Олег Акимов
Геометрия и опыт:
Гаусс, Риман, Клейн, ПуанкареГаусса можно причислить к основоположникам релятивизма, который сказал: хотите узнать правду о геометрии, обратитесь к опыту. Он оставил Канту лишь арифметику, которую он, как и философ, считал во многом наукой априорной и интеллигибельной. Геометрию же, тем более, механику он причислил к эмпирическим и практическим наукам, в которых теоретическая доля покоится на том, что поставляет нам опыт. Хотя вряд ли сам Гаусс изучал «Критику чистого разума» Канта. Мысль о существовании неевклидовой геометрии и её соответствии реальному пространству возникла у него, скорее всего, по математической, а не по метафизической линии.
Еще до Гаусса геометры задумались о природе пятого постулата Евклида. Это были Джероламо Саккери (1667 – 1733), опубликовавший книгу «Евклид, избавленный от всяких пятен» (1773), Георг Клюгель (1739 – 1812), рассмотревший в своей диссертации (1763) вопрос об опытном происхождении пятого постулата, Иоганн Генрих Ламберт (1728 – 1777), написавший «Теорию параллельных прямых» (она была написана в 1766 г., но опубликована в 1786 г.) и, наконец, непосредственный учитель Гаусса, профессор Гёттингенского университета, где учился и впоследствии работал Гаусс, Абрахам Кестнер (1719 – 1800). Он говорил, что пятый постулат невозможно вывести из остальных постулатов и что существование неевклидовых вариантов геометрии весьма и весьма вероятно. Таким образом, идея существования неевклидового мира, причем не в абстрактном воображении математика, а наяву, овладела геометрами Европы всерьез и надолго, причем независимо от идей Канта. По-видимому, и наш соотечественник, Н.И. Лобачевский, тоже что-то знал об этой европейской тенденции.
Гаусс был одержимый идеей эмпирической верификации теорем евклидовой геометрии, и даже сам лично принял участие в проверке теоремы о равенстве π суммы внутренних углов треугольника. Еще в 1821 г. он решил проверить на опыте, действительно ли трехмерное пространство, в котором мы живем, является евклидовым. С этой целью он с помощью геодезических приборов замерил углы треугольника с вершинами, расположенными на холмах Брокен, Хохехаген и Инзельберг. Наибольшая сторона треугольника имела длину около 100 км. Если бы пространство было не евклидовым, рассуждал Гаусс, то сумма углов треугольника должна была бы отклониться в ту или иную сторону от 180°. После измерения углов и сложения их величин он получил сумму:
σ = 86° 13' 58,366" + 53° 6' 45,642" + 40° 39' 30,165" = 180° 00' 14,173".
В пределах точности прибора, которым производилось измерение, можно было сделать вывод, что пространство евклидово. В своих теоретических изысканиях для характеристики кривизны пространства Гаусс ввел особую абстрактную координатную систему, которая, разумеется, как и всякий базис по своей природе являлась математическим метапространотвом для описания кривизны поверхности. Релятивисты упорно не хотят признать за базисом полноценную математическую сущность тождественную по значимости с самим метрическим тензором. С эпистемологической и психологической точек зрения гауссова координатная система есть метапространство субъекта теории, без которого искривленная форма не может быть представлена.
В этом направлении долгое время Гаусс работал один, продолжая начатую задолго до него критическую линию по пересмотру евклидовой геометрии. Но вот в 1830-е годы появились две важные работы, которые он с энтузиазмом поддержал. Это были работа русского математика, ректора Казанского университета (в период 1827 – 1847 гг.) Николая Ивановича Лобачевского (1792 – 1856) и работа венгра Яноша Бойаи (1802 – 1860) — офицера австро-венгерской армии, сына известного математика Фаркаша Бойаи, который был близким другом Гаусса. Известно, что 16 декабря 1799 г. Гаусс написал Фаркашу Бойаи письмо, в котором есть такие строки: «Я лично далеко продвинулся в моих работах (хотя другие, совершенно не связанные с этим занятия оставляют мне для этого мало времени). Однако дорога, которую я выбрал, ведет скорее не к желательной цели, а к тому, чтобы сделать сомнительной истинность геометрии. Правда, я достиг многого, что для большинства могло бы сойти за доказательство, но это не доказывает в моих глазах ровно ничего» [55, с. 172].
