Конец науки

Акимов О.Е.

9. Критика Виктора Белянина

• Золотое сечение и талая вода
• От Пифагора до Платона через Евдокса
• А.Ф. Лосев: анализ «Тимея»
• Прокл о «Началах» Евклида
• Белянин и Стахов: спор вокруг Евклида

Золотое сечение и талая вода

В первой статье по золотой пропорции, опубликованной совместно со студенткой МАДИ Е. Романовой в журнале «Наука и жизнь» за 2003 год, Виктор Белянин растолковал нам о «золотых» треугольниках, пятиугольниках и углах 36°, 72°, 108° и 144°. С помощью узкого и широкого ромба с этими углами, которые в сумме дают 36° + 144° = 72° + 108° = 180°, можно покрыть плоскость без щелей и накладок. Существует несколько подобных покрытий, которые были найдены и исследованы математиком Робертом Амманном и художником Кларком Рикертом. О самом элементарном покрытии однажды что-то написал популярный в народе американский физик Роджер Пенроуз. После этого к данному покрытию прилипло его имя, будто он его открыл. Об истинных авторах Белянин ничего не сказал и, возможно, был прав: мало ли, кто что захочет увидеть в его статье.

Но обратите внимание на название статьи [1]: «Золотая пропорция. Новый взгляд». Для меня осталось загадкой словосочетание «новый взгляд». В статье мы, например, читаем: «Необычные свойства золотой пропорции достаточно подробно описаны в литературе [здесь дается, между прочим, ссылка на будущего оппонента Белянина: А.П. Стахов "Коды золотой пропорции". — М.: Радио и связь, 1984]. Они настолько удивительны, что покоряли разум многих выдающихся мыслителей и создали вокруг себя ореол таинственности»... И так далее всё в том же духе, однако, в чём именно состоит новизна, читателю непонятно.

Зато есть в этой работе такой абзац: «Звездчатый пятиугольник — фигура симметричная, и в то же время в соотношениях ее отрезков проявляется асимметрическая золотая пропорция. Подобное сочетание противоположностей всегда притягивает глубоким единством, познание которого позволяет проникнуть в скрытые законы природы и понять их исключительную глубину и гармонию. Пифагорейцы, покоренные созвучием отрезков в звездчатом пятиугольнике, выбрали его символом своего научного сообщества» [1]. Таким образом, Белянин продемонстрировал нам, что он приверженец так называемой традиционной точки зрения, согласно которой сущность золотой пропорции прекрасно осознавалась уже пифагорейцами. Позже этот «псевдоисторический» взгляд он поставит Стахову в вину.

Вторая статья гармониста Белянина с тем же соавтором пользуется большой популярностью в Рунете. Еще бы! Она ведь посвящена удивительным свойствам талой воды, которая «в отличие от обычной, по своей структуре очень похожа на жидкость, содержащуюся в клетках растительных и живых организмов. Именно поэтому для человека более подходит "ледяная" структура талой воды, в которой молекулы объединены в ажурные кластеры. Это уникальное свойство талой воды способствует ее легкому усвоению организмом, она биологически активна. Вот почему так полезны овощи и фрукты — они доставляют в организм воду, имеющую аналогичную структуру.

При питье талой воды происходит подпитка организма самым гармоничным из всех веществ на Земле. Она улучшает обмен веществ и усиливает кровообращение, снижает количество холестерина в крови и успокаивает боли в сердце, повышает адаптационные возможности организма и способствует продлению жизни. Глоток чистейшей талой воды тонизирует лучше пастеризованного сока, в ней есть заряд энергии, бодрости и легкости» [2].

В жидкой воде молекулы H₂O могут
объединяться в сложные образования — кластеры,
по структуре напоминающие лед.

«Физиологические» качества талой воды гармонист Белянин объясняет следующей гипотезой (подстраховался!). Для льда отношение длин связей О–Н к Н–Н равно 0,613 и угол при вершине, где находится атом кислорода, равен 109,5°; для пара соответственно имеем: 0,631 и 104,5°. В случае талой воды кластерная структура молекулы воды H–O–H образует, как предполагает Белянин, в точности золотой треугольник с числом 0,618 и углом 108°. В результате этого мертвая вода превращается в золотую или живую, которая способна разогнать в нашем организме хворь и подарить долголетие.

В представленном объяснении отсутствует главное: статистика испытаний на предмет оздоровительного действия «святой» воды. Без такого опытного исследования статья не может считаться научной. Правда, в тексте есть описание единичного случая: «Один из авторов этой работы постоянно пьет талую с плавающими льдинками воду и считает, что именно поэтому за три года ни разу не простудился. Талая вода освежает и молодит кожу, которая перестает нуждаться в кремах и лосьонах» [2]. Тем не менее, данный эксперимент нельзя признать корректным. Таким образом, с подачи Белянина в народ, далекий от научной методики, был запущен очередной наукообразный миф, поддерживающий какие-то предрассудки легковерных людей.

Вода вообще и талая в особенности — рассадник псевдонаучных спекуляций. Быть может, последняя и обладает какими-то сверхъестественными качествами, однако объяснять их на основе золотой пропорции — значит, возводить чудесное и непонятное в квадрат. Все без исключения гармонисты-золотоискатели даже те, которые впоследствии становятся радикальными оппозиционерами Стахова и его камарильи, навсегда остаются зараженными чумной бациллой мистицизма. Золотая пропорция — их Бог, а от святой веры в чудеса человек редко отказывается.

О диковинных качествах воды много пишет Олег Мосин. Так, в его статье «Здоровье: Энергетика воды», опубликованной на сайте (http://www.inauka.ru/), мы читаем: «Любой объем воды — это одна гигантская молекула — диполь. Вода помнит все, что было, она разносит информацию по клетке и организму». Евгений Скляревский, опубликовавший на сайте «Планета школ» (http://planetashkol.ru/) статью «Умеет ли вода помнить?» (19 мая 2009), высказался скептически о «водной памяти» и ее загадочной структуре: «на данном этапе развития науки мы можем строить какие угодно модели структурного состояния воды, но проверить их практически пока что не представляется возможным».

В статье [2], вышедшей в 2004 году, гармонист-золотоискатель Белянин обронил фразу: «Исследователи золотой пропорции с античных времен до наших дней всегда восхищались и продолжают восхищаться ее свойствами». Таким образом, и здесь мы имеем свидетельство того, что автор (вместе с соавтором) придерживался традиционной точки зрения на историю золотой пропорции.

В третьей статье, вышедшей в 2005 году всё в том же журнале «Наука и жизнь», но уже без студентки-соавтора, Белянин с самого начала обращается к античной истории: «Математическое сообщество Древней Греции было потрясено открытием несоизмеримых величин. Это открытие пришло в противоречие с пифагорейской теорией целых чисел. Учение о целочисленной основе всего сущего перестало быть истинным. Между двумя священными числами 1 и 2 возникло "нечто", не выражаемое с помощью натуральных чисел. Возникло то, что мы называем [корнем квадратным из двух], но у греков такого арифметического числа не было. Оно существовало только геометрически, как диагональ квадрата со стороной, равной 1. Но даже в этом случае ошеломляющее открытие несоизмеримости показывало, что две связанные между собой части простейшей геометрической фигуры — сторона и диагональ квадрата — антагонисты, не имеющие общей меры» [3].

Теперь сравните этот пассаж с текстом, который написал Белянин 04.12.2009 на форуме Радзюкевича А.В.: «Стахов (а заодно и Клещев) в очередной раз показал свою историко-математическую безграмотность. Никто не знает, как во времена Пифагора пришли к понятию несоизмеримости отрезков. Существует расхожий штамп, что это связано с диагональю квадрата. Так нагляднее и проще всего объяснить детям существование несоизмеримости. Стахов с соавтором на этот штамп попался и додумал (!) за пифагорейцев доказательство с квадратами. А дальше пишет: "весьма сложно признать доказательство пифагорейцев вполне корректным…". Грубая подтасовка в духе Стахова! Сами сочинили, а приписывают пифагорейцам. Ну, сколько можно заниматься выдумками! У пифагорейцев нигде не приведено такого доказательства! Чистая ложь! Это очередные стаховские сказки, на которые потом он накручивает немыслимые суждения и выводы. В серьезной литературе считается, что пифагорейцы пришли к понятию несоизмеримости, решая задачу разделения заданного музыкального интервала. И это логично, отвечает духу пифагорейцев. А стаховски/клещевским рассуждениям надо сделать успокоительный укольчик — и баиньки, на пенсию» [4].

Что заставило гармониста-золотоискателя Белянина в этом историко-научном вопросе отойти от традиционной позиции, для читателя остается загадкой. Скептическое отношение к «широко известным фактам истории» — можно только приветствовать. Однако слишком резкое осуждение своего идейного противника за то, что ты сам четыре года назад «впаривал» стране и миру, выглядит странно, требует объяснений и, возможно, извинений.

В начале 2006 года в мировоззрении Белянина произошел какой-то слом: он начал усиленно критиковать традиционную точку зрения. В один прекрасный день, как я предполагаю, при чтении многолетних обсуждений статьи «Красивая сказка о "золотом сечении"», он решается опубликовать на сайте http://www.sibdesign.ru/ письмо А.В. Радзюкевичу [21]. Это произошло в марте 2006 года, а уже в мае он написал целое научное исследование: «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа» [22]. Оно было замечено теми, кому, собственно, и предназначалось. Последовала недовольная реакция, вынудившая Белянина в июле ответить новым критическим посланием [23]. Наконец, в сентябре было написано последнее письмо в адрес Международного клуба золотой пропорции [24], которым, по-видимому, и закончился спор между Стаховым и Беляниным, во всяком случае, его открытая и горячая фаза. Последние четыре работы будут обильно мною цитироваться и комментироваться, причем не всегда в хронологическом порядке.

*
*   *

Белянин особо акцентирует внимание на «прозе» золотой пропорции: «Древние греки научились делить отрезок в среднем и крайнем отношении, чтобы строить правильный пятиугольник, а впоследствии и некоторые правильные многогранники. Всё, точка. Ни для каких-либо других целей они это деление не использовали. … Это деление не содержало в себе никаких указаний на какую-либо скрытую в нем арифметическую закономерность. В геометрической системе Евклида полностью отсутствуют числовые выкладки. Эпоха арифметизации геометрии еще не наступила. … Чисто утилитарный подход в геометрии. И только фантазии наших современников пытаются деление отрезка на части представить в мистическом свете.

В математике древних греков от Пифагора до Евклида отсутствовали дроби (рациональные числа) и извлечение корней из чисел. Без этих математических понятий понять и, что ещё более важно, осознать всю прелесть золотой пропорции практически невозможно. Не существовало в то время никаких завораживающих чисел 1.618…, 0.618…, 1/0.618…= 1.618… и.т.п. Не было чисел Фибоначчи, не было филлотаксиса, не было золотых прямоугольников, спиралей и пр. и пр. Сейчас золотое сечение богато приложениями, а в то далекое время наука в соответствии с учением Платона не имела ничего общего с практикой. Поэтому и Евклид нигде не использует приближенные методы, устранив из рассмотрения многие метрические задачи. Учению о счете Евклид не уделяет ни строчки. Повторю еще раз, деление отрезка в среднем и крайнем отношении есть чисто утилитарная геометрическая задача древних» [23, п. 2].

Закрывая эту тему, Белянин предостерег гармонистов и своего главного оппонента: «При разговоре о древних греках, воспитанных "в иных понятиях", чем мы, лучше, по возможности, не упоминать слова "золотая пропорция", чтобы люди не включали в свой мыслительный процесс груз "лишних" современных знаний, который очень сильно давит. И тогда Вы, г-н Стахов, сами отчетливо поймете, в чем различие между задачей чисто геометрического деления отрезка в среднем и крайнем отношении в очень далеком прошлом и ее пониманием в современном толковании» [23, п. 2].

Белянин процитировал отрывок из книги Стахова «Код да Винчи и ряды Фибоначчи»: «Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи был одним из первых, кто ввел сам термин "Золотое сечение". Белорусский философ Эдуард Сороко… пишет по этому поводу: "Термин "золотое сечение" (aurea sectio) идет от Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0,618…. Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал» [23, п. 10].

За этим последовал комментарий Белянина: «Зарубежные авторы статьи приводят 1826 год, как год первого упоминания термина "золотое сечение" и указывают источник. Вы [г-н Стахов] не первый раз бездоказательно связываете золотое сечение с Леонардо да Винчи. Философ Э. Сороко также бездоказательно отсылает читателя к Птолемею и утверждает, что он дал термин "золотое сечение" десятичному (!) числу 0,618, а Леонардо да Винчи "часто его использовал".

Замечу, что Птолемей писал на греческом языке, а не на латинском, так что термин aurea section у него вряд ли мог появиться, а греческая система записи цифр была алфавитной. Надеюсь, что и без моих дальнейших комментариев Вы вместе с "одним из наиболее авторитетных ученых в области теории гармонии и Золотого сечения" Э. Сороко понимаете нелепость ситуации, в которой оказались.

Что ж, надо или зарубежных авторов просветить на этот счет и сообщить им о Ваших с философом Э. Сороко исторических открытиях, или Вам г-н Стахов, переиздать Вашу книгу с исправлениями и новым заголовком» [23, п. 10].

Считается, что именно греки открыли несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной и, тем самым, открыли иррациональные числа, к коим относится золотое число 0,618… С помощью циркуля и линейки они умели отложить отрезок, равный корню квадратному из двух, трех, пяти. В частности, корень из пяти, связанный с иррациональным числом 0,618…, получается как диагональ прямоугольника, образованного двумя квадратами. Но, Белянин прав в том, что греки никогда бы не смогли почувствовать «золото» этого числа, поскольку их вычисления были приблизительными.

Так или иначе, данный факт понимал белорусский философ Э.М. Сороко, который в статье [8] стал настаивать, что древние греки могли золотую гармонию почувствовать интуитивно, а выразить с помощью рациональной пропорцией как отношение двух чисел Фибоначчи.

Он пишет: «К примеру, число "пи" греки, в частности, Архимед, также успешно освоили, хотя оно иррационально по своей природе [число "пи" — трансцендентно, а не иррационально — О.А.]. Наряду с египтянами, и, как показали исторические материалы, древними китайцами, они здесь пользовались приближением 22/7 и эта точность — до двух знаков после запятой — их вполне устраивала. Отметим, что у них 22 и 7 — сакральные числа (22 — количество букв алфавита, число Великих Арканов Верхнего и Нижнего Египта и т.п.; 7 — т.н. "великолепная семерка", у греков — "Гебдомарида", в европейской культуре почитается еще со времен античности за свои замечательные особенности; ныне она известна как "число Мюллера": "семь плюс-минус два"). Парадокс: иррациональных чисел греки не знали, а число "пи" применяли в своих расчетах. Почему же нашего оппонента, Белянина это не возбуждает и здесь он не "возбухает" в качестве ниспровергателя данной истины? Надо же быть последовательным и реагировать на все моменты одного ряда!

