Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.2. Группы на матрицах и подстановках

Представления группы квадрата

Перейдем к рассмотрению некоммутативной группы . Она отвечает пространственному вращению квадрата (рис. 2.5б). Вращения описываются следующей системой преобразования координат:

Все элементы распадаются на пять классов эквивалентности:

C₀ = {e}, C₁ = {a²}, C₂ = {a, a³}, C₃ = {b, a²b}, C₄ = {ab, a³b}.

Число неприводимых представлений равно числу классов. Пользуясь критерием полноты набора неприводимых представлений (2.35), определим размерности пяти представлений:

.

Неприводимые представления {E₀, E₁, E₂, E₃, E₄} приведены в табл. 2.48. Двухмерное представление E₄ получается из преобразований координат для осей x и y; одномерное E₁ отвечает преобразованиям оси z; минус единица представления E₃ ставится для нечетных подстановок; строка для E₂ записывается из соображений об ортогональности (2.30), когда известны три других одномерных представления.

Таблица 2.48

Помимо указанных пяти неприводимых представлений, в табл. 2.48 дано еще одно эквивалентное E₄, ортогональное, двухмерное представление E₅, полученное на базисе векторов, проведенных из центра координат к вершинам 0 и 3. Координаты вершин квадрата (рис. 2.25б) определяют базис для E₄:

0 = (1, 1),     1 = (1, – 1),     2 = (– 1, – 1),    3 = (– 1, 1).

Таблица 2.49

В таблицу характеров (табл. 2.49), помимо неприводимых представлений, входят четыре приводимых: E₆ – полученное на базисе x, y, z; E₇ – полученное на базисе 0, 1, 2, 3; E₈ = E₄ · E₄; E₉ – регулярное представление. Используя формулу (2.33), можно провести следующие разложения:

E₆ = E₁ + E₄,     E₅ = E₀ + E₁ + E₂ + E₃ + 2 · E₄,

E₇ = E₀ + E₃ + E₄,     E₈ = E₀ + E₁ + E₂ + E₃.