного знака, а все атомы хлора заряжаются равным количеством электричества противоположного знака.

Результат различного действия на энергию атома, вызванного присутствием фарадеевой трубки, будет тот же, как если бы атомы разных веществ притягивали электричество с разной степенью напряжения. Как показано Гельмгольцем, этого достаточно для объяснения электричества, вызываемого соприкосновением и трением. Таким образом, как мы увидим в главе II, это объясняет некоторые из действий, наблюдаемых при прохождении электричества от газа к металлу или наоборот.

7. Фарадеевы трубки при достижении проводника суживаются до молекулярных размеров. Мы рассмотрим процессы, которыми это достигается, в конце этой главы, а пока приступим к обсуждению действий, вызываемых этими трубками при движении через диэлектрик.

8. Чтобы иметь возможность определить состояние электрического поля в каком-либо месте диэлектрика, мы введем величину, которую мы назовем поляризацией диэлектрика и которая, будучи математически тожественной с Максвелловым смешением, однако, физически имеет иное объяснение.

Поляризация определяется следующим образом. Пусть А и В — две соседние точки в диэлектрике Проведем между этими двумя точками плоскость и выделим на ней площадку, равную единице, которая перпендикулярна к линии, соединяющей их. Тогда поляризация в направлении АВ представляет излишек числа фарадеевых трубок, проходящих через единицу площади со стороны А в сторону В, над проходящими через ту же плоскость от В к А.

В диэлектрике, отличном от воздуха, вообразим единицу площади, расположенной в узкой щели, вырезанной в диэлектрике, так что стороны щели перпендикулярны к АВ. Очевидно, поляризация представляет величину вектора и может быть разложена на составляющие тем же способом, как сила или скорость. Обозначим составляющие, параллельные осям x, y, z буквами f, g, h. Последние математически тожественны с величинами, которые Максвелл обозначает теми же буквами, но их физическая интерпретация иная.

9. Исследуем теперь степень изменения составляющих поляризации в диэлектрике. Так как фарадеевы трубки в такой среде не могут ни возникать ни разрушаться, то изменение числа трубок, проходящих через некоторую неподвижную площадь, должно зависеть от движения или деформации трубок. Предположим, во-первых, что трубки в одном месте движутся все с одинаковой скоростью.

Пусть u, v, w — составляющие скоростей этих трубок в известной точке. Тогда изменение f, числа трубок, проходящих в точке x, y, z через единицу площади перпендикулярно к оси x будет зависеть от трех причин. Первая из них — движение трубок из другцх частей поля к рассматриваемой площади; вторая — распространение или концентрация трубок, зависящие от их относительного движения; а третья — изменение направления трубок, зависящее от той же причины.

Т.е. оттого, что не все части одной и той же трубки движутся с одинаковой скоростью, поэтому по отношению к данной площадке трубка будет нагибаться, и слагающая f вектора f, g, h будет от этого изменяться (Прим. ред.).

Далее, все математические выкладки Томсона опускаются; приводятся лишь заключительные части п. 13 и п.14, где дается вывод закона Ампера, и также полностью п. 15. — О.А..

13. ...
Таким образом, когда система фарадеевых трубок находится в движении, то электродвижущая сила перпендикулярна к равнодействующей магнитной индукции и к средней скорости трубок и равна по величине произведению этих двух количеств на синус угла между ними.

Из предыдущих уравнений мы видим, что здесь возможна равнодействующая магнитная сила, зависящая от движения положительных трубок в одном направлении и отрицательных в противоположном без всякого равнодействующего количества движения или электродвижущей силы; ибо, если здесь столько же положительных, как отрицательных трубок проходит через каждую единицу площади, так что нет равнодействующей поляризации, то и не будет, на основании уравнений (9), равнодействующего количества движения, ибо, если число трубок, движущихся в одном направлении, таково же, как число движущихся в противоположном, то уравнения (10) показывают, что здесь не будет равнодействующей электродвижущей силы, зависящей от движения трубок.

Итак, мы видим, что, когда магнитное поле постоянно, то движение фарадеевых трубок в поле будет своего рода сдвигами положительных и отрицательных трубок: положительные трубки движутся в одном направлении, а отрицательные в том же количестве в противоположном. Когда же поле не постоянно, это не имеет места, и тогда развиваются электродвижущие силы, зависящие от индукции.

14. ...
Когда мы рассматриваем, как в данном выше выражении силу, действующую на проводник, несущий ток, как зависящую от сообщення проводнику количества движения фарадеевых трубок, входящих в проводник, то происхождение силы между двумя токами будет очень похоже на силу притяжения между двумя телами по теории тяготения Лесажа. Так, например, если мы имеем два параллельных тока А и В, идущих в одном и том же направлении, то, когда А находится слева от В, большее число трубок войдут в А слева, чем справа, потому что некоторые из тех, которые вошли бы справа в отсутствии В, будут поглощены В, так что в единицу времени количество движении, имеющее направление слева направо, входящее в А, превзойдет количество движения, имеющее противоположное направление, так что А стремится двигаться вправо, т. е, к В, а В по той же причине будет двигаться к А.

