Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.2. Группы на матрицах и подстановках

Размерность представления и диаграммы Юнга

Однако не все так просто, как может показаться на первый взгляд. Каждое неприводимое представление E_α определяется своим векторным базисом (иначе говоря, своим субстанционным множеством), а каждый класс эквивалентности C_i определяется специфической периодичностью подстановок, входящих в класс (т.е. своим операционным множеством). Прямой связи между субстанционным и операционным множествами не просматривается. Тем не менее, используя так называемые диаграммы Юнга (иногда их называют диаграммами Ферре), можно однозначно установить размерность базиса линейного преобразования E_α на основе периодичности подстановок C_i. На примере группы диэдра D₃ покажем, как это делается.

Предварительно заметим, что изложенная ниже методика применима только для симметрических групп S_n, порядок которых определяется формулой – n! и которая состоит из всевозможных перестановок из n индексов (рассматриваемая нами группа как раз такова: D₃ = S₃). Далее, подобную методику можно использовать для полной группы симметрии тетраэдра T_d , которая состоит не только из поворотов этой геометрической фигуры ( T ), но и отражений ее в плоскостях симметрии (T_d = S₄), а также группы вращений икосаэдра (Y = S₅). Однако для несимметрических групп, например , поиск всех неприводимых представлений E_α является уже нестандартной задачей, требующей значительных творческих усилий.

Итак, введем понятие диаграммы Юнга. Для группы первого порядка C₁ = S₁ диаграмма Юнга представляется единственной пустой клеткой, которая обозначается символом [1]. Для C₂ = S₂ имеем две диаграммы Юнга: симметричную [2] и антисимметричную [11], которые соответствуют двум способам разбиения числа 2. Для S₃ к полностью симметричной [3] и антисимметричной [111] добавляется диаграмма со смешанной симметрией [21]. Перечисленные диаграммы Юнга изображены на рис. 2.7.

Рис. 2.7

Размерность представления, т.е. то, что нас сейчас больше всего интересует, зависит от числа возможных способов образования конкретной диаграммы Юнга. На рис. 2.8 показано, как получить двухмерное представление, отвечающее диаграмме [21] для S₃, из двух диаграмм ([11] и [2]) для S₂. С этой целью производят различную нумерацию клеток, при которой индексы могут только возрастать слева направо в каждой строке и сверху вниз в каждом столбце. Так, учитывая способы образования диаграмм Юнга для S₄ из диаграмм для S₃, определяем, что для S₄ будет существовать два одномерных ([4], [1111]), два трехмерных ([31], [211]) и одно двухмерное представления ([22]). Различные способы заполнения диаграмм обозначены в угловых скобках.

Рис. 2.8

Размерность представления можно найти через так называемую угловую длину, которая определяется для каждой клетки диаграммы Юнга. Угловая длина ( l_i ) равна числу клеток, расположенных справа и ниже i-ой клетки, плюс единица (т.е. учитывается сама i-ая клетка, для которой ищется угловая длина). Размерность диаграммы (D[Λ]) определяется как частное от деления порядка симметрической группы (n!) на произведение угловых длин от всех клеток данной диаграммы:

.

Рассчитаем размерность представлений симметрической группы S₅:

С помощью диаграмм Юнга можно непосредственно вычислить характеры и сами ортонормированные неприводимые матричные представления без предварительного нахождения их базиса. Подробное изложение этой методики можно найти у М. Хамермеша [61] в указанной книге, где помимо прочего описан способ нахождения так называемых символов Яманучи, придающих представлениям однозначность. Мы же предпримем сейчас сокращенное изложение, позволяющее, тем не менее, найти все матрицы двухмерного представления E₂, отвечающего диаграмме [21] группы D₃ = S₃.

Диагональные матричные элементы для диаграммы < i > и смежной транспозиции (k – 1, k) определяются по формуле:

< i | k – 1, k | i > =        (2.36)

где = [C(k) – C(k – 1)] – [R(k) – R(k – 1)].

Здесь — аксиальное расстояние между числами k – 1 и k в диаграмме < i >; C(k) и C(k – 1) — номер столбца k или k – 1 элемента в диаграмме < i >; R(k) и R(k – 1) — номер строки k или k – 1 элемента в диаграмме < i >. Если числа k и k – 1 находятся в одной строке, то аксиальное расстояние равно 1, а если k и k – 1 находятся в одном столбце, то аксиальное расстояние равно (–1). Недиагональные матричные элементы между диаграммой < i > и диаграммой < j > транспозиции (k – 1, k) не равны нулю, если < i > получается из < j > путем перемены мест индексов k и k – 1, в противном случае недиагональный элемент равен нулю. Ненулевой матричный элемент определяется по формуле:

< i | k – 1, k | j > = {1 –    (2.37)

Если помнить, что любую транспозицию можно представить произведением смежных транспозиций (2.25), а всякую подстановку можно разложить на произведение транспозиций (2.26), то приведенных формул будет достаточно для вычисления матричных представлений. При пользовании формулами (2.36) и (2.37) счет индексов у транспозиций (k – 1, k) будет начинаться не с k = 0, а с k = 1, так что наша транспозиция (012) = (123). Методику вычисления матричных элементов продемонстрируем на примере двухмерного неприводимого представления E₂ группы D₃, отвечающего диаграмме [21] с двумя способами расстановки индексов < 1 > и < 2 > (рис. 2.8).

Для смежной транспозиции (23) диаграммы < 1 > имеем диагональный элемент, равный 

< 1 | 2 3 | 1 > = .

Для этой же транспозиции, но диаграммы < 2 > имеем другой диагональный элемент —

< 2 | 2 3 | 2 > = .

Недиагональные элементы равны между собой:

< 1 | 2 3 | 2 > = < 2 | 2 3 | 1 > = {1 –

Следовательно, матрица неприводимого представления E₂ для транспозиции (23) — она же выступает в роли одной из подстановок группы D₃ — выглядит следующим образом:

(23) = .

Для транспозиции (12) имеем:

< 1 | 1 2 | 1 > = 1,    < 2 | 1 2 | 2 > = – 1,

< 1 | 1 2 | 2 > = < 2 | 1 2 | 1 > = 0.

Соответствующая матрица равна:

(12) = .

Так как

(13) = (32)(12)(23), (123) = (12)(13), (132) = (13)(12),

после перемножения вычисленных матриц находим окончательно:

(13) = ,

(123) = ,

(132) = .