При публикации математических трудов отца (они вышли в свет 1832 – 1833 гг.), Бойаи-младший в качестве дополнения опубликовал на 26 страницах собственный трактат, написанный примерно в 1825 году. Он вышел под названием «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида [она эквивалентна V постулату], что a priori никогда решено быть не может». В 1825 году, т.е. примерно в одно время с Бойаи, но независимо от него, Лобачевский приступил к разработке сходной с Бойаи неевклидовой геометрии, которую он изложил в ряде работ.
Сочинение Лобачевского «О началах геометрии» (1829) заканчивается Заключением, где есть такие слова: «Осталось исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой геометрии [так он называл новою геометрию] в механику, и не встретится ли здесь принятых уже несомненных понятий о природе вещей, но которые принудят нас ограничивать или совсем не допускать зависимости линий и углов. Однако ж можно представить, что перемены в механике при новых началах геометрии будут того же рода, какие показал Лаплас, предполагая возможной всякую зависимость скорости от силы, или — выразимся вернее — предполагая силы, измеряемые всегда скоростью, подчиненными другому закону в соединении, нежели принятому сложению их» [47, с. 16]. Как видим, уже Лобачевский думал об ином законе сложения скоростей, чем это принято в классической механике. Но разве можно было тогда предвидеть, что предложенное им математическое учение обернется полным развалом физических наук.
В 1827 г. Гаусс изложил свою теорию поверхностей в работе под названием «Общие исследования относительно кривых поверхностей», положившая основой к разработке дифференциальной геометрии, которая затем сделалась основным математическим аппаратом, используемым в общей теории относительности. Разработку дифференциальной геометрии осуществил ученик Гаусса Бернхард Риман (1826 – 1866). В начале своей знаменитой лекции 1854 года «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» Риман сказал, что «предложения геометрии не выводятся из общих свойств протяженных величин и что, напротив, те свойства, которые выделяют пространство из других мыслимых трижды протяженных величин, могут быть почерпнуты не иначе, как из опыта.
В таком случае возникает задача установить, из каких простейших допущений вытекают метрические свойства пространства, — задача, естественно, не вполне определенная, так как не исключено, что возможно несколько систем простых допущений, из которых каждая достаточная для установления метрических свойств пространства; важнейшая среди них, с точки зрения поставленной нами цели, есть система, положенная в основу геометрии Евклидом. Допущения, о которых идет речь, не являются (как и всякие допущения) необходимыми; достоверность их носит эмпирический характер; они — не что иное, как гипотезы. Их правдоподобие (которое, как бы то ни было, очень значительно в пределах наблюдения) надлежит подвергнуть исследованию и затем судить о том, могут ли они быть распространены за пределы наблюдения как в сторону большого, так и в сторону неизмеримо малого» [47, с. 18 – 19].
Риман утверждал также, что хотя «неограниченности пространства свойственна гораздо большая эмпирическая достоверность» [47, с. 31], тем не менее в будущем тот же самый опыт может предоставить нам факты, свидетельствующие о кривизне реального пространства. «Эмпирические понятия, на которых основывается установление пространственных метрических отношений, — понятия твердого тела и светового луча, — по-видимому, теряют всякую определенность в бесконечно малом [47, с. 32]. Отсюда Риман указал путь, пройденный затем Эйнштейном, а именно: «... Нужно попытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное». Он надеялся физику Ньютона «совершенствовать, руководствуясь фактами, которые не могут быть ею объяснены» [47, с. 33].
