Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы

Акимов О.Е.

2.5. Пространственные группы и двойственность

Эффект сдвига воспринимаемой длины волны в красную область

За специальной теорией относительности последовала общая теория относительности, которая привела к эффектам, связанным с так называемым расширением Вселенной. О расширении мирового пространства заговорили особенно оживленно, когда было обнаружено, что движущихся звезд и галактик со сдвигом линий спектра в красную область несколько больше, чем звезд и галактик со спектром, сдвинутым в фиолетовую область. Согласно эффекту Доплера, «покраснение» спектра на относительную величину Δλ/λ произойдет в том случае, когда излучающий объект удаляется от наблюдателя. Расширение Вселенной характеризуется постоянной Хаббла (H), которая считается фундаментальной константой наряду со скоростью света (c), входящей в выражение для H. Постоянная Хаббла устанавливает связь между скоростью удаления (ΔR/Δt) звезд и галактик, вызванного расширением Вселенной, и расстоянием до движущегося объекта (R):

H = .

Факт «покраснения» спектра можно объяснить на основе модельных представлений. Основная идея такова. Звезды и галактики движутся во всех направлениях с различными скоростями относительно неподвижной среды. Если покоящийся относительно среды наблюдатель сложит векторы скорости от всех космических объектов, то он получит нулевой вектор. Однако мы не находимся в какой-то одной неподвижной точке мировой среды: наше Солнце и наша галактика несутся с огромной скоростью (vs = 200 км/с) в мировом пространстве. Следовательно, суммарный вектор скоростей от всех космических объектов для наблюдателя, движущегося со скоростью vs, будет отличаться от нулевого значения, что и проявится как сдвиг спектральных линий преимущественно в красную область. Чтобы оценить величину и характер изменения длины волны, данную ситуацию смоделируем в акустическом диапазоне.

Предположим, вы мчитесь по дороге на автомобиле со скоростью v1 = 200 км/час, а четыре других автомобиля движутся попарно в противоположные стороны со скоростью v2 = 100 км/час. Рассчитаем, какое смещение акустической длины волны возникнет для вас от четырех автомобилей. Скорость звука равна: v = 1195 км/час, следовательно, относительная скорость (β1) вашего автомобиля (приемника), и относительная скорость (β2) других автомобилей (источников звука) будут равны:

β1 = v1/v = 200/1195 = 0,1674,

β2 = v2/v = 100/1195 = 0,0837.

Имеются четыре варианта (соответствующие четырем введенным автомобилям), каждый из которых мы последовательно рассмотрим. Сначала пусть два чужих автомобиля двигаются навстречу друг другу, а ваш автомобиль находится где-то между ними. Тогда для автомобиля, идущего вам навстречу, на основании классической формулы для доплер-эффекта, будем иметь сокращение исходной длины волны, т.е. повышение звукового тона, что соответствует сдвигу в фиолетовую область: Δλ1 = – 0,2151 λ, так как

.

Для автомобиля, идущего в том же направлении, что и ваш, получим красное смещение: Δλ2 = + 0,1 λ, так как

.

Далее имеем еще два варианта, когда два соседних автомобиля удаляются друг от друга. Случай, когда ваш автомобиль двигается в одном направлении с другим автомобилем, соответствует сокращению длины волны; этому отвечает фиолетовое смещение: Δλ3 = – 0,0715 λ, так как

.

Случай, когда ваш и чужой автомобиль двигается навстречу друг другу соответствует красное смещение: Δλ4 = + 0,302 λ, так как

.

Теперь пусть скорость вашего автомобиля в два раза ниже скорости чужих автомобилей, т.е. β1 = v1/v = 50/1195 = 0,0418; тогда расчет по тем же формулам даст:

Δλ'1 = – 0,1205 λ — фиолетовое смещение,

Δλ'3 = + 0,0402 λ — красное смещение,

Δλ'2 = – 0,04373 λ — фиолетовое смещение,

Δλ'4 = + 0,131 λ — красное смещение.

Среднее смещение в фиолетовую область для первого случая, когда скорость вашего автомобиля была больше скорости других автомобилей (v1 > v2), равно:

δфиол. = |Δλ1 + Δλ3|/2 = |– 0,2151 – 0,0715|λ/2 = 0,1433 λ.

