Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

1.1. Операции логики Буля

Диаграммы Эйлера — Венна

Пусть дана некоторая совокупность предметов, которую после пересчета можно было бы обозначить как

V = {1, 2, ..., 11}.

Предположим далее, что часть предметов, 1, 2, 4 и 6, имеет круглую форму, а часть — 2, 3, 4, 8 и 9 — окрашена в белый цвет. В этом случае говорят, что множество V имеет два подмножества

A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}

круглых и белых предметов. Можно исходное множество называть фундаментальным, а подмножества A и B – просто множествами.

В результате получим четыре класса элементов:

C₀ = {5, 7, 10, 11} — элементы не обладают ни одним из названных свойств,

C₁ = {1, 6} — элементы обладают только свойством A (быть круглыми),

C₂ = {3, 8, 9} — элементы обладают только свойством B (быть белыми),

C₃ = {2, 4} — элементы обладают одновременно двумя свойствами A и B.

На рис. 1.1. указанные классы изображены с помощью диаграммы Эйлера — Венна.

Рис. 1.1

Часто диаграммы не имеют всей полноты общности, например та, что изображена на рис. 1.2. На ней уже множество A полностью включено в B. Для такого случая используется специальный символ включения (⊂):

A ⊂ B = {1, 2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 6}.

Если одновременно выполняются два условия: A ⊂ B и B ⊂ A , то A = B, в этом случае говорят, что множества A и B полностью эквивалентны.

Рис. 1.2

После того, как определены четыре класса элементов и даны необходимые сведения о диаграммах Эйлера — Венна, введем операции на множествах. В качестве первой рассмотрим операцию объединения.