В небольшом очерке 1926 г. «Неевклидова геометрия и физика» Эйнштейн высоко оценил заслуги Римана перед релятивистской физикой, который высказал «смелую мысль о том, что геометрические отношения тел могут быть обусловлены физическими причинами, т.е. силами. Таким образом, путем чисто математических рассуждении он пришел к мысли о неотделимости геометрии от физики. Эта мысль нашла свое фактическое осуществление спустя семьдесят лет в общей теории относительности, которая соединила в одно целое геометрию и теорию тяготения» [1, т. 2, с. 181 – 182]. Мы подчеркнули слова о «чисто математическом» пути рассуждения. Эти слова в статье Эйнштейна повисают в воздухе; не находят они конкретного подтверждения и в работах Римана. Очевидно, «путем чисто математических рассуждений» нельзя прийти к мысли «о неотделимости геометрии от физики».
Некоторые историки современной физики не склонны отдавать пальму первенства Лобачевскому, Гауссу или их предшественникам. Математическая составляющая релятивизма берет свое начало от так называемой «Эрлангенской программы», провозглашенной в 1872 году Феликсом Клейном (1849 – 1925). При вступлении в должность профессора математики в Эрлангене он прочел доклад, в котором утверждал, что любая геометрия является по существу теорией инвариантов определенной группы пространственных преобразований. Инварианты метрической группы преобразований дают евклидову геометрию, а инварианты проективной группы — проективную геометрию. Геометрии Лобачевского (1792 – 1856) и Римана (1826 – 1866) имели свои инварианты, выраженные соответствующими аналитическими выражениями. Отцы теории относительности разрабатывали ее с оглядкой на теорию инвариантов и групп Клейна.
По статье Пуанкаре 1905 года «О динамике электрона» это особенно чувствуется. Отсюда понятен тот оптимизм, с которым была встречена теория относительности профессиональными математиками. Они и слышать не хотели о возражениях, которые выставляли конструктивисты-физики; все материальные ограничения казались им малозначительными преградами, которые не шли в сравнения с их всеохватывающими концептуальными установками. Так как любой физик всегда испытывает некоторую робость перед виртуозным математиком, он большей частью помалкивал, когда тот подсовывал ему пачку страниц, сплошь исписанную абстрактными формулами. В результате была построена воздушный замок, не имеющий ничего общего с реальной действительностью. Полюбуйтесь на преобразования Лоренца, которые за уши притянули к принципу относительности. Ведь они пришли на смену преобразованиям Галилея, так как оставляли волновое уравнение в неизменном виде (критика этого положения содержится во многих разделах сайта Sceptic-Ratio).
Следует, однако, заметить, что сам Клейн был математиком весьма даже конструктивного толка; он живо интересовался проблемами физики и его основным оппонентом в науке был склонный к спекулятивным суждениям Анри Пуанкаре. Но, к сожалению, его подход к физике с позиции алгебраической теории групп нанес непоправимый урон. Все увидели в групповых свойствах преобразований Лоренца нечто фундаментальное, претендующее на рафинированную истину, которая одним махом перевела стрелки теории относительности с физики на чистую геометрию. Такова печальная роль математиков в деле становления теории относительности и, в частности, Клейна. Сейчас мы увидим, как он втягивался в релятивистскую геометрию.
В 1869 г. Клейн познакомился с теорией Кэли, а чуть позже с геометриями Лобачевского и Бойяи. «... Я с полной отчетливостью понял, — пишет Клейн, — что неевклидовы геометрии являются частями проективной геометрии в смысле Кэли, и несмотря на упорное сопротивление с его стороны мне удалось навязать эту мысль и моему другу» [45, т. 1, с. 173]. Под другом здесь имеется в виду Штольц, который и познакомил Клейна с неевклидовой геометрией Лобачевского и Бойяи. Следует также напомнить, что проективную геометрию разрабатывал Плюккер, в частности, ему принадлежит остроумное и очень наглядное доказательство известной теоремы Паскаля.