Среднее смещение в красную область для первого случая равно:

δкрасн. = |Δλ2 + Δλ4|/2 = |0,1 + 0,302|λ/2 = 0,201 λ.

Среднее смещение в фиолетовую область для второго случая, когда скорость вашего автомобиля была меньше скорости других автомобилей (v1 < v2), равно:

δ'фиол. = |Δλ'1 + Δλ'2|/2 = |– 0,1205 – 0,04373|λ/2 = 0,0821 λ.

Среднее смещение в красную область для второго случая равно:

δ'красн. = |Δλ'3 + Δλ'4|/2 = |0,0402 + 0,131|λ/2 = 0,0856 λ.

Сделаем последний шаг в объяснении сдвига спектральных полос, для чего введем коэффициент покраснения спектра (k) для движущегося наблюдателя, выражающийся отношением красного сдвига (δкрасн.) к фиолетовом (δфиол.): k = δкрасн./δфиол.. В нашем конкретном первом случае, когда v1 > v2 коэффициент k равен:

k = δ красн./δфиол. = 0,201/0,1433 = 1,4026;

во втором случае, когда v1 < v2 этот коэффициент равен:

k' = δ'красн./δ'фиол. = 0,0856/0,0821 = 1,0425.

Вывод: в любом случае, будет ли скорость вашего автомобиля больше (v1 > v2) или меньше (v1 < v2) по сравнению со скоростями других автомобилей, вы услышите несколько пониженный звуковой тон, издаваемый всеми движущимися автомобилями, так как величины k и k' больше единицы, что отвечает смещению спектра, условно говоря, в красную область. Ситуация с четырьмя автомобилями абсолютно симметрична, но ваше движение по дороге в любую сторону создает асимметрию в сдвиге акустического спектра.

Теперь можно принять, что каждый из введенных нами автомобилей в действительности имеет усредненную скорость всех тех автомобилей, которые движутся с различными скоростями по всем направлениям: впереди от вас и на вас, а также позади от вас и на вас. Данная ситуация вполне адекватна моделирует хаотичное движение огромного потока автомобилей на какой-нибудь оживленной магистрали. Чем выше скорость движения водителя по дороге (v1 = 200 км/час), тем больший сдвиг звукового спектра от гула моторов в область низких тонов он будет слышать (k = 1,4026); и, наоборот, чем меньше его скорость (v1 = 50 км/час), тем меньше отношение «красного» смещения к «фиолетовому» (k' = 1,0425). Если скорость водителя v1 = 300 км/час, то значение коэффициента красного смещения возрастет еще больше и станет равным k'' = 1,67. Для пешехода, стоящего неподвижно у обочины дороги (v1 = 0 км/час), никакого различия между количеством автомобилей с пониженным и повышенным тоном наблюдаться не будет: k0 = 1,000.

Далее можете считать, что ваш движущийся автомобиль — это Солнечная система, летящая в мировой среде; скорости других автомобилей — это усредненные векторы скоростей от всех перемещающихся космических объектов по какой-либо избранной линии, проходящей через Солнечную систему. Так как аналогичная картина будет наблюдаться по всем остальным направлениям, проходящим через точку наблюдения, то вывод, сделанный для одного направления, окажется верным для всех остальных.

Итак, для землян наблюдается асимметрия: спектры звезд и галактик, движущихся в космическом пространстве, в среднем заметно покраснеют, что и создает иллюзию расширяющейся Вселенной. Но в действительности ничего подобного не происходит: эффект «убегания» звезд и галактик возникает потому, что мы сами вместе с Солнцем перемещаемся в мировой среде со скоростью v1 = 200 км/с (по другим оценкам, v1 = 260 км/с). Постоянная Хаббла H, как мы сказали устанавливает связь между скоростью удаления объекта (v2) и расстоянием до него (R). Если смещение линий спектра (Δλ/λ) обозначить через x и учесть, что при скоростях v2 << c смещение x » β2 = v2/c, то величину смещения можно представить произведением: x » HR, т.е. чем дальше от нас находится объект, тем больше смещение спектральных полос или тем больше его скорость.

Этот факт объясняется Большим взрывом, произошедшим якобы 18 млрд. лет назад, при котором начальные осколки правселенной летели с особенно большой скоростью. Далее сила взрыва ослабевала и космические объекты уже не приобретали столь высокую скорость. Первые доли секунды, а точнее, 10–43 с, получили наименование эры Планка; плотность вещества измерялась величинами 1097 кг/м3 а температура — 1032 K. Потом шли эры: Адронная (10–35 с), Лептонная (10–6 с), Плазменная (103 с); наша Солнечная система зародилась на момент 1017 с. 

