Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.2. Группы на матрицах и подстановках

Представления диэдров 5-го и 6-го порядков

Перейдем от геометрической интерпретации умножения z, q и s к представлениям некоммутативной группы десятого порядка . Она имеет четыре класса —

C₀ = {e}, C₁ = {a, a⁴}, C₂ = {a², a³}, C₃ = {b, ab, a²b, a³b}.

Здесь существует два одномерных и два двухмерных представления. Характеры этих представлений помещены в табл. 2.51.

Таблица 2.51

Если принять, что

то базисными векторами для неприводимого представления E₂ могут служить вершины правильного пятиугольника (рис. 2.5):

0 = (1, 0),   1 = (p, r),   2 = (q, s),   3 = (q, –s),   4 = (p, –r).

Эти векторы вращаются под действием матриц представления E₂ в соответствии с подстановками:

Проведем через середины сторон правильного пятиугольника перпендикуляры, получим новую систему векторов:

0 = (–q, s), 1 = (–1, 0), 2 = (–q, –s), 3 = (–p, r), 4 = (–p, –r).

Они могут служить базой для ортогонального представления E₃:

Из пяти групп двенадцатого порядка три некоммутативных. Начнем с анализа группы диэдра . Она содержит шесть классов эквивалентности:

C₀ ={e}, C₁ ={a³}, C₂ ={a, a⁵}, C₃ ={a², a⁴}, C₄ = {b, a²b, a⁴b}, C₅ = {ab, a³b, a⁵b}.

Следовательно, для нее существует четыре одномерных и два двухмерных представления (табл. 2.52), причем одно из них (E₄) гомоморфное, другое (E₅) изоморфное.

Таблица 2.52

Базисом для представления E₅ служат векторы, проведенные из начала координат к вершинам шестиугольника (рис. 2.6):

Пусть образующими будут а и b = (15)(24) = –a³b, тогда E₅:

Базисом для гомоморфного представления E₄ служат перпендикуляры, проведенные из начала координат к серединам сторон шестиугольника. Имеется только три таких прямых, каждую из которых мы обозначим двумя индексами: {0, 3}, {2, 5}, {1, 4}. Операционное множество E₄ тоже сократится вдвое. В итоге будем иметь:

Группа отличается от тем, что вместо шести элементов с периодом 2 появляются шесть элементов с периодом 4. Отличная от часть операционного множества изоморфного представления E₅ выглядит следующим образом:

Гомоморфное представления E₄:

Дополнительными базисными векторами для представлений E₄ и E₅ группы являются первые столбцы приведенных матриц.