В 1871 г. Клейну удалось обнародовать свои взгляды, с которыми многие уважаемые математики не соглашались. «Не кто иной, как сам Лотце, — говорится в "Лекциях", — именно тогда выдвинул лозунг, что все неевклидовы геометрии представляют собой чепуху. К этому добавилось и еще одно, до сих нор не искорененное и бытующее у философов и пишущих на научно-популярные темы недоразумение, которое я не хотел бы оставить здесь без обсуждения. Оно касается выражения "кривизна", которое, на свое несчастье, имеет очень наглядный смысл. Это введенное Гауссом и широко использовавшееся Риманом чисто математическое понятие представляет собой некий рассматриваемый в дифференциальной геометрии инвариант
,
восходящего к Гауссу выражения для элемента дуги
ds² = Edp² + 2Fdpdq + Gdq²,
причем имеет место теорема, что это K в неевклидовых пространствах постоянно.
Этому математическому утверждению, носящему чисто имманентный характер, философы и всяческого рода мистики совершенно недопустимым образом придали некое трансцендентное значение, как если бы оно говорило о каком-то наглядно воспринимаемом свойстве пространства. В связи с этим было немало разговоров и споров о четвертом измерении, так как считалось, что пространство непременно должно обладать еще одним — новым — измерением, чтобы иметь возможность быть "искривленным". (Даже Гёттингенское математическое общество в течение многих лет участвовало в такого рода дискуссиях...).
Все эти извращения, которые порой играли нам на руку, а иной раз оборачивались и против нас, доставили нам большие затруднения. Вспоминаю бесконечные разговоры, которые я зимой 1871/72 г. каждый вечер вел со своими друзьями в погребке Гебхарда и которые зачастую принимали весьма жаркий характер. Но еще более существенным было сопротивление, которое я испытывал со стороны математиков. … Но даже это детальное изложение предмета не внесло в данный вопрос полной ясности. В частности, Кэли навсегда остался при ошибочном убеждении, что в моих рассуждениях кроется порочный круг (см., например, Добавления Кэли ко второму тому его "Трудов" (1889), где он ссылается, кроме того, и на Роберта Болла, с которым я тоже поддерживал оживленное, но в данном пункте совершенно безуспешное общение).
Таким образом, мы здесь снова сталкиваемся с тем своеобразным фактом, что состарившийся ум бывает уже не в состоянии делать выводы из положений, выдвинутых им же самим. Последствия психологически неизбежного процесса, в результате которого мозг со временем утрачивает свою подвижность и пластичность, можно наблюдать весьма часто. Так, например, Лоренц, благодаря идеям которого только и смог возникнуть принцип относительности, всегда этому принципу противился. ...
Я мог бы рассказать и о многих других деталях этого сложного процесса, который зачастую бывал отягощен разного рода затруднениями, однако я ограничусь тем, что уже было сказано. Эти сражения отражены в соответствующих томах Math. Annalen (в особенности в 37-м томе). И лишь одно имя мне хотелось бы еще упомянуть здесь — имя Клиффорда. Я вспоминаю о нем с особой радостью как о человеке, который сразу понял, а вскоре и превзошел меня» [45, т. 1, с. 173 – 176].
Обозначенная здесь проблема действительно очень важна и одновременно трудна для понимания. Дело вовсе не в том, что Кэли был стар и не способен воспринимать идеи Клейна, а Клиффорд был моложе и легко понимал его. Перед нами известная ситуация смешения объектного и субъектного наблюдателя, проявляющаяся в области логике через парадокс обманщика, а в области психологии — через парадокс лестницы Шредера, рассмотренные ранее. Люди колеблются и не могут однозначно ответить на вопрос: нужно ли для восприятия искривленного пространства дополнительное не искривленное пространство? Тот, кто отвечает «да, нужно», оказывается в положении метанаблюдателя, который сочувственно отнесся к объектному наблюдателю, для которого он не видит никакого выхода за пределы его искривленного пространства. Тот, кто отвечает «нет, не нужно», отождествляет объектного наблюдателя с самим собой как субъектом теории. Если отсутствует евклидово пространство субъекта, где имеются метрические эталоны длины и откуда ведется наблюдение за искривленными формами, то отсутствует и способы обнаружения и измерения искривленных форм.