Слабость этой гипотезы состоит в том, что сингулярная точка, из которой будто бы начался Большой взрыв, по чудесному стечению обстоятельств оказалась рядом с нами, т.е. эпицентр взрыва находился чуть ли не на нашей Земле. Этот космогонический геоцентризм вытекает из того факта, что формула x » HR написана относительно земного наблюдателя, именно от Земли нужно отмерять расстояние R, чтобы определить скорость убегания от нас звезд и галактик. Поразительное совпадение релятивисты объясняют через модель булочки с маком.

Согласно этой модели, когда расширяется всё пространство Вселенной подобно сдобе, находящейся в духовке, то создается иллюзия, будто вы находитесь в центре, из которого началось расширение. Вам кажется, что все маковые зерна удаляются от вас. Однако при расширении именно пространства объектный наблюдатель ничего не зафиксирует. Эффект Доплера для него также не проявится, так как при увеличении объема сферические волны будут иметь неизменный общий центр; для метанаблюдателя же изменятся радиусы этих волн. Между тем, при доплер-эффекте происходит смещение центров сферических волн вдоль какого-то направления (рис. 2.41) при неизменном пространственном объеме. Следовательно, красное смещение вызвано именно движущимися объектами, а не расширением пространства. А если под действием взрыва двигалось вещество, то оно должно перемещаться в пространстве и времени, которые, в таком случае, не зависят от него, что также противоречит релятивистской физике.

В приведенном числовом примере мы увеличивали скорость автомобиля (v1 или β1), водитель которого регистрировал увеличение коэффициента понижения звукового тона (k), а скорости четырех других автомобилей (v2 или β2) оставляли без изменений. Характер изменения коэффициента k при изменении скорости приемника β1 и неизменной скорости источника β2 = 0,1674 показан в табл. 2.94.

Таблица 2.94

β1 0,010 0,020 0,042 0,100 0,167 0,200 0,300 0,400 0,600 0,900
k 1,001 1,005 1,021 1,127 1,402 1,500 1,857 2,333 4,000 19,00

Если иметь в виду Солнечную систему, откуда ведется наблюдение, и хаотически движущиеся звезды и галактики, то зависимость коэффициента k от скорости движения источников света β2, при неизменной скорости наблюдателя β1 = 0,1674, будет иной, что демонстрирует табл. 2.95. Из нее видно, что коэффициент понижения тона k не зависит от изменения скорости источника до тех пор, пока скорости источника и приемника не сравняются (β2 = β1 = 0,167); затем происходит его спад. Важной особенностью обеих зависимостей является то, что ни при каких условиях не будет наблюдаться фиолетовое смещение, т.е. случай k < 1 невозможен. Пока скорость космического объекта меньше скорости движения Солнца (v1 = 200 км/с), его спектральные линии имеют устойчивое красное смещение, соответствующее этой скорости.

Таблица 2.95

β2 0,010 0,020 0,042 0,100 0,167 0,200 0,300 0,400 0,600 0,900
k 1,402 1,402 1,402 1,402 1,402 1,323 1,200 1,150 1,100 1,064

Расчет, произведенный по элементарной методике, дает хотя и грубую, но в принципе верную оценку коэффициента красного смещения, который равен в нашей упрощенной модели k = 1,001334. Так, линия водорода λ = 466,8 нм в спектрах звезд и галактик, движущихся с меньшей, чем у Солнца, скоростью v2 < v1, в среднем будет смещена в область λ = 467,4 нм, что несложно заметить, так как разрешающая точность измерения составляет сегодня менее 5×10–4 нм; таким образом, величина смещения в красную область равна Δλ = 0,6 нм. С увеличением скорости объекта v2 в области v1 < v2 < c происходит плавный спад коэффициента покраснения до единицы. Если изменится значение v1, то изменится и величина k.

Особо обращаем внимание на то, что при определении величины и характера смещения спектров была использована процедура наглядного конструирования в рамках акустической модели, которую легко воссоздать в лабораторных условиях.

Вопросы эффекта Доплера рассматриваются также на следующих страницах:



 
  


Hosted by uCoz