Точно также и число "золотое сечение" использовалось греками (и египтянами) в приближении к истинному значению — как отношение целых чисел, членов ряда Фибоначчи (об этом молчаливо свидетельствует "застывшая музыка" — архитектурные сооружения, в частности, число ярусов в амфитеатрах в Эпидавре и других древнегреческих городах, рисунки в трактатах Витрувия и пр.). Ведь для того, чтобы удостовериться, бытовал или нет тот или иной феномен в глубоком прошлом, есть не только тексты (ими в основном и ограничиваются филологи, узурпировавшие право судить о степени развития древних культур), но и другие свидетельства — архитектурные сооружения, скульптурные группы, гробницы, фризы, ремесленные изделия, оружие, художественные росписи и пр.» [8].

Сороко приписал грекам и египтянам экстрасенсорные способности, которыми хвастаются некоторые нынешние гармонисты. По его мнению, они прозрели не только тайну иррационального числа 0,618…, но и всю бесконечную череду чисел Фибоначчи. Ведь не зря же они обожествили 7 и 22, наверняка они почувствовали их связь с трансцендентным числом «пи». Относительно ряда Фибоначчи Сороко установил новый исторический факт: «Фибоначчи, чьим именем он назван, путешествуя по миру, позаимствовал его у арабов, а те — из более древних, античных источников» [8].

Так сочиняются мифы — легко и просто! Читателю следует знать, что Леонардо Пизанский не придавал числам, появившимся в его задаче о кроликах, никакого сакрального значения. Их связь с золотой пропорцией была установлена много позже, а главное, связь эта не является столь уж тесной. Как утверждает С.Л. Василенко, золотое сечение и числа Фибоначчи существуют независимо друг от друга, их связь через предел, если можно так выразиться, достаточно мимолетная. Гораздо глубже золотое сечение связано с другими сечениями отрезка, а числа Фибоначчи — с другими числовыми рядами.

Для философа эти математические нюансы, возможно, недоступны. Но посмотрите, как раскрепощен Сороко в своих допущениях. Возможно, Фибоначчи и общался с арабами, однако, почему они должны восхищаться указанной числовой последовательностью? И потом, в чём состоит логика его опровержения? Белянин, анализируя «Тимея» Платона и «Начала» Евклида, доказывает, что греки, а с ними, очевидно, и арабы, не акцентировали свое внимание на золотом сечении и числах Фибоначчи. Сороко же, опровергая его, закладывает в качестве своей главной посылки утверждение, что древний мир почитал золотое сечение и числа Фибоначчи как божественные символы. Естественно, у читателя напрашивается вопрос, из какого культурно-исторического документа это вытекает?

Сороко, может быть, и философ, но очень уж мистического склада. В его пифагорейско-платоновском учении, а также учениях Стахова и прочих гармонистов-золотоискателей делается упор именно на этой стороне дела. В связи с этим Белянин приводит слова Г. Тимердинга: «…мы должны остерегаться мистического толкования этого отношения [золотого сечения], которое не требуется для понимания действительных законов искусства и психологических условий художественных впечатлений, а лишь препятствует правильному пониманию этих условий и направляет на ложный путь, вследствие необоснованного введения метафизического элемента».

«…метафизическое толкование золотого сечения, конечно, не подходит для современного критического ума. Оно отзывается суеверием и недостаточно — наукой. Нам оно представляется только замечательным заблуждением человеческого пытливого ума, но не серьезным знанием» [24, п. 10].

Смысл последнего абзаца перекликается с заявлением Белянина: «…мне не нужны уводящие в сторону подсказки непризнанных пифагоров XX века, которых развелось, как детей лейтенанта Шмидта» [24, п. 8]. Критик возмущен «многочисленными причитаниями» Стахова типа: «"установившееся мнение", "традиционная точка" и т.п. Подобные словосочетания в данном конкретном вопросе просто абсурдны. Во-первых, история золотой пропорции только в последнее время дает первые ростки. Только начинается постепенное наращивание правдивых знаний об ее далеком прошлом. Поэтому для истории золотой пропорции и ее приложений имеет большое значение, знал ли Пифагор, Платон и другие древнегреческие математики и мыслители о золотой пропорции. Во-вторых, для науки нет ничего раз навсегда установленного, безусловного, святого. В здоровой науке всегда торжествует авторитет разума, а не "традиционные" кочки зрения» [24, п. 7].

В публикациях Белянина дано немало жестких и нелицеприятных характеристик манере работы Стахова. В частности, он писал о его «дилетантизме» и «непрофессионализме», которые «с неизбежностью порождает "зашкаленную", параноидальную логику мышления при решении непосильных проблем» [24]. Но почему-то Сороко, выступившего в роли адвоката Стахова, вывело из себя словосочетание «многочисленные причитания». Увидив его, он вспылил: «А вот "многочисленные причитания" — это уже хамство, а с хамами нигде не спорят, их просто "опускают" на всех уровнях социума — от "сидящих на параше", до нежащихся в роскошных золотых бассейнах» [8].

Человек, использующий лагерный жаргон, вряд ли поймет язык интеллигента. Сороко просто не понял содержание написанного им текста: «Что же использует наш оппонент в порядке критики позиции А.П. Стахова? — вопрошает белорусский философ. — Какие-то строчки из Державина о "Всевышнем Боге", из Плеханова — о ниспровержении системы Гегеля, — а также "творения" Козьмы Пруткова (?!), написанное Агнией Барто для детей стихотворение "Снегирь" (?!) и пр. Увы, смешно и грустно, но таковы и основа "полемических доводов", и образцы "логики" оппонента, в недостатке которой он упрекает "г-на Стахова". Вот уж, поистине, оборотистый малый» [8].

Странно, но мне эти отсылки к классикам как раз показались удачными. Разъясним уместность использования цитаты из Плеханова. Белянин пишет: «Прежде всего, удивляет, что автор [Стахов] не счел нужным в который раз проанализировать мой текст по существу поставленной проблемы и указать хотя бы на одну какую-либо мою ошибку при исследовании текста Платона. Этим автор нарушает фундаментальный принцип теории честного спора. Одна из формулировок такого спора принадлежит Г.В. Плеханову, показавшему ее на примере отношения к философии Гегеля:

"Тот, кто хочет уничтожить этого философа во мнении мыслящих людей, тот должен опровергнуть теоретическую часть его учения. Только после опровержения этой части он имеет право указать на то практическое стремление, или на то влияние общественной среды, которое побудило мыслителя исказить истину или помешало ему додуматься до нее"» [24, п. 1].

Что здесь не понравилось Сороко? По-моему, всё очень к месту. Примерно ту же самую мысль Белянин повторил ближе к концу своей статьи, но проиллюстрировал ее уже детским стихотворением Агнией Барто «Снегирь». Он пишет: «…как представитель не менее точных наук, чем тех наук, которыми занимается г-н Стахов, и который не ответил ни на один вопрос моего Открытого письма [23], заканчиваю это последнее свое Открытое письмо [24] четверостишием из стихотворения Агнии Барто "Снегирь": "Но у мамы есть привычка //Отвечать всегда не то: //Говорю я ей про птичку, //А она мне про пальто» [24, п. 12].

А здесь, что не понял Сороко? Наконец, проясним ситуацию с Державиным.

Пафосный мистицизм гармонистов заставляет их многие обычные слова писать с большой буквы. Выглядит это комично, но у Белянина заглавные буквы вызвали легкое раздражение: «Иначе, как издевательством над русским языком нельзя воспринимать тексты, которые пестрят сплошными прописными (заглавными) буквами. Это уже не научный язык, а какая-то дикая смесь языка буддо-каббалистов с шаманством.

Что писать с какой буквы давно решил русский поэт Г.Р. Державин: "Восстал Всевышний Бог, да судит Земных богов во сонме их…".

Этим решен вопрос, что небесное, а что — земное. В советское время Бога писали с маленькой буквы, а Политбюро или Рабочее-Крестьянский Красный Флот — с большой. Можно конечно впасть в детство и сказать с наивностью, что в стихах Г.Р. Державина все боги, в общем-то, равны, просто один из них начальник. В таком случае объяснимо появление в текстах моего оппонента перлов в виде "Член Клуба Золотого Сечения"!» [24, п. 3].

«Реплику с мест» (каких мест?) Эдуард Сороко закончил возмущенной тирадой: «Здесь мы коснулись лишь краешка эссеподобного "опуса" Белянина: на большее нет ни времени, ни желания, ввиду очевидной бесплодности, бессмысленности ("бязглуздiца" — говорят в таких случаях белорусы) и никчемности этого занятия — дискутирования по очевидным для специалиста вопросам.

Не хочется тратить время на пустоту, на отмеченные клиническим симптомом пассажи оппонента и во всех смыслах ущербные его суждения, на непотребные и далекие от нормального диспута выражения, на неадекватный язык и прочие несуразности, которыми пестрит этот его материал. Последнее и свидетельствует о расщепленности внутреннего, когнитивного мира оппонента, о подтачивающих и пожирающих его комплексах — этих социопсихологических монстрах, природа которых — в чрезмерной центрированности его сознания на слове, внешнем выражении понятия» [8].

На этой звонкой ноте я закончу пересказ сравнительно легкой для умственного усвоения фазы спора между Беляниным и Стаховы, которому помогал Сороко.

От Пифагора до Платона через Евдокса

Пифагор дал толчок математическим знаниям, увязав их с мистической символикой, имеющей минимальное отношение к науке. Постепенно в рамках его мистико-символической математики развились еще два направления, которые можно назвать формально-логической и конструктивно-модельной математикой. Без большой модернизации пифагорейское направление получило продолжение в Платоновской Академии, формально-логическое развивали сначала элейская школа физиков-логиков (Ксенофан, Парменид, Мелисс и Зенон), затем Аристотель и его школа перипатетиков, а конструктивно-модельной занимались Архит, Евдокс и его школа, яркими представителями ее были также Эратосфен, Архимед и Гиппарх. Родоначальники всех трех направлений — Платон, Евдокс и Аристотель — беспощадно критиковали друг друга, хотя все они когда-то вышли из одной эзотерической школы Пифагора. Физики-атомисты в лице Ливкиппа и Демокрита стояли ближе к конструктивистам, а физики-элементники — к Аристотелю.

В "Началах" Евклида, о жизни и взглядах которого мы практически ничего не знаем, собраны достижения всех трех направлений мысли за три предшествующих века. В силу разрабатываемой нами темы, больше всего нас интересует пифагорейско-платоновский подход. Ниже мы увидим, каким образом из него формируется наиболее эффективное и, по существу, единственно верное направление, которое здесь названо конструктивным. Более подробно о трех направлениях мысли читайте в разделе Логика и математика как два метода познания и последующих за ним разделах «Конструктивной математики».

Платон воспитан на традициях италийской школы, ведущей начало от философии Пифагора, которую подхватили и развивали такие выдающиеся мыслители как Эмпедокл, Эпихарм, Архит, Алкмеон, Гиппас, Филолай и Евдокс. Их жизненный путь и труды описаны в книге VIII [17] Диогена Лаэртского (Лаэрцкого). После Пифагора наиболее выдающимся философом был Эмпедокл 490 – 430 до Р.Х. (с годами жизни античных философоф существует серьезная проблема; подробности см. в разд. Первые греческие философы: Проблемы хронологии).

Диоген пишет: «Что он был слушателем Пифагора, говорит Тимей в IX книге [«Историй»], добавляя, что при этом он был, подобно Платону, уличен в плагиате [в присвоении учения Пифагора] и отстранен от лекций. Он и сам упоминает Пифагора в таких словах … Неанф говорит, что вплоть до Филолая и Эмпедокла пифагорики допускали на лекции [желающих], а после того, как Эмпедокл обнародовал их в своей поэме, приняли закон: никому из поэтов не разглашать; то же самое, по его словам, произошло с Платоном: ему тоже запретили [присутствовать на лекциях]» [17, VIII, 54 – 55] и [18, с. 331].

Последующие философы — Эпихарм, Архит, Алкмеон, Гиппас и Филолай — тоже слушали непосредственно Пифагора, а Евдокс, как и Платон, уже только его последователей. Диоген сообщает, что Архит Тарентский (Archytas Tarentum, 428 – 350) «своим письмом вызволил Платона, когда Дионисий (Dionysius) готов был его казнить. Всяческими своими добродетелями вызвал он всеобщее восхищение и был над своими согражданами военачальником семь раз, тогда как другие по закону не военачальствовали более одного года. Платон написал ему два письма после того, как Архит первый написал ему так…» [17, VIII, 79].

Тарент — полис Великой Греции, область южной Италии, находящейся под юрисдикцией Афин. Платон многократно наведывался в этот город, в котором Архит возглавлял италийскую лигу в качестве стратега-императора. Когда он прибыл туда в третий раз (361 г.) Дионисий II из каких-то своих политических соображений замыслил его убить, но Архит заблаговременно предупредил философа, чем спас ему жизнь. Архит занимался многими науками, но главной считал пифагорейскую математику, которая в то время имела четыре подраздела: арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Его называют основателем механики; ему приписывают создание механической птицы и какой-то детской игрушки, о которой рассказал Аристотель.

Архит «первый упорядочил механику, — пишет Диоген, — приложив к ней математические основы, и первый свел движение механизмов к геометрическому чертежу. Он пытался через сечение полуцилиндра получить две средние пропорциональные для удвоения куба. А в геометрии он первый открыл куб, как заявил Платон в "Государстве" [VII 528b]» [17, VIII, 83].

В [18] приведены фрагменты из сочинений Птолемея («Гармоника»), Евтокия («О сфере и цилиндре Архимеда»), Боэция («О музыке»), Порфирия (Комментарии), в которых цитируются сочинения Архита «О математических науках» и другие. В трактате «О музаке», Архит рассказывает о трех типах пропорциях: арифметической, геометрической и гармонической (субконтрарной), а также о трех типах музыкальных интервалов:

(5/4) · (36/35) · (28/27) = 4/3 — энгармонический,

(32/27) · (243/224) · (28/27) = 4/3 — хроматический,

(9/8) · (8/7) · (28/27) = 4/3 — диатонический.

Однако наиболее полное представление о его математических достижениях дают в книге VII Евклидовой компиляции.

«Тимей» Платона по стилю и по содержанию сильно отличается от всех других его диалогов. Не раз в Древние и Новые времена высказывались подозрения в плагиате. Те же обвинения находим мы у Диогена: Филолай «написал одну книгу, ее-то (говорит Гермипп), по словам кого-то из писателей, Платон по своему приезду в Сицилию к Дионисию купил у родственников Филолая за сорок александрийских мин и списал из нее "Тимея"; а другие говорят, будто Платон получил ее в подарок за то, что вызволил у Дионисия из-под стражи одного юношу из учеников Филолая» Филолая, в свою очередь, обвиняли в том, что он первый обнародовал пифагорейские книги под заголовком «О природе». Диоген сообщает, что у Филолая «Платон просит Диона купить пифагорейские книги» [17, VIII, 84].

Однако самым выдающимся математиком из названного ряда последователей Пифагора является Евдокс Книдский (Eudoxus Cnidus, 408 – 355 до Р.Х.), которого Диоген называет также астрономом, геометром, врачом и законодателем. Геометрии он учился у Архита, врачеванию — у Филистиона (Philiston) Сицилийского, а философии — у пифагорейцев и Платона. Он не раз бывал в Таренте — своеобразной пифагорейской Мекке, в Сицилии и, конечно же, в Афинах.