Сейчас полезно вернуться к докантовским временам и вспомнить один известный историкам науки спор между Лейбницем и Кларком. В письме к Ремону от 27 марта 1716 года Лейбниц писал: «Г-н Кларк, капеллан короля Великобритании и один из тех, кто окружает г-на Ньютона, вступил со мною в спор, защищая своего учителя; госпожа принцесса Уэльская выразила желание познакомиться с существом нашего спора. На днях я послал ей доказательства того, что пространство, которое для многих — idolum tribus [идол рода — заблуждение, присущее всему человеческому роду], как выразился Бэкон Веруламский, на самом деле не является ни субстанцией, ни абсолютным бытием, а представляет собой, как и время, некую упорядоченность. Вот почему правы были древние, когда они называли пространство вне мира, т.е. пространство без тел, воображаемым» [69, с. 564].
Это представление о пространстве особенно укрепилось в связи с введенной Декартом упорядоченной системы координат. Говоря о пространстве «вне мира», «без тел», Лейбниц имеет в виду пространство чисто математическое или геометрическое, но никак не физическое. Его можно также назвать «воображаемым», т.е. психологическим, в этом случае оно теряет меру, оставаясь только топологически субъективным. Такое пространство не может быть искривленным, поскольку оно внутри нашего сознания. Но как только мы переходим к реальности, мы тут же соприкасаемся с физическими объектами, которые, разумеется, могут быть искривлены под действием тех или иных напряжений.
В третьем письме Лейбница, направленном принцессе Уэльской от 25 февраля 1716 года для ознакомления и передачи письма Кларку, говорится о пустом пространстве как о каком-то «реальном абсолютном существе», которым является «самим Бога» или «его атрибутом». Такую позицию, как известно, отстаивал «поздний» Ньютон, который сам лично не решился вступать в спор с Лейбницем; это тяжелое бремя взвалил на себя королевский капеллан, г-н Кларк.
В указанном послании Лейбниц писал: «2. Соглашаются со мной насчет важного принципа, согласно которому ничто не происходит без достаточного основания к тому, что оно происходит скорее так, чем иначе. Но соглашаются со мной на словах, а на деле отказываются признавать его. Из этого следует, что не очень понимают всю его силу. И поэтому ссылаются на пример, который встречается как раз в одном из моих доказательств против реального абсолютного пространства, этого идола некоторых современных англичан. Я говорю здесь об идоле не в богословском, а в философском смысле, как когда-то канцлер Бэкон говорил об idola tribus, idola specus.
3. Эти господа, таким образом, утверждают, что пространство — реальное абсолютное существо, но это приводит их к большим трудностям. Ибо, кажется, что это существо должно быть вечным и бесконечным. Поэтому некоторые считают, что оно является самим Богом или, по крайней мере, его атрибутом, его неизмеримостью. Но так как пространство имеет части, то оно несовместимо с понятием Бога.
4. Я неоднократно подчеркивал, что считаю пространство, так же как и время, чем-то чисто относительным: пространство — порядком сосуществования, а время — порядком последовательностей. Ибо пространство с точки зрения возможности обозначает порядок одновременных вещей, поскольку они существуют совместно, не касаясь их специфического способа бытия. Когда видят несколько вещей вместе, то осознают порядок, в котором вещи находятся по отношению друг к другу.
5. Для опровержения мнения тех, которые считают пространство субстанцией или, по крайней мере, какой-то абсолютной сущностью, у меня имеется несколько доказательств» [69, с. 441]. Далее Лейбниц приводит несколько умозрительное доказательство в духе своей философии достаточного основания.
Проблемы физики начались тогда, когда релятивисты ввели пустое пространство в качестве реального атрибута бытия или, в случае с верующими, Ньютоном и Лейбницем, атрибутами Бога. Пустота есть только возможность для существования чего бы то ни было; пустота всегда будет «мнимой» — такой еще термин использовал Лейбниц. «Кто высказывается за пустоту, — пишет он, — тот руководствуется при этом больше воображением, чем разумом. В молодости я тоже увлекался учением о пустоте и атомах, но разумные основания разубедили меня. То был заманчивый фантастический образ; однако он ограничивает, в некоторой степени задерживает исследование, заставляет считать, что найдены первоначальные элементы... Все же Богу приписывают весьма несовершенное творение, предполагая пустое в природе; этим нарушают великий принцип необходимости достаточного основания, о котором многие говорили, не понимая его силы» [69, с. 456].
