Конструктивная математика

Акимов О.Е.

19. Способы обоснования

Для раскрытия природы доказательства и исчисления обратимся сначала к школьной формуле:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Она имеет по крайней мере два различающихся обоснования:

а) символьное —

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b².

б) образное — смотри рис. 17!

Рис. 17

В символьном доказательстве формулы квадратичного бинома многое подразумевается и не все прописывается в явном виде. В самом деле, действия над буквами a и b не столь очевидны, как это может показаться с первого взгляда. В частности, требуется еще обосновать, что квадрат скобки равен произведению двух скобок и что скобки перемножаются так, как это показано; что ab равно ba и что сумма ab + ab может быть представлена как 2ab.

В главе 15, Конструктивная алгебра, уже рассказывалось, как долго и трудно выковывались алгебраические приемы, которыми сегодня легко оперируют школьники. Например, для средневековых ученых арабской школы правило переноса числа или неизвестной величины x слева направо или справа налево за знак равенства было неочевидным, а античные математики его вообще не знали. Однако сегодня мы отлично знаем, что под буквами a и b подразумеваются некие числа, которые, как показали арабы, подчиняются всем упомянутым правилам.

Наше символьное доказательство есть не что иное, как сокращенная форма записи исчисления чисел. Для какого-нибудь инопланетянина запись

(3 + 4)² = 3² + 2 · 3 · 4 + 4²

выглядит совершенно одинаково по сравнению с предыдущей, хотя в первом случае под a и b мы подразумеваем абстрактные символы, принимающие любые числовые значения, во втором — конкретные числа. Впрочем, конкретность символов 3 и 4 относительна, так как они, в свою очередь, являются довольно сильным абстрактным нововведением по сравнению с более древней записью этих же самых математических объектов — ||| и |||| или III и IV. Таким образом, формула квадратичного бинома в действительности представляет собой свернутый в плотную символьную упаковку наш долгий  индуктивный опыт работы со счетными объектами.

Тот же жизненный опыт по измерению площадей земельных участков привел нас к геометрической форме доказательства выражения для квадратичного бинома. Возможно, какой-нибудь дотошный формалист заявит нам, что мы своим рис. 17 не представили никакого доказательства. Он потребует введения таких понятий как конгруэнтность, т.е. совместимость геометрических фигур при их перемещении в пространстве, а также специальных определений примерно такого типа: прямая линия не имеет толщины. В противном случае, скажет он, мы не сможем убедить взыскательного математика в том, что при наложении четырех фигур, обозначенных как a², b², ab и ba, на квадрат (a + b)² не произойдет пересечений в местах наложения линий. Это будет означать, в свою очередь, что левая часть рассматриваемого выражения не равна правой. На что какой-нибудь нижегородский крестьянин резонно заметит: «Да ни уж-то ячменные поля двигать можно?» — И будет прав, так как нет в существе своем разницы между доказательствами равенства, скажем, двух прямоугольников ab и ba, т.е. коммутативности величин a и b, путем совмещения фигур или путем сбора одинакового урожая ячменя с двух указанных полей. В обоих случаях мы имеем дело с человеческим опытом, отлитым в различные жизненные формы.

Здесь вновь можно вспомнить историю развития науки, ранее нами рассматриваемую. В главе 9 Математика древних мы говорили об излишней щепетильности греков при доказательстве формулы разложения бинома и особенно теоремы Пифагора. Софисты вообще и Евклид в частности скорее упражнялись в логике, чем в геометрии. Между тем логика имеет дело с вторичным материалом, ей нет никакого дело до объективной реальности. Логик вычленяет в своем уме сугубо формальным, фактически произвольным образом, символьную информацию и затем манипулирует ею по правилам тривиальной силлогистики, являющимися опять же слабой копией нашего естественного мышления. Конструктивист укоряет формалиста за бессмысленное требование писать интуитивно ясные выражения вроде a = b, b = c, следовательно, a = c, из которых состоят все софистские и схоластические доказательства. Они нисколько не добавляют строгости обоснования уже добытых знаний, зато становятся сущим бедствием при поиске новых знаний.

Графическое (образное) доказательство (б) нисколько не хуже формализованного (а). Какие символы мы введем, какую словесную дорожку протопчем к заветной формуле — не столь уж важно. Можно просто указать пальцем на рисунок — «Вот!», или сказать: «Смотри рис. 17», т.е. сделать нечто, что привлечет внимание всякого желающего знать, как можно развернуть квадратичный бином на некий объект, для которого указанная формула справедлива. Как нам удастся донести ее читателям: будет ли это интересно и убедительно, или же скучно и путано, — вещь второстепенная. Разумеется, хорошо, если это сделано грамотно, общепризнанными методами и хуже, когда формула сваливается на нас как бы с потолка. Но нет ничего более неприятного, чем иметь дело с софистикой (равно схоластической) формой, при которой не существует никакой объективной реальности, а есть лишь спекуляция на искусственно введенных аксиомах и дефинициях.

В подтверждение сказанному о приоритете объекта, представляющего данное символьное выражение, над субъективными средствами его доказательства продолжим наш пример в сторону увеличения степени бинома. Для кубического двучлена —

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³,

также имеется две формы обоснования; образная показана на рис. 18. Однако для тетрабинома, в силу своеобразия восприятия человеком физического пространства, графический объект пропадает, хотя символьный вывод формулы продолжает существовать. Нижеследующая формула безупречно отражает действия с числами.