«В Египте, — пишет Диоген, — обрив подбородок и брови, он пробыл год и четыре месяца. … Оттуда он явился софистом в Кизик (Cyzicus) и на Пропонтиду, а также к царю Мавсолу. И затем, наконец, воротился он в Афины со множеством учеников назло Платону, как уверяют некоторые, ибо когда-то вначале Платон его отверг. А иные говорят, будто он на пиру у Платона первый расставил ложа гостей полукругом, потому что было слишком многолюдно. И Никомах, сын Аристотеля, говорит, что наслаждение он почитал за благо. В отечество он воротился с великим почетом, как то явствует и из постановления в его честь. Слава его распространилась по всему эллинству, — и за те законы, которые он написал для сограждан…» [17, VIII, 87 – 88].

В юности Евдокс был беден, но стараниями добился богатства, уважения и почета. На южном берегу Мрамрного моря в городе Кизик он построил обсерваторию и основал школу, оказавшейся очень популярной. Им был составлен первый звездный каталог и модель солнечной системы (планетарий), в которой перемещения Солнца, Луны и пяти известных планет вокруг Земли моделировалось комбинациями круговых движений 27 взаимосвязанных сфер.

Впоследствии его небесный глобус был модифицирован: в модели Каллиппа (IV в. до Р.Х.) входило уже 34 сферы, в модели Аристотеле — 56 сфер (Метафизика, XII, 8). Гиппарх (Hipparchus, II в. до Р.Х.) отказался от предложенного Евдоксом принципа гомоцентрических сфер в пользу теории деферентов и эпициклов, которая позволила более точно отобразить неравномерность видимого движения небесных тел. Камнем преткновения для античных астрономов был Марс, движущийся по сильно вытянутой орбите, которая не поддавалась геометрическому и кинематическому моделированию.

Платон критиковал Евдокса, а до этого Архита, за кощунственное использование земной механики в деле объяснения божественного движения небесных светил. Именно Платон тормозил развитие механики, настаивая на объяснении движения планет с помощью набора круговых движений, хотя теория конических сечений в его время уже существовала. Этот его предрассудок был преодолен только в XVII столетии Иоганном Кеплером, пустившим Марс вращаться по эллипсу. Из-за космической теологии античный мир отверг и гелиоцентрическую модель мира Аристарха Самосского (320 – 250 гг. до Р.Х.).

Теория Евдокса изложена в пятой книге «Начал» Евклида. Он намного превзошел Платона в понимании числа, которое он тесно связывал с геометрией. Платону, идущему след в след за Пифагором, нелегко было выражать длину отрезка, площадь поверхности, объем тела и их геометрические отношения через число, что чувствуется и по «Тимею». Евдокс же близко подошел к теории действительного числа, напоминающую теорию Дедекинда. Она уравняла в правах иррациональные и рациональные числа. После него уже не оставалось теоретических преград для сравнения объемов таких тел как конус, цилиндр и шар, а также нахождения их объемов. Евдокс начал, а Архимед закончил решение задач, связанных с этими тремя телами. «Неразрешимые» проблемы квадратуры круга и удвоения объема куба тоже, в принципе, были решены численно, отсутствовало только их инструментальное решение.

Евдокс недолюбливал Платона, так как считал его слабым аналитиком, а Платон болезненно относился к славе Евдокса и его школы. Повторное посещение Платоновской Академии произошло где-то около 368 года. Вскоре после этого Евдокс вернулся в свой родной город. По возвращении в Книд великий ученый был избран жителями на важный пост в законодательный орган. Однако Евдокс продолжал писать книги и читать лекции по богословию, астрономии и метеорологии. Более того, по его указанию вблизи Книд и Гелиополя (Heliopolis) были построены две больших обсерватории, оснащенных прекрасными измерительными приборами. Его ученики все ночи напролет отслеживали движение планет и звезд. По результатам наблюдения учитель написал две больших книги, о которых упоминает Гиппарх. Умер Евдокс в родном городе в зените славы, которая в то время затмила славу Божественного Платона.

*
*   *

Из-за чего, собственно, разгорелся весь этот сыр-бор? Как я предполагаю, Белянина привели в замешательство «легенды», рассказанные Стаховым и его друзьями-золотоискателями о Пифагоре, Платоне и Евклиде, о которых мы с Вами, дорогой читатель, тоже наслышаны. Белянин решил в работе [22] проанализировать «Тимея» — единственное обширное космологическое или, если можно так выразиться, естественнонаучное сочинение Платона — с целью найти в нем опровержение или подтверждение словам Стахова. Однако нам сейчас удобнее начать не с анализа [22], а с язвительного выпада, взятого из письма [24], в котором, кажется, ставится под сомнение идейная связь Платона с Пифагором и пифагорейцами. Вот это место.

«Пифагореец Платон, — пишет Белянин, — в своих многочисленных диалогах только один раз упоминает имя Пифагора и только один раз слово "пифагорейцы". А не пифагореец А.П. Стахов упоминает Пифагора так же часто, как относительно недавно советские ученые упоминали труды классиков марксизма-ленинизма. Видимо делается это для какой-то цели. Смею предположить, что Вы делаете это по идеологическим причинам. Без Пифагора и других громких имен, без Египта и без Леонардо да Винчи история золотого сечения лишится ореола древности, что приведет к существенному изменению Вашей идеологии по внедрению изучения золотого сечения в школах. Так Вам нужна правда о золотом сечении или "красивая сказка", которую Вы активно стремитесь внедрить в школьную систему образования, что вызывает особую озабоченность многих» [24].

Действительно, согласно именному указателю к сочинениям Платона [5], формально Белянин прав. Легко проверяется и находится следующее место. В «Государстве» Сократ в беседе с Главконом, говорит: «сам Гомер при жизни руководил чьим-либо воспитанием и эти люди ценили общение с ним и передали потомкам некий гомеровский путь жизни, подобно тому как за это особенно ценили Пифагора, а его последователи даже и до сих пор называют свой образ жизни пифагорейским и явно выделяются среди остальных людей» [5, т. 3, 600a-b].

Всё, других упоминаний нет. Однако было бы грубой ошибкой считать Платона индифферентным к учению Пифагора, тем более, противником его философии. Несомненно, он был его ревностным поклонником и последователем, хотя наряду с 800-летним существованием Платоновской Академии долгое время жили своею тайной жизнью пифагорейская и неопифагорейская школы.

Белянин пытался, насколько это позволял ему опыт текстолога, проанализировать содержание «Тимея» в переводе С.С. Аверинцева. В этом диалоге фигурируют четыре персонажа: Сократ, Тимей, Критий и Гермократ. Сократ представил главного героя так: «Вот перед нами Тимей: будучи гражданином государства со столь прекрасными законами, как Локры Италийские и не уступая никому из тамошних уроженцев по богатству и родовитости, он достиг высших должностей и почестей, какие только может предложить ему город, но в то же время поднялся, как мне кажется, и на самую вершину философии» [5, т. 3, 20а].

Аверинцев поясняет: «Локры Италийские славились своим законодательством, установленным Залевком, учеником Пифагора, считались идеальными законодателями в городах Сицилии и Южной Италии. В италийских городах пифагорейского союза законодателями и политиками часто были философы, например Пифагор, Филолай, Архит, и их ученики. Тимей тоже, как известно, занимал высокую государственную должность» [5, т. 3, с. 607]. Таким образом, Тимей — это довольно известный философ-пифагореец, написавший «Математику», «О жизни Пифагора» и «О природе» на пифагорейский манер (ничего из написанного им до нас не дошло). Если Стахов и его друзья говорят о Платоне как приверженцы всеобщей гармонии, то можно смело утверждать о причастности к всеобщей гармонии Пифагора и пифагорейцев.

Прокл говорит, что Платон «вкладывал в уста каждого философа гипотезы, вполне подходящие собственным занятиям того: устами Тимия он излагает физические учения, устами Сократа — представления о государственном устройстве…» [11, I.36.24]. «… Всю науку о природе заключает в себе "Тимей", что признается всеми — даже теми, кто менее всего способен к пониманию» [11, I.32.16]. Платона, как и Пифагора, отличает от других философов религиозно-эзотерическая глубина. По этому поводу Прокл пишет: «… Вся эллинская теология является потомком орфической мистагогии. Первым научился божественным оргиям у Аглаофема Пифагор; позднее Платон почерпнул совершенное знание о них из пифагорейских и орфических книг. Действительно, возводя в "Филебе" теорию двух видов начал к пифагорейцам, он называет их "живущими вместе с богами" и подлинно блаженными. <…> В "Тимее", излагая учение о подлунных богах и порядке их следования, <Платон> ссылается на мнение теологов и именует их "детьми богов"» [11, I.25.25 – I.26.12]. Платоновский Тимей говорит: «наш космос есть живое существо, наделенное душой и умом, и родился он поистине с помощью божественного провидения» [5, т. 3, 30b].

Странно, почему Платон в своих сочинениях не ссылается явно на Пифагора, где это напрашивается сделать. По всей видимости, это связано с двумя причинами. Во-первых, он следовал желанию самого Пифагора, о котором мы, возможно, так ничего и не узнали бы, если бы нам не поведали о его тайной жизни и учении пифагорейцы Филолай и Эмпедокл, нарушившие клятву закрытого сообщества. Во-вторых, самого Платона публично обвиняли в плагиате (об этом ниже), поэтому ему было неприятно произносить имя тех, у кого он крал идеи. В силу этой черты характера Платон ни разу в своих сочинениях не назвал имя Демокрита — своего идейного противника, очень известного в его время естествоиспытателя, математика и философа.

Таким образом, подводя итог по разбору реплики Белянина в адрес Стахова, можно уверенно сказать: связь между учениями Пифагора и Платона, существует, причем достаточно определенная и тесная. Сам Белянин об этом, конечно, знает, коль читал Лосева, но его полемическим трюком неискушенный читатель может быть сбит с толку. Чтобы этого не случилось, мною и были даны эти разъяснения, полезные сами по себе, без оглядки на чьи бы то ни было реплики.

А.Ф. Лосев: анализ «Тимея»

В «Анализе мифа» [22] внимание Белянина привлекло платоновское слово «analogia», переведенное Цицероном как «proportio». Оба указанных мыслителя, говорит критик, разделяла не только языковая греко-латинская граница, но и культурно-историческая. Платон жил совершенно в другую эпоху, чем Цицерон, тем более, ее трудно сравнивать с эпохой Возрождения, когда жил Лука Пачоли, или нашим временем, в котором живет Стахов. Белянин заверяет в первую очередь своего оппонента, а вместе с ним и нас, что в «Тимее» Платон указывает именно аналогию отношений: огонь относится к воздуху, как воздух относится к воде или вода к земле. Рассуждения вокруг этих отношений, говорит он, создали у гармонистов впечатление, будто древнегреческий философ рассуждает о золотой пропорции, но это только иллюзия, на самом деле он говорит об аналогии.

Оставим предикат «золотая» пока без внимания, сначала сосредоточимся на термине «пропорция». Мне показалось, что нет принципиальной разницы между аналогией и пропорцией в приведенном Беляниным тексте. Вот это место в переводе Лосева.

«Двух тел самих по себе нельзя как следует связать воедино без третьего, — пишет Платон, — потому что для этого в середине между ними обоими непременно должна быть какая-нибудь связь, которая бы их соединила. Из связей же самой лучшей, конечно, могла быть та, которая образовала бы наиболее цельное единство из себя и соединяемых. Но лучше всего способна сделать это пропорция (analogia), потому что, когда между тремя какими бы то ни было величинами, — между числами ли, массами ли или силами — средняя так относится к последней, как первая относится к ней самой и как последняя относится к средней, так точно середина относится к первой, тогда выходит, что средняя становится и первою и последнею, а первая и последняя обе становятся средними, — словом, что всякая из них необходимо представляет собою то же самое, что и всякая другая, и что они, будучи одним и тем же в отношении друг к другу, все вместе составляют собою единое целое» [5, т. 3, 31c – 32a].

Усомнившись в большой разнице между словами «пропорция» и «аналогия», я не поленился заглянуть в лосевский многотомник «Истории античной эстетики», чтобы узнать, как он понимает эти термины. В первом же томе в подразделе «Пифагорейско-платоническое учение о пропорциях» читаем: «Платоновский термин "analogia" Цицерон первый — и очень удачно — перевел как "proportio". Так как платоновская аналогия — это по существу равенство двух отношений, то и мы здесь будем употреблять термин "пропорция". Таково же понимание этого термина и в современной математике» [12, т. 1].

Таким образом, Белянин в определенном смысле занял позицию противоположную позиции Лосева, причем далеко не выигрышную.

Однако, прочитав до конца указанный выше подраздел, я всё же пришел к выводу, что Белянин не проводил сколько-нибудь глубокого исследования «Тимея» самостоятельно, а воспользовался готовыми результатами анализа, сделанного Лосевым, причем заметно изменив его выводы. Стахов тоже опирался на высказывания Лосева, сделанные им в другое время и несколько по иному поводу. Я не большой поклонник этого православного неоплатоника, как в личностном плане, так и философском, но мне показалось, что спор между Стаховым и Беляниным во многом разрешится, если мы тщательно разберемся с его позицией на этот счет.

Алексей Петрович Стахов

В опровержение главного вывода из статьи Белянина [22] Стахов перевел и опубликовал 19 июня 2006 года на сайте «Академии Тринитаризма» статью О'Коннора и Робертсона «Золотая пропорция» [6], которой предпослал небольшой вводный текст. Предисловие Стахова читается с трудом, так как оно набрано мелким шрифтом ярко-оранжевого цвета (прямая ассоциация с Оранжевой революцией на Украине). В нем сказано: «Некоторые "новые русские исследователи" подвергают большим сомнениям роль Золотого Сечения в культуре Древней Греции и Возрождения. На основании изучения "первоисточников" делается попытка доказать, что Пифагор, Платон, Евклид (и даже Леонардо да Винчи) вообще ничего не знали о Золотом Сечении. В этом отношении весьма характерной является статья В. Белянина…».

Далее идет вопрос: «Может быть, г-н Белянин объяснит популярно членам Международного Клуба золотого сечения, в чем состоит различие между задачей о "делении отрезка в крайнем и среднем отношении", сформулированной древними греками, и задачей о "Золотой Пропорции" в ее современном толковании? … И как теперь мы должны понимать знаменитое высказывание Иоганна Кеплера: "В геометрии существует два сокровища — теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем".

А что прикажете делать с высказыванием Алексея Лосева, — продолжает Стахов, — которое по существу сводит на нет все потуги г-на Белянина по обоснованию мифа о том, что Платон не знал "Золотого Сечения": "С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии, — пишет Лосев, — мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — Золотого Сечения... Их (древних греков) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть, используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия".

Так что же теперь делать с высказываниями Кеплера и Лосева? — еще раз задает вопрос Стахов. — Выбросить на свалку высказываний сомнительного научного содержания в связи с новым толкованием "Золотого Сечения" "по Белянину"? Или причислить Кеплера и Лосева к "дилетантам", не изучавших "первоисточников", вместе с Цейзингом, Корбюзье, Эйзейнштейном?» [6].