Картезианцы и Лейбниц, в том числе, потерпели поражение в науке от ньютонианцев потому, что не смогли предложить модель среды, где бы могли получить объяснения явления распространения света и действие силы тяготения. Поэтому в науку естественным образом проникла формально-феноменологическая физика Ньютона. Однако мировоззрение Декарта и Лейбница одержало победу во времена Фарадея и Максвелла, когда были заложены основы электротехники и электродинамики. Материальные доводы картезианцев бесспорны, спекуляции ньютонианцев напоминают спекуляции релятивистов и они, с точки зрения творческой науки, совершенно бесплодны. Бог Ньютона в виде пустого пространства, которое волей Бога сообщило первотолчок небесным телам, — это уже не физика, а средневековый суррогат, которому рукоплескали дремучие схоласты с богословского Тринити-колледжа.
Лейбниц допускал серьезные ошибки в построении своих физических моделей, но он занимался все же настоящей наукой и добился немалых результатов. В стратегическом плане его конструктивный подход, безусловно, является правильным. Следует, однако, знать, что молодой Ньютон тоже придерживался картезианских взглядов на пространство, когда мыслил отчетливыми категориями мировой среды. О «пустом пространстве», как о каком-то «чувствилище Бога», он заговорил уже на закате своей творческой деятельности, которая произошла где-то после написания им «Математических начал».
Попытку опытного испытания реальной геометрии ставят под сомнение Пуанкаре и все противники релятивистской доктрины. В пятой главе, которая названа «Опыт и геометрия» своей замечательной книги «Наука и гипотеза» он затрагивает, быть может, самый главный для нас вопрос, который возник задолго до появления двух теорий относительности Эйнштейна. Здесь французский мыслитель подвел итог длившейся почти весь XIX в. дискуссии математиков, философов и естествоиспытателей об эмпирической проверки геометрии. Пуанкаре решительно опровергает «ложную идею, глубоко укоренившуюся во многих умах», будто справедливость постулата Евклида о параллельности прямых можно определить с помощью оптического инструмента.
Изложенной позиции об эмпирическом происхождении геометрии противоречит авторитетному мнению Анри Пуанкаре, который в своей знаменитой книге «Наука и гипотеза» [36] напоминает, что, фактически, «прямой линией» называют «траекторию светового луча», поэтому у нас нет средств обнаружить нарушение евклидовости реального пространства или, как он говорит, «евклидовой геометрии нечего опасаться новых опытов».
«Можно ли утверждать, — задается Пуанкаре вопросом, — чтобы некоторые явления, возможные в евклидовом пространстве, были невозможны в неевклидовом, так что опыт, констатируя эти явления, прямо противоречил бы гипотезе о неевклидовом пространстве? По моему мнению, подобный вопрос не может возникнуть. С моей точки зрения, он вполне равносилен следующему вопросу, нелепость которого всякому бросится в глаза: существуют ли длины, которые можно выразить в метрах и сантиметрах, но которых нельзя измерить туазами, футами и дюймами, — так что опыт, констатируя существование этих длин, прямо противоречил бы тому допущению, что существуют туазы, делящиеся на 6 футов» [36, с. 54].
В другом месте Пуанкаре к этому сравнению добавляет и другие: «Если теперь мы обратимся к вопросу, является ли евклидова геометрия истиной, то найдем, что он не имеет смысла. Это было бы все равно, что спрашивать, какая система истинная — метрическая или же система со старинными мерами, или какие координаты вернее — декартовы или же полярные. Никакая геометрия не может быть более истинна, чем другая; та или иная геометрия может быть только более удобной» [36, с. 41].