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Рис. 18

Возникшую ситуацию можно сравнить с восприятием человеком электромагнитных или звуковых колебаний. Глаз или ухо улавливают их в узких диапазонах. Если колебания выходят за пределы этих диапазонов, человек перестает воспринимать их. Всякая раскраска в цветовые тона ультрафиолетового или инфракрасного излучения будет субъективна и ложна, располагай мы при этом миллионами цветовых оттенков.

Кто-то возразит, что здесь мы имеем дело скорее с ограничением физического мира, чем только живых организмов. Есть все основания подозревать, что четырехмерного пространства реально существовать не может. Теория относительности, теория черных дыр и параллельных миров — плод воображения экзальтированных людей, далеких от реальной науки. Имеются и математические ограничения в форме невозможности существования "жизнеспособных" структур, порядок которых выше кватерниона (октава и т.д.; напомним, кватернион описывает ортогональные повороты в трехмерном пространстве) или невозможность нахождения «плоскостных» уравнений в четырехмерном пространстве энергии-импульса (см. глава 32 Линейная аппроксимация закона дисперсии). С другой стороны, нами вычерчивались проекции 4- и 5-мерного куба на 2-мерную плоскость (см.: подраздел 4.3 «Дискретной математики»). Следовательно, можно представить и попытаться вычертить проекцию сечения 4-куба (ДМ, рис. 4.13е) на 16 объемов, подобно тому, как рассечен 3-куб на 8 объемов (КМ, рис. 18). В том же п. 4.3 приводится формула для объема n-мерного шара, но может ли он существовать реально — это еще вопрос. Проблема многомерности подымалась также в главе 16 этой книги, правда, больше в аспекте ее абстрактного существования. В общем, проблема реального существования четырехмерного пространства достаточно сложна и мы сейчас не сможем ее решить.

Тем не менее с замечанием, сформулированным в начале предыдущего абзаца, по-видимому, можно согласиться, только нужно не забывать, что человек, как и любой материальный объект, состоит из атомов. Поэтому, говоря о человеческих ограничениях, нужно подразумевать ограничения, накладываемые всей реальностью. Кроме того, не видеть математический объект человек может не только из-за своих физических ограничений. До Пифагора, например, греки не подозревали о существовании несоизмеримых отрезков, что равносильно восприятию ими только рациональных чисел. Затем, за счет введения иррациональностей, диапазон чисел расширился, но сфера построения геометрических рисунков оставалась ограниченной материальными инструментами — циркулем и линейкой. Декарт снял эти ограничения и математическому анализу подверглись новые графические объекты — циклоида, астроида, кардиоида и пр.

Хотя и в античной геометрии использовался инструмент под названием конхоидограф, сконструированный Никомедом (250—150 гг. до Р.Х.) для решения задачи о делении произвольного угла на три равные части («задача трисекции угла»). Конхоиду Никомеда нельзя было вычертить с помощью циркуля и линейки, однако анализ ее в античное время являлся скорее исключением, чем правилом. В XIX в. числовая шкала, благодаря введению трансцендентных и мнимых чисел, еще расширилась. Комплексное число и кватернион так же, как и понятия о рациональности, иррациональности, трансцендентности, связаны с геометрическими образами. Сегодня мы можем говорить об экзотических числах; с некоторыми из них мы уже познакомились. Но вернемся к нашим исходным биномам.

Вывод формул разложения квадратичного и кубического биномов — и символьный, и геометрический — относятся к конструктивному виду. Их трудно отнести к полноценным формам доказательства, поскольку в них практически отсутствует логика в том ее понимании, о котором выше говорилось. Такого рода получение знания называется исчислением. В основе всякого исчисления, естественно, лежит процедура счета, которая в применении к более сложным математическим объектам, чем натуральный ряд чисел, трансформируется в специальные алгоритмы. В качестве объектов реальности могут выступать отдельные предложения и целые тексты. В этом случае мы будем иметь дело с исчислением высказываний, т.е., собственно, с математикой. Если высказывания перестают быть предметом исследования и становятся инструментом субъекта теории, то мы имеем дело уже с логикой как таковой, а не математикой (об их различиях немало говорилось в главах 3, 4, 5 и 6).

В математических доказательствах логика и исчисление присутствуют в различных пропорциях; их порой трудно отделить друг от друга. В одном случае все доказательство может состоять из одноактового представления объекта, как мы уже знаем на примере рис. 17 и 18. В других случаях доказательство выстраивается в форме некоторой совокупности суждений, которая направлена не на получение количественного результата, а в сторону установления факта существования того или иного объекта или обнаружения логического противоречия. В нижеприведенном доказательстве присутствует именно такая организация вывода [41, с. 15 — 16].

Теорема. Существуют два иррациональных действительных числа a и b такие, что a^b рационально.

Доказательство. Рассмотрим число . Если это число рационально, то теорема доказана: достаточно взять a = , b = . Если же иррационально, то нужные a и b вновь можно найти: достаточно взять a = и b = . В этом случае a^b = 2. Таким образом, при любом раскладе нужные a и b существуют.

Обращаем внимание на то, что в этом доказательстве отсутствует попытка установить факт рациональности или иррациональности чисел a и b. Перед нами типичное логическое доказательство на существование рациональности числового агрегата a^b.