Алексей Федорович Лосев
(23.09.1893 — 24.05.1988)

В ответном письме [23] Белянин пишет: «Вы г-н Стахов, любите часто в своих работах приводить высказывание А.Ф. Лосева [частично цитирует его]. И я приведу высказывание А.Ф. Лосева, но другое: "Чтобы покончить с пифагорейско-платоновским учением о пропорциях, обратим внимание еще на одно интересное обстоятельство, которое в науке не раз переоценивалось. Дело в том, что частным видом геометрической пропорции является так называемое золотое деление, начало учения о котором часто приписывали "пифагорейцам" и развернутую теорию которого находили у Платона. В эпоху Возрождения эта "божественная пропорция" фигурировала именно в пифагорейско-платоническом обличии. Если обратиться к первоисточникам, то отчетливых материалов о сознательно проводимой теории золотого деления у Платона мы не найдем"» [23].

При этом Белянин указывает источник, откуда берется данный отрывок. Это — первый том многотомного исследования Лосева «История античной эстетики», который озаглавлен «Ранняя классика» (М.: Ладимир, 1994. Стр. 271). Стахов же не указал источника приведенной им цитаты из Лосева, за что получил подзатыльник от своего оппонента.

В самой ранней публикации по данной теме [21] Белянин приводит еще одну цитату из Лосева: «Подводя итоги рассмотрению пифагорейско-платоновского учения о пропорции можно сказать следующее.

Во-первых, если поставить вопрос о том, дано ли у Платона определение самого понятия пропорции как отвлеченно эстетической формы, то на такой вопрос приходится ответить вполне отрицательно. Никакой эстетической теории пропорций как пропорций у Платона мы не находим… Пропорция для Платона есть пропорциональное бытие и потому характеризуется свойствами этого бытия.

Во-вторых, понимаемая так пропорция оказывается чрезвычайно широким, можно сказать, всеобъемлющим бытием. Она охватывает все самые существенные стороны и виды бытия». [Idem. Стр. 273].

«Неторопливые размышления после всех приведенных цитат, — заключает Белянин, — должны помочь заинтересованному читателю добраться до истины и ответить на вопрос: знал ли Платон золотую пропорцию?» [21]. Однако из этой и выше приведенной цитат, выхваченных Беляниным из Лосева пока еще рано делать какие-либо выводы.

*
*   *

По поводу приведенной Стаховым цитаты из Лосева в одной из статей Э.М. Сороко 2001 года мы находим ответ на вопрос об источнике. Сороко пишет: «Еще в 1927 году А.Ф. Лосев пришел к выводу: "Закон золотого деления должен быть диалектической необходимостью. Это — та мысль…, которую, насколько мне известно, я провожу впервые» [13]. Далее Сороко приводит процитированные в статье [6] слова Лосева, указывая источники [14] и [15]. Добавим от себя, самая первая большая работа Лосева 1927 года вошла в сборник [16], но мысли, высказанные там, более развернуто и полно разъясняются им в другом месте.

Чествование А. Ф. Лосева в связи с 90-летием со дня рождения в МГПИ им. В. И. Ленина. А. А. Тахо-Годи, А. Ф. Лосев; Михаил Ефимович Нисенбаум, студент-искусствовед, и Игорь Иосифович Маханьков, студент философского факультета, молодые друзья Лосева. 12 декабря 1983 года.

Процитируем то место из «Тимея», где Платон поясняет, как демиург рассек космос на гармонические пропорции: «прежде всего [он] отнял от целого одну долю, затем вторую, вдвое большую, третью — в полтора раза больше второй и в три раза больше первой, четвертую — вдвое больше второй, пятую — втрое больше третьей, шестую — в восемь раз больше первой, а седьмую — больше первой в двадцать семь раз. После этого он стал заполнять образовавшиеся двойные и тройные промежутки, отсекая от той же смеси все новые доли и помещая их между прежними долями таким образом, чтобы в каждом промежутке было по два средних члена, из которых один превышал бы меньший из крайних членов на такую же его часть, на какую часть превышал бы его больший, а другой превышал бы меньший крайний член и уступал большему на одинаковое число. Благодаря этим скрепам возникли новые промежутки, по 3/2, 4/3 и 9/8, внутри прежних промежутков. Тогда он заполнил все промежутки по 4/3 промежутками по 9/8, оставляя от каждого промежутка частицу такой протяженности, чтобы числа, разделенные этими оставшимися промежутками, всякий раз относились друг к другу как 256 к 243. При этом смесь, от которой бог брал упомянутые доли, была истрачена до конца» [5, т. 3, 35b – 36b].

Аверинцев так прокомментировал это место исключительно важное для понимания платоновской космологии: «Разделение целого тела космоса можно понять, только учитывая связь Платона с пифагорейской традицией символики чисел. Платон берет здесь две последовательности чисел: 1, 3, 9, 27 и 2, 4, 8, имеющих чисто телесный смысл, считая, что 1 есть абсолютная неделимая единичность, 3 — сторона квадрата, 9 — площадь квадрата, 27 — объем куба с ребром, равным 3. Таким образом, данная последовательность чисел выражает категории определенности, т. е. тождество физического и геометрического тел. Но так как космос не есть только определенное бытие, он включает в себя становление иного, неопределенного, текучего, которое тоже выражается через ряд чисел: 2, 4, 8 и помещается в общем ряду, чередуясь с числами, выражающими определенность. Таким образом, единое целое космоса составляет ряд: 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27, где совмещается единораздельность единого (одного) и иного, тождества и различия, прерывного и непрерывного, создающая трехмерное тело космоса. С точки зрения Платона, это и есть структура всех сфер, составляющих космос: если считать Землю находящейся в центре, то 1 — это самая близкая к Земле сфера Луны, 2 — сфера Солнца, 3 — Венеры, 4 — Меркурия, 8 — Марса, 9 — Юпитера, 27 — Сатурна (здесь кроме Луны и Солнца подразумеваются те 5 планет, которые были известны в античности).

См. также ниже, 38cd. Между числами данного космического семичлена существуют некие пропорциональные отношения, которые можно выразить, заполнив промежутки между указанными числами. Это можно сделать, только учитывая наличие трех типов пропорции (по пашей терминологии, прогрессии) — арифметической (1, 1½, 2), геометрической (1, 2, 4) и гармонической (1, 1/3, 2). Эти пропорции (прогрессии) соответствуют пифагорейскому учению о количественных отношениях музыкальных тонов; таким образом, космос Платона весь строится по принципу музыкальной гармонии (подробно об этом см. в кн.: Лосев А. Ф. История античной эстетики. Софисты. Сократ. Платон. С. 607—615). Кроме того, надо сказать, что вся космическая пропорциональность покоится на принципе золотого деления, или гармонической пропорции, когда целое так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. О разделении космического семичлена см. в кн.: Лосев А. Ф. Античный космос и современная наука. С. 202 (таблица)» [5, т. 3, с. 613 – 614].

Вот теперь по рекомендации Аверинцева дадим разъяснения из второго тома [12], точнее, из параграфа «Космос и его структура» (по Платону). Лосев пишет: «Наконец, для уяснения всей космической пропорциональной единораздельности, по Платону, необходимо обратить внимание еще и на то, что Платон пользуется здесь не чем иным, как законом золотого деления, который хотя часто и приписывается пифагорейцам и Платону, но о котором тоже нет ясного и общепринятого представления у исследователей. Если этот закон золотого деления заключается в том, что целое так относится к большей части, как большая часть к меньшей, то, очевидно, всякая геометрическая пропорция является формулой закона золотого деления. И, следовательно, взяв первый ряд чисел, 2, 4, 8 или 1, 2, 4, 8, мы получаем, идя от 8 к 1, деление согласно выставленному у нас сейчас закону. То же самое необходимо сказать и о втором ряде 3, 9, 27 или 1, 3, 9, 27, потому что и здесь целое (27) так относится к большей части (9), как эта большая часть относится к меньшей (3); та же операция и в ряде 9, 3, 1.

Таким образом, когда Платон захотел конструировать в числах свое понятие непрерывности (начиная с двоицы), он эту непрерывность понимал как построенную по законам золотого деления; и когда он то же самое делал с прерывностью, у него тоже получался закон золотого деления. Таким образом, пропорциональность всех делений внутри космоса конструируется у Платона с таким же упорством, как и пропорциональность всего космоса в целом. При этом нетрудно заметить, что закон золотого деления обеспечивает для Платона равенство всех соотношений в космосе в том случае, когда мы будем нисходить с космоса как неделимой цельности к отдельным его моментам и ступеням, содержащимся внутри него самого. Восхождение от 1 к 27 происходит не только музыкально, не только определенными тональными группами, но и равномерно ритмично, по закону золотого деления.

А.Ф. Лосев и А.А. Тахо-Годи.
Фотопортрет работы Павла Кривцова.
23 сентября 1984 г.

Такова общекосмическая пропорциональность того цельного космического тела, символом которого явился у Платона его числовой семичлен, и такова пропорциональность у него и всех отдельных прерывных моментов внутри космоса.

Что все эти рассуждения Платона имеют самое близкое отношение к эстетике, едва ли подлежит какому-либо сомнению» [12, т. 2].

Сейчас читатель, видимо, начинает понимать недостатки выборочного цитирования Беляниным отрывков из Лосева и Платона. «Тимея» критик цитировал дважды; оба фрагмента взяты им, практически из одного места, касающегося рассуждений Платона об отношении четырех стихий. Приведенный выше фрагмент взят из [22]; там же дается и его продолжение; цитируем: «если бы телу Вселенной надлежало стать простой плоскостью без глубины, было бы достаточно одного среднего члена для сопряжения его самого с крайними. Однако оно должно было стать трехмерным, а трехмерные предметы никогда не сопрягаются через один средний член, но всегда через два. Поэтому Бог поместил между огнем и землей воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху, и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он сопряг их, построив из них небо, видимое и осязаемое. На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто кроме лишь того, кто сам его сплотил» [5, т. 3, 32b – 32d].

Обращаем внимание читателя на то, что, рассказывая о физических пропорциях между стихиями, Платон одновременно увязывает их с геометрическими пропорциями, хотя и не в том смысле, который имел в виду Белянин. Беда этого критика заключается в том, что он пренебрег тем местом в «Тимее», где Платон устанавливает числовые пропорции одухотворенного космического тела. Они же оказались тесно переплетенными с геометрией, физикой и динамикой становления космоса, о чем тоже писал Лосев.

После прочитанной А Ф. Лосевым лекции «Творчество Боэция как переходный антично-средневековый феномен» в аудитории 2-го гуманитарного корпуса МГУ (слева направо): Юрий Алексеевич Ростовцев, журналист; Наталья Анатольевна Мишина, журналистка; Сергей Сергеевич Аверинцев, доктор филологических наук, философ культуры; А. Ф. Лосев; Григорий Петрович Калюжный, поэт; А. А. Тахо-Годи. Снимок 1985 г.

«И у Платона, и у пифагорейцев, и у неоплатоников, — пишет Лосев, — диада (или, как часто у них говорится, "неопределенная диада") есть принцип становления, в отличие от нестановящегося и устойчивого бытия, которое они называют "монадой". Однако становление это не нужно понимать в том отвлеченном смысле, как это понимается в новейшей философии. У греков диада еще слабо отличается от телесного или геометрического перехода от одной точки пространства к его другой точке. Но мало и этого. С понятием диады греки объединяли переход от одного измерения пространства к другому, т.е. от точки к линии, от линии к плоскости, к трехмерному телу. Дальнейшие эти свойства трехмерного тела тоже появлялись в результате применения обычной диады. Поэтому если от трехмерного тела вообще переходили, например, к теплому или холодному трехмерному телу, то получение и этого нового свойства тела тоже мыслилось в результате того становления, которое определялось все тем же принципом диады. Итак, античную диаду надо понимать не отвлеченно, а вполне материально, что тоже глубочайшим образом соответствует стихийному материализму древних» [12, т. 1].

Хочу заметить, что золотой принцип четверицы, составленный из двойных (1, 2, 4, 8) и тройных (1, 3, 9, 27) чисел, Платон распространил не только на космические стихии (огонь, воздух, воду, землю), но и на сущности духовной природы. В «Государстве» Сократ говорит о соотнесении разума, рассудка, веры и уподоблении примерно в тех же пропорциях. Галавкон, обращаясь к Сократу, говорит: «Рассудком же ты называешь, по-моему, ту способность, которая встречается у занимающихся геометрией и им подобных. Однако это еще не ум, так как рассудок занимает промежуточное положение между мнением и умом». Сократ ему отвечает: «Ты выказал полнейшее понимание. С указанными четырьмя [геометрическими] отрезками соотнеси мне те четыре состояния, что возникают в душе: на высшей ступени — разум, на второй — рассудок, третье место удели вере, а последнее — уподоблению, и расположи их соответственно, считая, что, насколько то или иное состояние причастно истине, столько же в нем и достоверности [действительности, реальности]» [5, т. 3, 511d-e].

Примечательно, что Платон использовал здесь геометрический образ — отрезок. В «Тимее» огонь и воздух легки, они стремятся вверх, вода и земля тяжелы, они стремятся вниз. В «Государстве» та же картина, но на других сущностях: разум и рассудок относятся к высшей сфере умопостигаемого, а вера и уподобление — к низшей. Платон устами Сократа разъясняет основные разделы диалектического метода — познания, рассуждения, веры и уподобления. Сократ: «Тогда нас удовлетворят, как и раньше, следующие названия: первый раздел — познание, второй — размышление, третий — вера, четвертый — уподобление. Оба последних, вместе взятые, составляют мнение, оба первых — мышление. Мнение относится к становлению, мышление — к сущности. И как сущность относится к становлению, так мышление — к мнению. А как мышление относится к мнению, так познание относится к вере, а рассуждение — к уподоблению» [5, т. 3, 534a].

Судя по всему, Белянина, как и меня, сильно раздражал эзотерический дух пифагорейско-платоновской философии, поэтому он и набросился на Стахова и его товарищей, хотя они искренне и честно служат древним культам Пифагора и Платона. По-доброму, Белянину нужно было признать отцов-основателей учения о всеобщей гармонии и нападать непосредственно на них, а не на их современных последователей. Но главная ошибка Белянина заключается в том, что он слишком положился на религиозного философа Лосева, который не мог квалифицированно судить о золотом сечении, поскольку не знал Евклида. Отсюда его метания, которые заметил даже Сороко [13].

Об античном математике мы поговорим позже, а сейчас процитируем вывод Белянина, который формулируется так: «отчетливой и сознательно проводимой теории золотой пропорции у Платона нет. Да она и никак не вписывается в одушевленный платоновский космос с его гармонией и красотой» [22].

Правильнее было бы сказать наоборот: в силу одушевленности космоса с его гармонией и красотой, у Платона теория золотой пропорции выходит далеко за геометрические рамки. В конечном счете, Стахов прав, апеллируя к Пифагору и Платону, ища у них философскую или, по словам Белянина, идеологическую подкладку для своих математических исканий всеобщей гармонии.

Стахов не стал углубляться в труды Лосева, а вместе с ним и Платона — не его это дело. Он двигался по наезженной колее, заняв выгодную для него традиционную позицию в этом вопросе. Но Белянин, взяв на себя обязательства тщательно разобраться в них, выполнил свою работу, как сейчас выяснилось, не достаточно хорошо. Стахов же переключился на «Начала» Евклида, где Белянин должен был чувствовать себя еще менее уверенно, чем на страницах «Тимея».