В доказательство своей мысли Пуанкаре приводит простые и понятные аргументы: если реальное пространство действительно как-то искривлено, то изогнутыми окажутся и оптические пути следования лучей света, и материальные линейки, и вообще все измерительные приборы. «Пусть мы изготовили материальный круг, — предположил он, — измерили его диаметр и окружность и желаем убедиться, равно ли отношение этих величин числу π. Что мы делаем в этом случае? Мы производим опыт не над свойствами пространства, а над свойствами как того материала, из которого приготовлен этот диск, так и того, из которого сделан метр, служащий для измерения» [36, с. 54]. Пуанкаре склонен считать, что двумерные разумные существа не смогли бы составить себе представление о реальной геометрической форме своего пространства, так как «евклидова или неевклидова геометрия никогда не может оказаться в прямом противоречии с опытом» [36, с. 55].
В самом деле, если мы говорим, что данная область пространства является неевклидовой, то, чтобы мы могли его с чем-то сравнивать, в этой области должно находиться нечто евклидово, иначе невозможно установить истину. Представте себе сдутую эластичную камеру, лежащей на ровной евклидовой плоскости: вычертите на поверхности этой камеры треугольник и окружность, далее накачайте эту камеру, чтобы она приняла сферическую форму, и тогда вы увидете, как исказились все размеры вычерченных вами фигур. Теперь уже отношение длины окружности к длине ее диаметра не будет равна числу π и сумма углов треугольника также окажется не равна этому числу (напомним, что угловые параметры всегда можно выразить через длины дуг). Но это видите вы, метанаблюдатель, который находится в евклидовом пространстве, для гипотетических двумерных существ, обитающих на поверхности камеры, все отношения останутся прежними, так как их оптические приборы и все измерительные инструменты претерпят вместе с ними изменения.
Вслед за Пуанкаре и Эйнштейн пытался найти способ определения опытным путем характера кривизны пространства. Было бы крайне странно, если бы он не попробовал это сделать, ведь в противном случае вся его теория относительности должна была прекратить свое славное существование. В 1921 году он прочел доклад на тему «Геометрия и опыт», где привел рассуждения, которые никак нельзя назвать убедительными. Он прибегнул к образу, которым пользовался и Пуанкаре: «Теперь приведем пример двумерного континуума, который конечен, но безграничен. Представим себе поверхность большого глобуса и множество одинаковых гладеньких круглых бумажных дисков» — так начинается его доказательство возможности эмпирической проверки кривизны.
Далее Эйнштейн продолжает: «... Сферическая поверхность является неэвклидовым континуумом двух измерений; иначе говоря, законы расположения жестких фигур на этой поверхности не согласуются с теми же законами эвклидовой плоскости. Это можно показать следующим образом. Возьмем один из дисков и расположим вокруг него еще шесть других дисков, вокруг каждого из которых в свою очередь расположим еще шесть и т.д. Если это построение делается на плоскости, то мы получим непрерываемое расположение, при котором каждый из дисков, не лежащий на краю построения, соприкасается с шестью другими.
На сферической поверхности такое построение кажется вначале успешным, в тем большей степени, чем меньше радиус дисков по сравнению с радиусом сферы. Но по мере продолжения подобного построения, становится все более очевидным, что невозможно расположить диски указанным выше образом, без перерывов, как это было возможно в случае эвклидовой геометрии на плоскости. Существа, которые не могут не только покинуть сферическую поверхность, но даже и "выглянуть" из сферической поверхности в трехмерное пространство, могли бы установить путем опыта с дисками, что их двумерное "пространство" не евклидово, а сферическое» [1, т. 2, с. 91.].
Ошибку, которую допустил здесь Эйнштейн, слишком груба, чтобы ее не мог не заметить Пуанкаре. Говоря об «одинаковых гладеньких круглых бумажных дисках», Эйнштейн имел в виду диски, взятые из евклидового пространства, для которых отношение длины окружности к длине диаметра равна числу π. Эти идеально плоские диски он затем мысленно разместил в неевклидовом пространстве, где отношение длины окружности к длине диаметра уже не равно величине π. Но его двумерные существа не могли «установить путем опыта с дисками, что их двумерное "пространство" не евклидово, а сферическое», так как у них просто не было бы в руках этих самых евклидовых дисков. Так или приблизительно так мог бы возразить Пуанкаре Эйнштейну. Других доказательств экспериментальной проверки кривизны пространства в докладе «Геометрия и опыт» нет.