15. Таким образом, мы видели, что гипотеза фарадеевых трубок в движении объясняет свойства электромагнитного поля и ведет к обычным уравнениям его. Эта гипотеза имеет преимущество, показывая весьма ясно, почему поляризационные токи и токи проводимости вызывают подобные механические и магнитные действия. Ибо механические действия и магнитные силы в некоторой точке поля зависят от движения фарадеевых трубок в этой точке, и всякое изменение поляризации предполагает движение этих трубок точно так, как при обычном токе проводимости.

Приложение IV. Уравнения Максвелла-Герца

З. Цейтлин

ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ДВИЖЕНИЯ

Вывод уравнений Максвелла–Герца

Для понимания нижеизложенного необходимо знание основ теории вихрей. Рекомендуем для этой цели превосходную книгу А. А. Эйхенвальда: Теоретическая физика, Часть I, Теория поля. Более подробное изложение в III томе Теоретической механики П. Аппеля. Практические иллюстрации в Основах воздухоплавания Н. Е. Жуковского.

— 1 —

История развития учения об электромагнетизме и свете приводит к бесспорному убеждению, что сущностью электромагнитных процессов является вихревое движение. Недавние исследования Дж. Дж. Томсона, Кастернна и Уайттекера о квантовом электромагнитном кольце, уже не оставляют места для какого бы то ни было сомнения на этот счет. Большой знаток теорий электромагнетизма Уайттекер подчеркивает в своей последней работе, что электоомагнитное квантовое кольцо, по-видимому, является вихревым образованием.

Задача настоящей статьи показать весьма простым способом, что уравнения Максвепла–Герца действительно вытекают из основного уравнения вихревой теории — уравнения Стокса–Гельмгольца:

где — скорость данной точки среды [здесь мы имеем в виду вихревую слагающую скорости (скорость без потенциала скоростей), невихревую слагающую мы в дальнейшем обозначаем через V_t (с)]; — соответствующая угловая скорость; величина ω называется вихрем, при чем коэффициент 4π вводится для приведения в соответствие формул механического движения с принятыми в электродинамике обозначениями.

Чтобы понять сущность нашего вывода уравнений электромагнитного движения, необходимо прежде всего принять во внимание следующее. Теория Максвелла-Герца является теорией средних значений — Mittelwertheorie, как говорят немцы.

В самом деле, величины Е и Н электрического и магнитных нолей имеют в теории Максвелла-Герца смысл плотностей, т. е. выражают число силовых линий на единицу площади в данной точке. Величины

будут плотностями энергии в данной точке среды.

Этот характер теории Максвелла-Герца обусловлен тем, что теория эта является теорией сплошной среды, теорией поля, а во всякой такой теории мы оперируем не с прерывными величинами, относящимися к изолированным физическим индивидуумам (отдельными материальными частицами, атомами, электронами, массами планет и т. д.), а с величинами непрерывными. (*) Физико-математическое же исследование таких величин возможно лишь в форме средних значений.

(*) Во избежание недоразумений заметим здесь, что эта непрерывность в конечном итоге исследования оказывается синтезированной с прерывностью. Вихревые трубки в эфире одновременно непрерывны (по отношению к среде) и прерывны (между собою). Вот почему Томсон имеет возможность начинать исследование с прерывных фарадеевых трубок, чтобы в конечном итоге придти к уравнениям непрерывности Максвелла. Вот почему нет никакого противоречия между нашим утверждением и утверждением Томсона: "С нашей точки зрения этот взгляд на электрические явления может считаться образуюишм род молекулярной теории электричества, при чем фарядеевы трубки занимают место молекул В кинетической теории газов".

Для наглядного уяснения этого пункта возьмем уравнение движения изолированного тела и сплошной среды:

аналогично для Y и Z.

Первое уравнение изображает движение массы М под действием силы X(Y,Z), т. е. сила X(Y,Z) отнесена ко всей массе М.

Второе уравнение — основное уравнение гидродинамики; в нем сила X отнесена к единице массы, и, стало быть, ρX означает силу, действующую на единицу объема; этот же смысл имеет величина ; — это изменение (градиент) давления p, т. е. силы, отнесенной к единице площади. Вот почему в теории сплошных сред скорость "в данной точке" v и вихрь w имеют смысл "плотностей", и плотность энергии в данной точке определяется формулами:

Здесь плотность энергии выражается тремя способами:

а) через скорость v,
б) через плотность вихрей w, при чем введен неопределенный коэффициент k, зависящий от формы вихревого движения,
в) через угловую скорость ω, связанную с w равенством

"Статистический" характер теории Максвелла-Герца дает возможность при выводе уравнений электромагнитного движения не делать никаких предварительных предположений о деталях механизма этого движения, за исключением одного лишь того, а именно, что эфир и заряды движутся подобно несжимаемой жидкости. Это предположение лежит в основе главных теорий электромагнетизма.

— 2 —

Данная статья Цейтлина состоит из шести параграфов, из которых первый, вводный, целиком приведен только что; остальные параграфы предназначены, скорее, для узких специалистов, поэтому здесь не цитируются. С окончанием этой страницы мы захлопываем книгу Дж. Дж. Томсона, посвященную вихревым моделям, которые подробно прокомментировал З. Цейтлин. — О.А.

---

Материал сверстал и разместил в Сети Олег Акимов 13 декабря 2014 года