Прокл о "Началах" Евклида

Прежде чем перейти непосредственно к Евклиду Александрийскому (Euclid Alexandria) и его главному сочинению «Начала» или «Элементы» (латинизированное название) расскажем немного о досточтимом Прокле. Он нам послужит мостом, соединяющим Платона с Евклидом, хотя они оба жили до него. Благодаря известному гороскопу [20, 35], оставленному нам Мариным, даты жизни Прокла хорошо известны: рождения — 18 февраля 412 года и смерти — 17 апреля 485 года. Его родителями были Патрикий и Марцелла из Ликии. «Тотчас после рождения отец с матерью увезли его к себе на родину, в священную землю Аполлона Ксанфа, которая по божественному жребию стала и его родиной» [20, 6].

«…Еще занимаясь в Ликии у грамматика, он пустился в путь в египетскую Александрию, уже блистая всеми добродетелями, свойственными его нраву, и пленил ими там всех наставников». Софист Леонат «очень известный в Александрии среди своих собратьев по занятиям, не только допустил его к своим урокам, но и взял к себе в дом и кормил за одним столом с женой и детьми, словно и он был родным его сыном. Он познакомил его с теми, кто правил Египтом, и они тоже приняли его в свой дружеский круг, плененные остротой его ума и благородством нрава. Учился он и у грамматика Ориона, потомка египетского жреческого рода, немалого знатока своего дела, который сам сочинял книги и после себя оставил много полезного; посещал и уроки римских наставников, в недолгое время достигнув больших успехов и в их предметах. Начал он с отцовского дела - отец его снискал себе громкое имя, занимаясь в столице судом и правом. Но более всего в те юные годы, не отведав еще философии, увлекался он риторикою: здесь он стяжал большую славу, и товарищи и учителя смотрели на него как на чудо, потому что говорил он прекрасно, учился с легкостью, а видом и поведением похож был больше на учителя, чем на ученика» [20, 8].

«Сопутствуемый всей словесностью и всей философией, путеводимый богами и благими духами» [20, 10], явился он в Афины, в Академию Платона. «Риторы в Афинах готовы были драться за него, полагая, что и приехал он к ним; но он и тут пренебрег риторическими занятиями, а направился к первому среди философов, Сириану, сыну Филоксена» [20, 11]. «И Сириан, приняв его, [после кончины Плутарха] не только много помогал ему в науках, но и во всем остальном был ему товарищем, разделяя с ним философский образ жизни: он видел, что нашел в юноше такого слушателя и преемника, какого давно искал,- восприимчивого и к божественным заветам и к бесчисленным людским познаниям» [20, 12]. «Итак, менее чем за два года прочитал он насквозь все писания Аристотеля по логике, этике, политике, физике и превыше всего по богословию. А укрепившись в этом, словно в малых предварительных таинствах, приступил он к истинным таинствам Платонова учения… в бессонных трудах и заботах, переписывая сказанное Платоном в единый свод и со своими замечаниями, он в немногое время достиг таких успехов, что уже к двадцати восьми годам написал блестящие и полные учености "Записки о "Тимее"" и много других сочинений» [20, 13].

«Он и впрямь был тщеславен, но это не было в нем пороком, как в других: тщеславие было в нем обращено лишь к добродетели и благу, а без такого рвения вряд ли что бывает великое меж людей. Был он и гневлив, не спорю, но в то же самое время и кроток: успокаивался очень быстро и из гневного делался податливым, как воск. Он мог бранить собеседников и в то же время жалеть их, помогая им и заступаясь за них перед правителями» [20, 16]. «Жены и детей у него никогда не было - так он сам захотел, и хотя мог выбирать меж многими самыми знатными и богатыми невестами, однако, как сказано, сохранил свою свободу. … Из всех своих близких больше всего любил он Архиада и его родственников, во-первых, потому что он был потомком философа Плутарха, а во-вторых, потому что он был с ним связан пифагорейскою дружбою, как учитель и как соученик. Из двух этих привязанностей, упомянутых нами, вторая была даже более тесной» [20, 17].

«Вообще праздничные дни он отмечал все, даже чужеземные, по установленным их обычаям, и это было у него не поводом для праздности и чревоугодия, как у других, а случаем для общения с богом, песнопений и тому подобного. … он говорил, что философ должен быть не только священнослужителем одного какого-нибудь города или нескольких, но иереем целого мира. Вот каково было его самообладание во всем, что касалось очищения и благолепия» [20, 19]. «Очистившись, вознесшись над всем житейским, свысока глядя на всех его тирсоносцев… наш философ без труда прозрел все эллинское и варварское богословие, даже то, которое было затуманено баснословием, и вывел его на новый свет для всех, кто хотел и мог ему следовать… беспримерном своем трудолюбии он устраивал в день по пяти разборов, а порой и больше, и писал не меньше, чем по семисот строк» [20, 22].

От Сирена «воспринял он и начатки орфического и халдейского богословия… Однако, подвигнутый наставником, он уже после его кончины погрузился в его записи об Орфеевой мудрости, в бесчисленные писания Порфирия и Ямвлиха об оракулах, в халдейские книги того же рода и, наконец, в сами слова божественных оракулов; и это было путем его восхождения к пределу добродетелей, открытых человеческой душе,- к тем, которые божественный Ямвлих так прекрасно назвал боготворческими. Он собрал все толкования предшествующих философов и обработал их со всею должной тонкостью мысли, он свел воедино важнейшие сочинения о богоданных оракулах и халдейские комментарии к ним и на все это потратил пять лет. …» [20, 26]. «… О сочинениях его скажу лишь, что более всего он ценил свои записки о "Тимее", но и записки о "Феэтете" тоже любил. И не раз он говорил, что, будь на то его воля, он из всех старинных книг оставил бы только оракулы да "Тимея", а все остальное уничтожил бы для нынешних людей, которые только себе же вредят, подступаясь к книгам неискушенно и опрометчиво» [20, 38].

Вот, что писал Марин, следующий после Прокла схоларх. Добавим к сказанному им лишь то, что возглавил Академию Прокл, когда ему было 25 лет, и оставался схолархом до своей кончины в возрасте 75 лет. Как все пифагорейцы и платоники, он был религиозен. А.Ф. Лосев отмечает: «Прокл дни и ночи проводил в молитве, в "орфических" и "халдейских" очищениях и в исполнении всяких других религиозных обрядов» [9, с. 24]. Л. Ю. Лукомской привел распорядок дня этого философа: «Восход Солнца — молитва к Солнцу. Раннее утро — толкование различных произведений по программе. Позднее утро — самостоятельная работа. Полдень — молитва к Солнцу. Послеполуденное время — философские беседы с учениками и коллегами. Вечер — занятия, на которых из-за темноты не велись записи. Закат — молитва к Солнцу» [11, с. 514].

Лукомской называет «Платоновскую теологию» — главным трудом жизни Прокла. В отношении «Комментария к "Тимею"» Лосев высказался так: «Он поражает не только своими размерами, занимая в современных европейских изданиях больше тысячи страниц, но он свидетельствует как о глубине и разнообразии своих источников, так и о продуманной философской теории автора. Изложение пестрит десятками, если не сотнями разных цитат из прежних философов, постоянной тенденцией сопоставлять эти прежние взгляды и делать из них выводы, а также очень меткими и острыми формулами разнообразных диалектических конструкций. Это — во всех отношениях уникальное произведение не только для античности, но и для всей истории философии; и закончено оно было человеком, которому не было еще 28 лет» [9, с. 24].

*
*   *

Но «Комментарий к первой книге Евклида "Начала"», напротив, получился у Прокла не удачным, хотя и не бесполезным для нас. Собравшись комментировать, он, по-видимому, понял, что взялся не за свое дело. Поэтому, ретировавшись, написал: «Приступая к началу детального изучения, мы хотим предупредить возможного читателя, чтобы он не требовал от нас всех тех лемм, частных случаев и всего прочего в том же роде, о чем постоянно говорится у наших предшественников — мы этим сыты и поэтому будем касаться этого редко. Но все то, что относится к самому существу учения и направляет нас к философии в целом, об этом мы будем делать развернутые замечания, ревностно следуя за пифагорейцами» [10, II, 20].

Это было сказано в конце его, очевидно, незавершенного «Комментария». А вот, что говорилось в самом начале: «Необходимо, чтобы математическое бытие не принадлежало ни к самым первым наводящимся в сущем родам, ни к низшим и — в отличие от простого бытия — разделенным, но чтобы оно занимало среднюю область между не имеющими частей, простыми, несоставными и неделимыми реальностями и реальностями, состоящими из частей и находящимися во всевозможных сочетаниях и разнообразных разделениях: то, что в рациональных построениях геометрии вечно тождественно, неизменно и неопровержимо, показывает, что она стоит выше так называемых вещественных видов; но последовательность ее представлений, дробность предмета и выводимость одних ее начал из других низводит ее в более скромный разряд по сравнению с природой неделимой и целиком утвержденной в себе самой [прим. 1].

По этой причине Платон, я думаю, разделял знания о сущем в соответствии с первыми, средними и низшими реальностями, причем в неделимом он усматривал природу умопостигаемую, разделяющую умопостигаемые предметы без нарушения их всеобщности и простоты и превосходящую все прочие познания своей невещественностью, чистотой, единовидным постижением и прикосновенностью к сущему; а с делимыми, причастными к низшей природе, то есть со всей областью чувственно воспринимаемого, он соотносил мнение, удел которого — смутная истина; со средней же областью — а это и есть математические формы, которые ниже неделимой природы, но выше делимой — он соотносил разум. …

То, что относится к математике, получило в удел средний разряд: в силу раздельности оно более множественно, чем первые реальности, но в силу невещественности стоит выше последних; уступает в простоте первым, но превосходит последние точностью; более отчетливо, чем чувственно воспринимаемое, воспроизводит умопостигаемое бытие, но представляет собой подобие, причем воспроизводит неделимые и единовидные образцы сущего раздельно и множественно. Одним словом, оно помещено в преддверии первых видов и выявляет их единую, неделимую и плодотворную данность, но тем самым еще не возвышается над раздельностью и сложностью рациональных построений и реальностью, соответствующей подобиям, не превосходит разнообразие и последовательность мыслей в душе и не согласуется с самыми простыми и очищенными от всякой материи познаниями» [10, I, 1].

Ю.А. Шичалин в своем примечании 1 приводит выдержку из «Метафизики» Аристотеля: «...Платон утверждал, что помимо чувственно воспринимаемого и эйдосов существуют как нечто промежуточное математические предметы, отличающиеся от чувственно воспринимаемых тем, что они вечны и неподвижны, а от эйдосов — тем, что имеется много одинаковых таких предметов, в то время как каждый эйдос сам по себе только один». Вслед за этим он пишет: «Учение о срединном характере математического бытия излагается Ямвлихом в его "Общей математической науке", явно послужившей Проклу основой для написания первого введения», которое только что было процитировано нами. Серединное положение, о котором говорится в диалогах «Тимей» и «Государство», в определенном смысле можно назвать золотым, поскольку ему отводится более почетное место в иерархии сущностей, чем даже высшему началу.

«Платон произвел душу из всех математических форм, — пишет Прокл, — разделил ее сообразно с определенными числами и сочетал с помощью пропорций и гармонических соотношений, причем в ней, как в основании, поместил первозданные начала фигур, прямую и окружность, и мысленно привел в движение содержащиеся в ней круги. Поэтому все математические формы существуют в душе первично… Благодаря этим формам, душа есть сущность, и не следует считать, будто число в ней — множество единиц, и не следует понимать вещественно идею того, что прерывно, но все образцы видимых чисел, фигур и движений следует предполагать в ней в качестве живого и умного, следуя "Тимею", полно изложившему все ее рождение и создание на основе математических форм, а также установившему причины всего того, что в ней. А именно, «семь пределов» содержат начала всех чисел — линейных, плоских и объемных; из всех пропорций семь пропорций предшествовали в ней сообразно с ее причиной; точно так же начала всех фигур были созданы в ней сообразно с волей демиурга, а самое первое из всех движений, охватывающее все остальные, и движущее все остальные и движущее их, получило существование вместе с ней: потому что круг и круговое движение есть начало всех видов движущегося» [10, I, 6].

«Предметом математики как целостной науки следует считать, … область разумного, причем это не область мышления, постоянно утвержденного в себе самом, совершенного, самодовлеющего и обращенного к самому себе; но это и не область мнения и чувственного восприятия, потому что такого рода знания опираются на внешнее, действуют в соответствии с ним и не обладают причинами познаваемого. И хотя математика также начинает «припоминать» на основе внешнего, но завершает она производимыми внутри рациональными построениями… …она проходит междумирие бестелесных рациональных построений, то следуя от начал к результатам, то идя обратным путем, то от заранее известного к искомому, то от искомого к исходно известному. Поэтому — в отличие от ума — она не основывается во всяком исследовании на собственной полноте, но и не получает завершенности от другого, как чувственное восприятие, но посредством исследования достигает результата и от незавершенного восходит к завершенности» [10, I, 7].

Вместе с Платоном Прокл повторяет, что «математическое знание — это путь воспитания». «В самом деле, как воспитание с помощью безупречных нравов облагораживает душу и направляет ее к совершенной жизни, так и математика подготавливает наш разум и око души к вытекающему отсюда образу жизни». «Ибо свойственные математическим рациональным построениям красота и упорядоченность и присущие ее способу постижения неизменность и устойчивость приобщают нас к умопостигаемому и совершенно помещают в нем, вечно устойчивом, вечно сияющем в божественной красоте и вечно хранящем соподчиненность одного другому». «…Математика оказывает главнейшую помощь для философии, … она направляет представления ума к теологии». «Именно поэтому Платон многие удивительные учения о богах излагает нам посредством математических форм, и философия пифагорейцев, используя те же покровы, делает неявным доступ к тайнам божественных учений: таковы и вся "Священная речь", и Филолай в своих "Вакханках", и вообще весь способ Пифагора учить о богах» [10, I, 8].

«Пифагорейцы считают, что математика в целом должна делиться на четыре части: одну ее часть они выделяют в связи с количеством, другую — в связи с качеством, причем каждое из них рассматривают двояким образом: количество рассматривается само по себе и по отношению к другому, а величина — или в покое или в движении. Таким образом, арифметика рассматривает количество само по себе, музыка — в отношении к другому, геометрия — величину неподвижную, а сферика — величину саму в себе движущуюся. … Потому арифметика и старше музыки, что душа в ходе творения сначала разделяется, а потом уже связывается пропорциями, как это излагает Платон. … Геометрия предшествует сферике, как покой — движению» [10, I, 12].

Гемин Родосский, ученик Посидония, писавший в I веке до Р.Х., разделил математику «для души, занятой умопостигаемым», на арифметику и геометрию, а «для души, направляющей свою деятельность на чувственно воспринимаемое, — на шесть: механику, астрономию, оптику, геодезию, канонику, счет. Но, правда, они не считают, как некоторые, тактику частью математической науки: просто, по их мнению, она использует то счет — например, в исчислении полков; то геодезию — например, при делении и измерении площадок. Точно так же — и даже в большей степени — не являются частью математики естественная история и медицина.