Когда релятивисты, говоря об эмпирической проверки общей теории относительности, приводят факт отклонения луча света вблизи Солнца на 1,75 угловых секунды, они на самом деле указывают именно на искривление луча света, а не пространства, в котором луч света распространяется. Точно так же «разбегание» звезд и галактик от нашей Земли во все стороны Вселенной никак не свидетельствует о якобы непрерывно расширяющемся пространстве. Если бы пространство действительно расширялось, то никакого красного смещения в спектрах, возникшее из-за доплер-эффекта, не существовало бы. Эти и подобные этим ошибки возникли по причине неспособности релятивистов различать введенные еще Декартом понятия субъективного пространства математики и объективной протяженности материальных тел. Казалось бы, в обоих случаях мы имеем дело с предельно абстрактными сущностями, однако рассмотренные ошибки указывают на пропасть, разделяющую математику и физику.
Авангард физической науки не поняли доводов Анри Пуанкаре. Он устремился за Эрнстом Махом, который в 1903 году напомнил о вере некоторых видных математиков в эмпирическую природу геометрии. «Потребность в глубоком гносеологическом выяснении основ геометрии, — писал он, — заставила Римана в середине прошлого столетия поставить вопрос о природе пространства. Еще до этого Гаусс, Лобачевский и оба Бояи обратили внимание на эмпирически-гипотетическое значение известных основных допущений геометрии. Когда Риман рассматривает пространство как частный случай многократно протяженной "величины", он мыслит некоторый геометрический образ, который можно представлять себе наполняющим и все пространство, например координатную систему Декарта. Далее, Риман говорит, что положения геометрии нельзя вывести из общих понятий о величинах, но те свойства, которыми пространство отличается от других мыслимых величин трех измерений, могут быть заимствованы только из опыта: "Подобно всем фактам и эти факты не необходимы, а только эмпирически достоверны; они — гипотезы". Как основные допущения во всякой отрасли естествознания, так и основные допущения геометрии, к которым привел опыт, представляют собой идеализации этого опыта. В своем естественнонаучном понимании геометрии Риман стоит на точке зрения своего учителя Гаусса. Гаусс высказал убеждение, "что мы не можем обосновать геометрию вполне a priori ..." [письмо Гаусса Бесселю от 27 января 1829 г.]. "Мы должны смиренно признать, что, хотя число есть только продукт нашего ума, пространство есть реальность и вне нашего ума, которой мы не можем всецело приписывать закона a priori" [письмо Гаусса Бесселю от 9 апреля 1830 г.]» [47, с. 73].
Единомышленник Маха, Оствальд, писал о тесной связи между геометрией и физикой так: «Ошибочное мнение, будто с помощью одной логики можно создать науку, объясняется тем, что прежде совершенно не понимали опытного характера этого материала. В настоящее время, благодаря убедительным исследованиям Римана и Гельмгольца, многие готовы приписать геометрии эмпирический характер. Но им кажется сомнительным, чтобы то же самое можно было утверждать о математике. Скорее, напротив, даже отказываясь от "абсолютных истин" математики, они готовы видеть в ней свободное и произвольное творчество человеческого духа. Огромная польза от применения математики к различным опытным наукам представляется им странной случайностью» [67, с. 221]. Очевидно, пропасть между убежденными эмпириками и рационалистами столь огромна, что никакие доводы не смогут заставить одних перейти в лагерь других. Нет общей методологии для всех исследователей природы. Математики, физики и химики следуют своей врожденной методологии, которая связана не с какой-то усвоенной в университете философией, а глубинной психологией конкретной личности.
Цитируемая литература
|
|