А между тем авторы естественнонаучных сочинений часто используют математические теоремы, говоря о положении частей света или высчитывая величину и диаметры городов, или их окружности, иди периметры. И врачи многие свои положения разъясняют посредством такого рода подхода. Например, и Гиппократ и все, писавшие о временах года, с очевидностью обнаруживают пользу астрономии для медицины. Так вот, и тактик точно таким же образом будет пользоваться теоремами математиков, однако он — не математик, даже если он, желая, чтобы лагерь был наименьшей величины, придаст ему форму круга, или — с целью сделать его большим — сделает его четырехугольным или пятиугольным или даже многоугольным.

…Механика, являющаяся частью занятий чувственно воспринимаемым и вещественным, а в нее входит изготовление орудий, необходимых во время войны, в частности, те оборонительные орудия, которые, говорят, изобрел Архимед во время осады Сиракуз; … К механике относится и вообще все учение о равновесии и о том, что называется имеющим центр тяжести, а также изготовление сфер, воспроизводящих круговращение небесного свода, чем занимался в частности и Архимед, и вообще все учение о движении вещества. …

Еще остается астрономия, изучающая движение небесного свода, величины и формы небесных тел и светил, а также их расстояния от Земли и все прочее такого рода. … Частью астрономии является наука о гномонах, занятая измерением времени дня посредством установления солнечных часов; наука о небесных явлениях, исследующая различия в высоте и расстояния между звездами, а также обучающая множеству разных других вещей, рассматриваемых астрономией; и диоптрика, устанавливающая расстояния между солнцем, луной и остальными звездами с помощью соответствующих инструментов» [10, I, 13].

«…В каком смысле Платон назвал в "Государстве" диалектику венцом наук, и какова связь между диалектикой и математикой…? Мы считаем, — пишет Прокл, — что, как ум утвержден над разумом, и предоставляет ему сверху начала, и придает разуму свое совершенство, таким же точно образом и диалектика, будучи чистейшей частью философии, в своей простоте стоит непосредственно над всеми математическими науками, и охватывает всю их развернутость, и от себя уделяет наукам их разнообразные способности — действовать, судить и мыслить, — я разумею анализ, диэрезу, определение и доказательство. Будучи наделена ими и доведена до совершенства, математика одно отыскивает посредством анализа, другое — посредством синтеза; и одно излагает посредством диэрезы, другое — посредством определения, а в ряде случаев схватывает искомое посредством доказательства.

Естественно поэтому, что диалектика — венец математических наук, поскольку она доводит до совершенства всю ее мыслительную способность, делает неопровержимой соответственную ей точность, а также сохраняет в устойчивом состоянии свойственную ей неизменность, возводит ее невещественность и чистоту к простоте и невещественности ума, определяет первые начала математических наук посредством логически безупречных предложений, обнаруживает родовые и видовые различия в том, что подлежит рассмотрению математических наук, и научает синтезу, выводящему из начал то, что за началами следует, а также анализу, восходящему к первому и началам.

Поэтому, кстати, не следует вслед за Эратосфеном считать скрепой математических наук пропорцию. В самом деле, пропорция и считается и есть всего только нечто одно из того, что обще математическим наукам» [10, I, 14]. Тем более, добавлю уже я, нельзя считать «венцом» наук золотую пропорцию, на чём настаивают нынешние золотоискатели.

Диалектика является наиважнейшей и неотъемлемой частью математики. Говоря о ней, Прокл еще раньше провозгласил: «да будет вознесена над множеством наук и познаний одна, познающая общее и распространяющаяся на все роды, и уделяющая начала всем математическим наукам». В каком смысле она стоит над всеми математическими науками? Отвечая на этот вопрос, неоплатоник писал: «И пусть геометр утверждает, что если данные четыре величины пропорциональны, то существует и обратная пропорция, и пусть он доказывает это, опираясь на начала своей науки; арифметик к ним обратиться не может, но пусть и он утверждают, что если данные четыре числа пропорциональны, то существует и обратная пропорция, и доказывает это исходя из начал своей науки» [10, I, 4].

Аристотель, похоже, на место платоновской диалектики ставил «первую философию». В «Метафизике» он пишет: «...имеется три умозрительных учения: математика, учение о природе, учение о божественном..., и достойнейшее знание должно иметь своим предметом достойнейший род [сущего]... ведь неодинаково обстоит дело и в математических науках: геометрия и учение о небесных светилах занимаются каждая определенной сущностью, а общая математика простирается на все... если есть некоторая неподвижная сущность, то она первее и учение о ней составляет первую философию, притом оно общее [знание] в том смысле, что оно первое. Именно первой философии надлежит исследовать сущее как сущее — что оно такое и каково все присущее ему как сущему» [Met. 1026al8-31; прим. 11 к комм. I, 4].

Прокл не был математиком, но прекрасно осознавал разницу между арифметикой и геометрией, обнаружившуюся после открытия Пифагором несоизмеримости отрезков. Ю.А. Шичалин поясняет: соизмеримость или рациональность греки обозначали термином rheton [10, II, 2]; для обозначения несоизмеримости или иррациональности пифагорейцы использовали слово arreton, а слово alogon использовалось начиная с Теэтета; оба последних слова употребляются Евклидом ("Начала", X, определения III-IV) [10, I, 2].

«Проклу важно подчеркнуть, — разъясняет Шичалин, — что в отличие от арифметики геометрия имеет дело и с несоизмеримыми отрезками, иррациональными числами». Это подтверждается следующим отрывком: «А особенностью геометрии является понятия "положение" (числа положения не имеют), "касание" (потому что касаться могут только непрерывные величины), "иррациональные числа" (потому что иррациональное там, где есть деление до бесконечности). Общее у обеих то, что связано с делением (Евклид излагает это во Второй книге — за исключением деления прямой в крайнем и среднем отношении[, что изложено в Шестой книге]). … В самом деле, где число, там и соизмеримое, а где соизмеримое, там и число» [10, II, 6].

Других утверждений о разнице между арифметикой и геометрией, кроме указанного Шичалиным смысла, у Прокла, собственно, нет. Еще в начале своего комментария он демонстрирует нам глубокое понимание различия между рациональной и иррациональной бесконечностью. «…Рациональные построения…, — пишет Прокл, — хотя и уходят в бесконечность, но, как причиной, сдерживаются пределом… И не будь беспредельности, все величины были бы соизмеримы, и не было бы ничего невыразимого и несоотносимого, чем … геометрия отличается от … арифметике. … Если же уничтожить предел, то в математике никогда не проявлялась бы соизмеримость… Поэтому оба эти начала [предел и беспредел] необходимы, как всем остальным родам сущего, так и математическим» [10, I, 2]. Таким образом, «у математических дисциплин оказались те же начала, что и у всех сущих» [10, I, 3].

Об арифметике Прокл вообще не хочет говорить, так как о ней достаточно рассказали древние. Что касается геометрии, ее область компетенции он разжевывает довольно подробно. «Относительно того, — пишет Прокл, — что геометрия есть часть математики в целом и что она занимает второе место вслед за арифметикой, от которой у нее полнота и определенность (потому что все то, что рационально описывается и познается в геометрии, определяется числовыми соотношениями), — сказано древними и поэтому в настоящий момент не нуждается в пространном изложении. … геометрия освобождает нас от чувственного мира, и возводит к бестелесной реальности, и приучает к созерцанию умопостигаемого, и подготавливает к интеллектуальной деятельности … то, с чем имеет дело геометрия — вне материи, это чистые рациональные построения, отделенные от чувственно воспринимаемого…» [10, II, 2].

«Геометрия есть знание величин, фигур и их границ, а также отношений между ними и производимых над ними операций, разнообразных положений и движений; она начинает с неделимой точки, завершает объемными фигурами и исследованием многообразных различий между ними, и уже после этого от более сложного возвращается к более простому и к началам более сложного. А именно, она пользуется синтезом и анализом, всякий раз начиная с предпосылок, начала беря от более высокого знания и используя все диалектические методы: когда речь идет о началах, она использует отделение видов от родов и определения…» [10, II, 5].

«Предмет рассмотрения геометрии — треугольники, четырехугольники, круги и вообще фигуры, величины и их границы; то, что им по существу свойственно, — деление, отношение, касание, равенство, параболы, гиперболы, эллипсы и все такого рода; с другой стороны — постулаты и аксиомы, с опорой на которые проводится то или иное доказательство, — например, проведение единственной прямой между любыми двумя точками, или равенство остатков при отнятии равных отрезков от равных отрезков и то, что из этого вытекает» [10, II, 6].

Наиболее ценной частью прокловского «Комментария» является его исторический экскурс, «который традиционно возводили к ученику Аристотеля Евдему» (он заканчивается словами «Писавшие по истории математики»)

«Блаженный Аристотель утверждает, что одни и те же представления часто возникают у людей через некие определенные промежутки в круговом движении мира, поэтому науки впервые были созданы не нами или теми, кого мы знаем, но уже появлялись во время прежних круговоротов (нельзя сказать, скольких по числу) и опять будут появляться в будущих. Но поскольку приходится рассматривать начала искусств и наук применительно к данному периоду, мы говорим, что согласно свидетельству наибольшего числа исследователей, геометрия впервые открыта у египтян и возникла она от измерения земельных участков.

Египтянам она была необходима, потому что разливы Нила всякий раз уничтожали установленные границы. Нет ничего удивительного, что изобретение и этой, и всех прочих наук берет начало от практической необходимости, потому что все относящееся к миру становления переходит к совершенству от несовершенного. Поэтому естествен переход от чувственного ощущения к рассудку, а от него к уму. И как точное знание о числе возникло у финикийцев благодаря торговле и обмену, точно так же и у египтян была открыта геометрия по названной причине. Сначала Фалес, посетивший Египет, перенес в Элладу этот вид научного рассмотрения, причем многое он открыл сам, а для многого указал основания последователям, представив одно более общим способом, а другое — более наглядным.

После него есть упоминание о том, что Мамерк, брат поэта Стесихора, также занимался геометрией, причем Гиппий из Элиды пишет, что в геометрии он прославился. После них Пифагор перевел любовь к геометрической мудрости в разряд общеобразовательных дисциплин, рассмотрев ее начала сверху и исследуя теоремы безотносительно к вещественному миру посредством чистой мысли: именно он открыл область иррациональных чисел и строение пяти мировых тел. Вслед за ним многих геометрических вопросов касались Анаксагор из Клазомен и Энопид Хиосский, который немного моложе Анаксагора; в "Соперниках" Платон упоминает о них как о прославившихся в науках.

За ними в геометрии прославились Гиппократ Хиосский, открывший квадрируемые луночки, и Теодор Киренский. В частности, Гиппократ упоминается как автор первых "Начал".

За ними был Платон, стараниями которого геометрия — как и остальные науки — получила величайшее развитие: известно, сколь часто он использует в своих сочинениях математические рассуждения и повсюду пробуждает в преданных философии восторженное отношение к математическим наукам. В это же время жили Леодамант с Фасоса, Архит Тарентский и Теэтет Афинский, благодаря которым увеличилось число теорем и геометрия приобрела более научный и систематический характер. Младше Леодаманта был Неоклид и его ученик Леонт, которые многое дополнили к сделанному до них: Леонту принадлежат "Начала", составленные гораздо более тщательно как с точки зрения числа, так и с точки зрения пользы доказываемых задач, и он нашел определения тех случаев, когда исследуемая проблема может быть разрешена и когда не может.

Евдокс Киидский был немного младше Леонта и был дружен с окружением Платона; он первый увеличил число так называемых общих теорем, прибавил к трем пропорциям еще три и — взяв у Платона основу — разработал множество видов сечения, используя при этом метод анализа. Амикл из Гераклеи, один из друзей Платона, и Менехм, ученик Евдокса и современник Платона, а также брат Менехма Динострат сделали геометрию еще более совершенной. А Тевдий из Магнесии считался выдающимся как в математических науках, так и в остальной философии; в частности, он составил хорошие "Начала" и многие частные положения истолковал в более общем плане. В то же время жил и Атеней из Кизика, который был известен во всех математических науках, но особенно в геометрии. Все они вместе занимались научными изысканиями в Академии.

А Гермотим Кодофонский развил достижения Евдокса и Теэтета, открыл многие начала и описал некоторые из геометрических мест. Филипп Мендейский, ученик Платона, им обращенный к математическим наукам, проводил свои изыскания под руководством Платона и ставил перед собой те задачи, которые, по его мнению, были полезны для платоновской философии.

Писавшие по истории математики изложили развитие этой науки до этого времени. Немного младше последних — Евклид, составивший "Начала", собравший многое из открытого Евдоксом, улучшивший многое из открытого Теэтетом, а помимо этого сделавший неопровержимыми доказательствами то, что до него доказывалось менее строго. Он жил при Птолемее Первом, потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей однажды спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели "Начала"; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии. Таким образом, он моложе платоновского кружка и старше Эратосфена и Архимеда, — они-то жили в одно время, как где-то говорит Эратосфен.

Он [Евклид] принадлежит к платоникам и близок их философии, почему и поставил целью всего своего изложения начал описание так называемых пяти платоновских тел. Но у него есть также и много других математических сочинений, полных удивительной точности и научности рассмотрения. Таковы "Оптика", "Катоптрика", таковы также "Начала музыки" и книга "О Делении". А в началах геометрии им в особенности следует восхищаться за порядок и отбор приведенных теорем и проблем, потому что он берет не все то, что можно сказать, а только основополагающее. Кроме того, он применяет разнообразные виды силлогизмов, которые отчасти получают достоверность от причин, отчасти исходят из достоверных положений, но при этом все — неопровержимые, точные и свойственные науке.

Помимо них он применяет все диалектические методы: метод разделения — при установлении видов, метод определения — при определении сущности, метод демонстрации — при переходе от начал к искомому, метод анализа — при восхождении от искомого к началам. Кроме того данное сочинение дает достаточно точное рассмотрение различных видов обращения — как более простых, так и более сложных, когда обращение допускает целое, когда целое обращается отчасти и наоборот, и когда обращаются части. Помимо этого укажем на связность нахождений, последовательное расположение посылок и следствий, силу, с какой он излагает каждый вопрос.

Разве можно не заметить, что случайно прибавляя или отнимая что-либо от науки впадаешь в противостоящую ей ложь и невежество? А поскольку многое — хотя и кажется, что оно связано с истиной и следует началам науки, — блуждает вдали от этих начал и обманывает людей поверхностных, он изложил методы разумного рассмотрения и этого, владея которыми мы сможем путем упражнения подвести тех, кто начинает изучать данную науку, к нахождению ложных умозаключений, так чтобы сами они при этом не обманывались. Это сочинение, в котором он дает нам такую подготовку, он назвал "Ложные умозаключения" и в нем перечислил в должном порядке их виды, дал нашей мысли упражнения в каждом виде, противопоставил лжи истину и дал опровержение лжи соответственно со способом ее проведения. Таким образом, эта книга — очистительная, имеющая целью упражнение, а "Начала" содержат неопровержимое и совершенное изложение самого научного рассмотрения предмета геометрии» [10, II, 8].

Предположение Прокла, будто «Начала» Евклид писал ради пяти Платоновых тел, явно ошибочно. Шичалин в этой связи пишет: «Однако, хотя и несомненно, что прямолинейные поиски положений платоновской философии у Евклида ни к чему не приведут, хотя очевидно, что «описание пяти платоновских тел» — не цель Евклидовских начал, а цель изучения математики в школах среднего платонизма (ср. только название сочинения Феона Смирнского: "Изложение математических предметов, полезных для чтения Платона"), тем не менее математика без Академии Платона никогда не получила бы того развития, какое оказалось возможным благодаря атмосфере, созданной в Академии. По существу, до Александрийского Музея Академия была единственным открытым центром изучения математики, тем местом, где занятия математикой были безусловно оправданы ее исключительной ролью в воспитании философа, а также личной приверженностью к математике главы школы» [комм. 25 к II, 8]

Мысль, что целью Евклидовых «Начал» были правильные многогранники (их называют также тела Платона или мировые тела, так как они определяют конфигурацию космоса), Прокл повторил в последующих разделах.

«Теперь справедливо может возникнуть вопрос о цели этого сочинения. По этому поводу я опять-таки могу сказать, что цель следует определять либо в соответствии с предметом исследования, либо по отношению к тому, кто обучается. Тогда, обращаясь к самому предмету, мы скажем, что наука геометрия в целом занята мировыми телами, начиная с простых, а завершается разнообразием их строения, причем, осуществляя каждое в отдельности, она в то же время излагает, как все они вписываются в шар и соотносятся одно с другим. Поэтому некоторые сочли возможным возвести цель отдельных книг к мировому целому и описали пользу, которую они приносят при рассмотрении мироздания. А определяя цель по отношению к тому, кто обучается, скажем, что они — в самом названии, то есть в том, чтобы дать ученику «начала» и усовершенствовать его мысль во всех областях геометрии» [10, II, 9].

«Таким образом, цель состоит в том, чтобы преподать учащимся начальный курс этой науки в целом, а также в том, чтобы определить строение мировых тел» [10, II, 10]; «начальное руководство Евклида превосходит все остальные: оно полезно, потому что подводит к рассмотрению мировых фигур» [10, II, 12].

О конкретных задачах, поставленных перед первой книгой Евклидовых «Начал», Прокл сказал немного: «А делится эта книга на три большие части. Из них первая показывает возникновение треугольников, их особенности с точки зрения углов и сторон, а также проводит их взаимное сравнение и каждый рассматривает сам по себе. А именно, взяв один треугольник, Евклид рассматривает иной раз зависимость углов от сторон, иной раз — сторон от углов, а также то, что касается равенства и неравенства; и взяв два, он разными способами исследует то же самое. Вторая часть [Предложения 27-34] охватывает учение о параллелограммах, описывает особенности противолежащих сторон и возникновение параллелограммов, а помимо этого доказывает присущие им особенные свойства. Третья часть [Предложения 35-48] показывает общность между треугольниками и параллелограммами в их свойствах и при их сопоставлении одних с другими. Среди прочего доказывается, что треугольники или параллелограммы обладают теми же свойствами, когда они построены на одних и тех же и на равных основаниях; рассматривается случай, когда треугольник является частью параллелограмма, построенного на одном с ним основании; [Предложение 41] показано, как можно построить параллелограмм, равный треугольнику; [Предложение 42] наконец, идет речь о квадратах, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, — в каком отношении находится гипотенуза к катетам. [Предложение 47] Вот примерно такова задача Первой книги "Начал" и таково ее разделение» [10, II, 19].

Белянин и Стахов: спор вокруг Евклида

Итак, Прокл сообщил нам, что подобные «Началам» Евклида сочинения писались и раньше. В частности, Евдему были известны «Начала», написанные Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения были утрачены, по-видимому, ещё в античные времена. Из древних, кроме прокловских, до нас дошли комментарии Паппа. В Новое время эту книгу комментировали Пьер Рамус, Федериго Коммандино, Христоф Шлюссель (Клавиус) и Савелиус.

Помимо «Начал», сообщает Прокл и другие источники, Евклид написал «Данные» об условиях, при которых какой-либо математический объект можно считать «данным», «Явления» о сферической астрономии, «Деление канона» о музыкальных интервалах, «Оптику» о геометрической оптике и перспективе, «Катоптрику» об искажениях в зеркалах (Катоптрика — буквально: наука о зеркалах), а также трактат «О делении фигур». В большинстве этих произведений используется дедуктивно-аксиоматический способ доказательства в сочетании с конструктивным подходом.

В свете того, что было сказано о трех математических подходах, «Начала» ни в коем случае нельзя отнести к пифагорейско-платоновской традиции. Именно поэтому нужно отрицать гипотезу Прокла, будто «Начала» писались для раскрытия пяти Платоновых тел. Для Александрийской школы математиков периода, обозначенного именами Евклида и Клавдия Птолемея, написавшего «Альмагест», пифагорейско-платоновские или прокловские подходы к предмету были не характерны.

С одной стороны, Евклид — типичный конструктивист, для которого геометрическая истина ассоциировалась с возможностью построения соответствующего чертежа с помощью линейки и циркуля (недаром Рафаэль изобразил его за работой с этим инструментом). С другой — в борьбе с софистами, исповедующими формально-логический подход, ему пришлось принять их правила игры, поэтому свои «Начала» он изложил в аксиоматико-дедуктивной форме. В Средние века конструктивный компонент из его труда был выхолощен, остался лишь голый формализм, которым мучили бедных учащихся уже схоласты, пришедшие на смену софистам (см. разд. Неопределенность дефиниций и аксиом).

В книге «Конструктивная математика» обосновывается утверждение, что всякая формально-логическая процедура не развивает, а тормозит математику. В целом, наука движется вперед только благодаря рационально-конструктивным построениям, отвергающим какую-либо маниакально-эзотерическую эйфорию. И тут возникает вопрос: могут ли в одном человеке сочетаться две таких разных философии, как конструктивизм и формализм? Мой ответ — нет, хотя их сочетание с мистицизмом нередко возникает, в частности, сочетания мистицизма и конструктивизма мы наблюдаем у Кеплера и мистицизма и формализма — у Ньютона. Но названные две эпистемологии, в принципе, исключают друг друга (обсуждение данной проблемы ищите в разделе Математика древних).

Впрочем, в личности Архимеда они, кажется, сочетались. Он пользовался конструктивным приемом вроде того, которым он делится с Эратосфеном в письме (см. конец раздела Математика дробей и пропорций), и одновременно формально-логическим выводом — методом исчерпывания, который, однако, имеет вполне конструктивное обоснование. Таким образом, пример с Архимедом не является всё-таки достаточно показательным.

В общем, психология познания исключает сосуществование формального и конструктивного мироощущения в одном человеке. В конечном счете это связано с психологическим типом. Мистик — неосознанно заблуждающийся, в крайней форме мистицизма он не в состоянии познать окружающий мир, который для него либо вообще отсутствует, либо предстает в сильно искаженном свете. Его можно исключить из познавательного процесса, так как всё, над чем он размышляет, не относится к сфере науки.

Формалист, с точки зрения психологического типа, — сознательный обманщик, конструктивист — сознательный не-обманщик, искренний и честный человек. Отсюда люди, придерживающиеся двух последних познавательных платформ, например, механицисты (конструктивисты) и релятивисты (формалисты) нашего времени, находятся в резко антагонистических отношениях и не идут на компромисс в своих дискуссиях (почитайте, например, книгу В.Ф. Миткевича Основные физические воззрения и дригие работы из раздела «Война в науке»).

Мы можем не принимать теорию, связывающую формалиста, грубо говоря, с мошенничеством, а конструктивиста — с истинным исследователем. Но разве мы не чувствуем различие в подходах Платона и Архимеда или даже Архимеда и Евклида? Конечно, чувствуем. Для них гармония мира и понятие истины означают совершенно разные вещи. Поэтому в вопросе «знал или не знал что-либо» нельзя ограничиваться только эпохой, нужно принимать во внимание индивидуальность ученого. Кто будет спорить, что в наше время о золотом сечении известно предостаточно, однако есть первоклассные математики, которые о нём ничего не знают и знать не хотят. Этот личностный фактор постоянно недооценивается историками науки.

Архимедом восхищалась вся Эллада, потом арабские ученые, а за ними математики возрожденной Европы: ни у кого из них не возникало сомнений в единоличном написании его трактатов. Евклидом тоже все восхищались, но по-другому: никто не считал его оригинальным творцом «Начал», которые были написаны где-то около 325 года до Р.Х. Прокл, передавший содержание исторического обзора Евдема, прекрасно осознавал компилятивный характер этого сочинения. Он рассказал нам краткое содержание первой книги, а всего их тринадцать. Напомним, в первой книге даются дефиниции и теоремы геометрии на плоскости, что составляет предмет планиметрии. В ней рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и вычисляется их площадь. Теперь скажем несколько слов об оставшихся книгах.

Вторая книга касается геометрической алгебры, которая сводится к квадратным уравнениям, правда, алгебраическая символика в «Началах» не используется. Третья книга посвящена свойствам окружности, хордам и касательным, которые изучались Гиппократом Хиосским, жившим во второй половине V века до Р.Х., о котором упомянул Евдем. Добавим к сказанному, что книги с I по IV, а также XI были написаны Евклидом по книгам «Начал» именно этого прославленного математика.

В четвертой книге рассматриваются правильные многоугольники, вписанные и описанные вокруг окружности. Считается, что правильный 15-угольник построил сам Евклид. Гаусс доказал, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 17-угольник — не выше (исключая, конечно, тривиальные кратные случаи). Но напомним еще раз, что «Начала» Евклида являются компиляцией, составленной из недошедших до нас трактатов, при этом дидактический компонент в них стоит не на последнем месте.

В пятой книге излагается общая теория отношений, а в шестой — учение о подобии геометрических фигур с приложениями к решению алгебраических задач. Эти две книги были написаны на основе сочинений Евдокса Книдского. Три книги, с седьмой по девятую, посвящены пифагорейской теории натуральных чисел. Они написаны на основе недошедших до нас сочинений пифагорейца Архита Тарентского. Здесь приводится теория делимости, включая теорему об однозначности разложения целого числа на простые множители; дается «алгоритм Евклида» по нахождению наибольшего общего делителя.

Десятая книга — самая объемистая; она касается теории пифагорейца Теэтета Афинского (жил в IV веке до Р.Х.) о квадратичной иррациональности (несоизмеримости). Полученные здесь результаты используются в тринадцатой книге для нахождения длин ребер правильных многогранников. Одиннадцатая книга посвящена стереометрии. В ней доказываются теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей, телесных углах, равенстве и подобии параллелепипедов.

В двенадцатой книге дается метод исчерпывания Евдокса, с помощью которого вычисляются площадь круга, сравниваются объемы шара, пирамиды, конуса, призмы и цилиндра. В частности, доказывается, что объем конуса равен одной трети объема цилиндра того же основания и той же высоты. В тринадцатой книге представлена теория правильных многогранников Теэтета. Доказывается, что существует только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

Спустя полтора века к «Началам» Евклида были присоединены еще две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского. Таким образом, получается, что Евклид — это коллективный автор вроде Николы Бурбаки. И как после этого задавать вопрос: знал или не знал Евклид о золотом сеченим, когда в прилагательное «золотое» задающий вкладывается «божественную искру»?

На золотое сечение можно смотреть по-разному в зависимости от степени отравления эзотерическими парами. Нет сомнений, что Пифагор, Платон и Прокл были пропитаны ими до полного насыщения и видели присутствие Бога в виде всеобщей гармонии во всем, что их окружало. Однако того, что сейчас называют "золотое сечение", мы не находи в «Тимее» Платона и «Комментарии» Прокла. Другое дело «Начала» Евклида: золотое сечение здесь представлено широко, зато полностью исключена всякая эзотерика, в том числе та, что связана с иррациональными числами 0,618… и пр., которыми греки не оперировали. Платон и Прокл верили во всеобщюю гармонию и боготворили мировые тела (правильные многогранники). Но они не были математиками и не могли квалифицированно судить о «Началах». Прокл в своем «Комментарии» явно ошибался, когда предположил, что этот труд Евклида был написан ради пяти правильных тел. Цель, преследуемая автором (правильнее сказать, авторами), была противоположна той, что провозгласили античные поклонники всеобщей гармонии и современные гармонисты-золотоискатели.

Понятно, что в написании такого обширного коллективного труда как «Начала» принимали участие математики-пифагорейцы, настроенные достаточно мистически. Они, очевидно, ощущали всеобщюю гармонию в каждом предложении и автоматически вкладывали «божественное сияние» в золотое сечение. Но шеф-редактор Евклид, глава Александрийской школы математиков, уполномоченный самим Птолемеем Сотером, сделал всё от него зависящее, чтобы астральная космология Пифагора и Платона туда не попала. В общем, «Начала» написаны с антиклерикальных, сугубо формальных и конструктивных позиций, что бы там не писал о них неоплатоник Прокл.

Теперь, с новым багажом приобретенных знаний, мы можем смело вернуться к нашим спорщикам, Белянину и Стахову, чтобы компетентно их рассудить относительно Евклида. Но уже заранее необходимо отметить, что заданный Стаховым вопрос о золотом сечении в свете всего сказанного звучит некорректно.

*
*   *

К Евклиду Белянина подтолкнул, видимо, Стахов. В статье О'Коннора и Робертсона, переведенной и опубликованной на русском языке Стаховым, мы читаем: «Многие утверждают, что под "сечением" в этой цитате Прокл (Proclus) понимает "Золотое Сечение". Евдокс (Eudoxus) определенно посещал лекции Платона, так что вполне возможно, что он мог разрабатывать темы лекций Платона. Гез (Heath), автор книги "A history of Greek mathematics" (1921), пишет в своих редакционных замечаниях к Началам Евклида:

"Идея о том, что Платон начал изучать "Золотое Сечение", как объект сам по себе, нисколько не противоречит гипотезе, что проблема Евклида II, 11 была решена пифагорейцами".

Гез (Heath) утверждает в некоторых работах, что построение пентагона на основе метода "золотого" равнобедренного треугольника, описанного выше, было известно пифагорейцам, так что существует достаточно много убедительных доказательств, что именно пифагорейцы первыми начали изучать "Золотое Сечение".

Гипсикл (Hypsicles) (около 150 г. до н.э) писал о правильных многогранниках. Он является автором книги, которая была названа Книгой XIV Начал Евклида, сочинения, которое имело дело с вписыванием правильных многогранников в сферу. В этих построениях широко используется "Золотое Сечение"» [6].

Стахов разыскал слова Прокла, предположившего, что «Начала» были написаны Евклидом ради последней главы (книги), где рассказывается о правильных телах Платона и Архимеда сплошь нашпигованных золотыми пропорциями, а также статья [7]). Однако наш пространный экскурс в историю античной математики доказывает, что этот неоплатоник заблуждался. Впрочем, если внимательно читать Евклида, можно самому легко опровергнуть гипотезу античного комментатора. «Начала» — это типичный учебник, которыми пользовались учителя-софисты, обучая детей-школьников математической премудрости. Подобных «Начал», как сообщил тот же Прокл, в Древней Греции было немало (сохранились отрывки или упоминания о них), но целиком дошел только учебник Евклида как наиболее удачно написанный.

В «Открытом письме директору Института золотого сечения» Белянин помимо сочинения Платона «Тимей» проанализировал «Начала» Евклида. Он советует Стахову внимательней присмотреться к формулировкам первых десяти предложений второй книги, выписав только начала четырех предложений:

«Если имеются две прямые и одна из них разделена…,
Если прямая линия как-либо разделена…,
Если прямая линия разделена на равные и неравные <отрезки>…,
Если прямая линия разделена пополам…»

Затем Белянин цитирует ключевое 11-е предложение, которое золотоискатели толкуют как свидетельство того, что Евклид чуть ли не воспел золотое сечение как самое прекраснейшее из всех сечений. Ничего подобного, говорит Белянин, это рядовое сечение, одно из многих, никак им не отмеченное. Читайте без эмоций Евклида, говорит он Стахову: «Данную прямую [можно] разделить так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке» [23, п. 2]. Процитированное предложение 2.11, замечает Белянин, «не представляет собою особого математического факта, требующего всестороннего или какого-либо отдельного обсуждения», оно нисколько не волновало ни Евклида, ни тем более древних греков. Поэтому не надо из мухи делать слона, утверждая, будто античный мир молился на золотую пропорцию.

Стахов тоже цитирует предложение 2.11 и пытается дать ему свое толкование. В его формулировке оно выглядит так: «Данную прямую разделить на две неравные части АС и СВ так, чтобы площадь квадрата, построенного на большем отрезке АС, равнялась бы площади прямоугольника, построенного на отрезке АВ и меньшем отрезке СВ».

Белянин обращает внимание читателей на неточность этой формулировке: «Дилетантизм г-на Стахова, — злорадствует критик, — проявился в приведенных строках во всей своей полноте. И надо же столько напутать, выдавая некий эрзац за текст Евклида!

1). Евклид не формулировал предложение 2.11 в приведенном виде.
2). В своих нескольких сотнях предложений Евклид ни разу не вставлял в текст ни одной буквы типа А, В, С,….
3). У Евклида нет слов "на две неравные части".
4). Ни один древнегреческий математик, в том числе и Евклид, никогда не писали "площадь квадрата", "площадь прямоугольника".
5). У Евклида в предложении 2.11 нет слов "больший" и "меньший".

Все это говорит о том, что, берясь рассуждать на историко-математические темы, г-н Стахов использует какие-то прошедшие через десятые руки формулировки не первой свежести. Как можно, не имея перед собой "Начала" Евклида писать статью "Принцип Золотой Пропорции в "Началах" Евклида"»! [24, п. 2].

По мнению Белянина, Стахов исказил не только дух, но и букву «Начал» Евклида. «Никаких соотношений типа АВ × СВ = (АС)² и АВ/АС = АС/СВ Евклид не писал» [24, п. 5], — говорит Белянин. «История золотой пропорции — не компендиум отдельных отрывочных сведений, а особая форма мышления, методологический анализ конкретных исторических ситуаций» [24, п. 7].

*
*   *

Прежде чем приводить ответную аргументацию, известим читателя о следующем. Для выделения эмоциональных акцентов автор использует красный и синей цвет, а также курсив и жирный шрифт. Мне кажется, все эти выделения вызваны излишним эмоциональным возбуждением, поэтому при цитировании не воспроизводились. Кроме того, нумерация источников статьи [25] приведена в соответствие с нумерацией данной статьи. Итак, Стахов пишет:

«1. Как можно писать статью по истории золотой пропорции, не познакомившись с современной математической литературой по данному вопросу, в частности, с книгами канадского математика Roger Herz-Fishler [26,27], первая из которых была опубликована еще в 1987 г.? Ведь это элементарное требование для любого научного работника: если о чем-то хочешь сказать, познакомься вначале с тем, что по этому поводу до тебя сказали другие. Белянин этого не сделал, откуда можно сделать вывод, что статья Белянина [24] является результатом весьма поверхностного анализа доступных ему "первоисточников".

2. Сформулированная в "Началах" Евклида "задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении" (Предложение II, 11) и современная "задача о золотом сечении" — это разные формулировки одной и той же геометрической задачи, которая была использована Евклидом в своих "Началах! для построения "золотого" равнобедренного треугольника, "пентагона" и "додекаэдра". Поэтому утверждение Белянина о том, "что от чисто геометрического деления отрезка в среднем и крайнем отношении в очень далеком прошлом до понимания золотой пропорции в ее современном толковании, дистанция огромного размера", не имеет никакого содержательного смысла.

3. Утверждение Белянина о том, что Пифагор, Платон, Евклид не были знакомы с понятием золотой пропорции полностью противоречит выводам, сделанным канадским историком математики Roger Herz-Fishler в своей книге "A Mathematical History of the Golden Number" (1998) на основании анализа более 600 (!) "первоисточников".

4. Следует признать, что статья Виктора Белянина [24] является поверхностной статьей хотя бы потому, что в ней нет ссылок на современную математическую литературу по истории золотой пропорции, в частности, на книги канадского математика Roger Herz-Fishler, опубликованные в 1987 и 1998 гг. [26,27].

К сожалению, Белянин в своем новом письме не дал ответа на поставленные вопросы. Кроме того, статья содержит огромное количество необоснованных выпадов в мой адрес, а также в адрес других специалистов в области золотой пропорции.

В своем письме Белянин в который раз обвиняет меня и других авторов в "дилетантизме" и незнании "первоисточников". В этой связи я хотел бы еще раз поговорить о "первоисточниках" и "дилетантизме":

1. Судя по списку литературы к первой статье Белянина [22], основным "первоисточником" для изучения "Начал Евклида" является русский перевод "Начал Евклида" [28], опубликованный в 1949 г. Но если посмотреть список литературы книги [27] (см. Приложение 1), то таких "первоисточников" "Начал Евклида" можно насчитать 31(!). Эти "первоисточники" представляют собой переводы и интерпретации Евклида, сделанные западными авторами, начиная с 12-го века (Euclid-Adelard III) и заканчивая 20-м столетием (Euclid-Thaer, 1969). С учетом наличия такого огромного количества "первоисточников", касающихся одного и того же математического сочинения – "Начал Евклида", можно утверждать, что единственным истинным "первоисточником" могут считаться только оригинальные тексты самого Евклида, которые Белянин, по-видимому, не читал (или читал?!). При этом, естественно, возникают следующие естественные вопросы:

Кто проверял идентичность текстов всех этих "первоисточников"? Какой из этих "первоисточников" является самым истинным? Является ли русский "первоисточник" [28], которым пользуется Белянин, "истиной в последней инстанции", то есть "самым – самым истинным"? И кому мы должны доверять: "дилетанту" Белянину, который не является специалистом по золотой пропорции (мне лично неизвестны никакие другие работы Белянина в этой области, кроме его статей сомнительного содержания [22, 23], опубликованных на сайте "Законы красоты"), или мы должны доверять настоящему профессионалу, канадскому историку математики Roger Herz-Fishler, который при написании своей книги проделал титаническую работу, изучив более 600 "первоисточников", включая 31 переводов и интерпретаций "Начал Евклида", сделанных западными авторами? Или мы должны по рекомендации Белянина отнести математика Roger Herz-Fishler к разряду "непризнанных пифагоров XX века, которых развелось, как детей лейтенанта Шмидта"? То есть опять навешивание "ярлыков", которыми так любят пользоваться белянины и радзюкевичи в качестве "научных аргументов".

2. В "Открытом письме Белянина" достается не только мне, но и другим признанным специалистам в области золотой пропорции (Лосеву, Эйзенштейну, Васютинскому, Сороко, Волошинову и др.), которых Белянин, по-видимому, также причисляет к разряду "непризнанных пифагоров XX века, которых развелось, как детей лейтенанта Шмидта". ...

3. Белянин полностью игнорирует не только книги канадского математика Roger Herz-Fishler [26,27], но и публикации других современных западных авторов по истории золотой пропорции. Некоторые из них опубликованы на сайте «Академии Тринитаризма» в моем переводе и с моими комментариями [29,6]. ...

4. ...В Параграфе 1 главы 1 собраны все Теоремы из "Начал Евклида", касающиеся DEMR ("деление в крайнем и среднем отношении" или "золотое сечение"), начиная с Книги I и заканчивая Книгой XIII. Таких теорем в "Началах Евклида", по мнению Roger Herz-Fishler, насчитывается 84 (!). Таким образом, золотое сечение, действительно, проходит "красной нитью" через все "Начала Евклида".

...

Вывод о моем «дилетантизме» Белянин делает на основании анализа приведенного мною ... Евклидового Предложения II.11, формулировка которого отличается от русского перевода "Начал Евклида" [28]. ...

В этой ситуации "дилетантизм" Белянина проявился в наибольшей степени. Белянин не знаком со специальной литературой по истории золотого сечения, что является первым признаком "дилетантизма". Для того, чтобы это доказать, достаточно обратиться к книге канадского математика Roger Herz-Fishler [27], которая является наиболее известным в мире источником информации по математической истории золотого сечения. В этой книге на с. 8 (см. Приложение 3) Теорема II.11 приведена в следующей редакции:

Theorem II.11 (the area formulation of DEMR). To divide a line AB into two segments, a larger one AH and a smaller one HB, so that S(AH) = R(AB, BH).

Если теперь учесть, что S(AH) – это площадь квадрата, построенного на стороне AH, то есть большей стороне, а R(AB, BH) – это площадь прямоугольника со сторонами AB и BH, то указанную выше Теорему II.11 можно перевести на русский язык следующим образом:

Теорема II. 11. Данную прямую разделить на две неравные части АС и СВ так, чтобы площадь квадрата, построенного на большем отрезке АС, равнялась бы площади прямоугольника, построенного на отрезке АВ и меньшем отрезке СВ.

Именно так я перевел текст Теоремы II.11 из книги [27]. Поэтому огульное обвинение в "дилетантизме" Белянин должен адресовать, прежде всего, к самому себе. Если бы Белянин не был "дилетантом" и изучил всю научную литературу по этой проблеме, то такого ляпсуса он, конечно, не допустил бы!

Я, конечно, не могу знать, из какого из 31 "первоисточников" Евклида Roger Herz-Fishler взял именно такую формулировку Теоремы II.11, но вполне уместно предположить, что в одном из них эта теорема сформулирована именно в таком виде, который не совпадает с русским переводом "Начал Евклида".

Ну а если даже использовать формулировку Теоремы II.11, которой пользуется Белянин, то суть проблемы от этого не меняется: исследования канадского математика Roger Herz-Fishler показали, что в "Началах Евклида" имеется 84 теоремы, имеющие отношение к DEMR, то есть к "делению в крайнем и среднем отношении" или "золотому сечению"! То есть золотое сечение пронизывает "Начала Евклида" от 1-й до 13-й книги!

Если мы соглашаемся с этим фактом, то замечание наиболее авторитетного в мире историка математики Ван-дер-Вардена о том, что "Начала Евклида" на 2/3 состоят из результатов пифагорейцев, дает нам все основания признать, что Пифагор, пифагорейцы и Платон знали золотою пропорцию и широко ее использовали!

Такова моя логика! И опровергнуть ее Белянину не удастся!» [25]

На этом месте нам удобно прервать дискуссию, так как приведенная здесь аргументация Белянина была подхвачена через три с лишним года С.Л. Василенко. Читайте продолжение этого спора в следующей части нашего эссе, где оппонентом Стахова выступает уже другой человек.

---

1. Белянин В., Романова Е. Золотая пропорция. Новый взгляд // «Наука и жизнь» № 6 2003 http://www.nkj.ru/archive/articles/3070/
2. Белянин В., Романова Е. Жизнь, молекула воды и золотая пропорция // «Наука и жизнь» № 10 2004 http://www.nkj.ru/archive/articles/1543/
3. Белянин В. Квазикристаллы и золотая пропорция // «Наука и жизнь» № 10 2005 http://www.nkj.ru/archive/articles/2102/
4. Лаборатория "золотого сечения". Куратор-модератор Радзюкевич А.В. http://www.a3d.ru/disputmen/61
5. Платон. Собрание сочинений в четырех томах. — М.: Мысль, 1990 – 1995.
6. J.J. O'Connor, E.F. Robertson, Историческая тема: Золотая пропорция (History topic: The Golden ratio) (Перевод и Предисловие А.П. Стахова) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13453, 19.06.2006.
7. Стахов А.П. «Деление отрезка в крайнем и среднем отношении» и «золотое сечение» — это одна и та же задача? Знали ли Пифагор, Платон и Евклид о «золотом сечении»? // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15651, 13.11.2009.
8. Сороко Э.М. Золотое сечение как термин, понятие и принцип (реплика «с «мест» В.С. Белянину) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13787, 18.09.2006.
9. Лосев А.Ф. История античной эстетики. Последние века. Книга II. М., 1988.
10. Прокл. Комментарий к первой книге «начал» Евклида. Введение. Перевод и комментарий Ю.А. Шичалина / Центр антиковедения А.В. Петрова http://www.centant.pu.ru/.
11. Прокл. Платоновская теология. / Перевод с древнегреческого, составитель, статья, примечания, указатели, словарь Л.Ю. Лукомского. СПб.: РХГИ, «Летний сад», 2001.
12. Лосев А.Ф. История античной эстетики (все тома легко найти в Интернете, в частности, в электронной библиотеке В. Данченко; достаточно указать том, чтобы отыскать в нем нужную цитату).
13. Сороко Э.М. А.Ф. Лосев о гармонии, мере и мере гармонии — Золотом Сечении в эстетическом каноне античной культуры // Философы XX века: А.Ф.Лосев. Материалы Респ. чтений-6. 18 янв. 2001 г., Минск. / Сост. В.С. Вязовкин. Мн.: РИВШ БГУ, 2002 — С.31 – 39. // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13526, 07.07.2006.
14. Лосев А.Ф. Античный космос и современная наука. М., 1927. С.412.
15. Лосев А. История философии как школа мысли // Коммунист. 1981, №11. С. 56.
16. Лосев А.Ф. Бытие – Имя – Космос. М., 1993.
17. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. — М.,1979.
18. Фрагменты ранних греческих философов. — М., 1989.
19. История искусства зарубежных стран. Средние века. Возрождение. — М.: Изобразительное искусство, 1982.
20. Марин. Прокл или О счастье. Перевод М.Л. Гаспарова. // В кн. Диоген Лаэртский. «О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов». М, 1986, стр. 441 – 454.
21. Белянин В.С. Письмо к А. В. Радзюкевичу от 06.03.2006, опубликовано на сайте http://www.sibdesign.ru/ при обсуждении статьи «Красивая сказка о "золотом сечении"».
22. Белянин В.С. Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа, 04.06.2006 http://www.a3d.ru/archi/stat/182.htm .
23. Белянин В.С. К вопросу об исторической теме при изучении золотой пропорции Открытое письмо директору Института золотого сечения А.П. Стахову) 18.07.2006. http://www.a3d.ru/architecture/stat/183 .
24. Белянин В.С. Еще раз к вопросу об исторической теме при изучении золотой пропорции (Открытое письмо членам Международного клуба золотого сечения) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13775, 5(14).09.2006.
25. Стахов А.П. Есть у меня Белянин на примете... // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13799, 20.09.2006.
26. Roger Herz-Fishler. A Mathematical History of Division in Extreme and Mean Ratio». Wilfried Laurier University Press, 1987.
27. Roger Herz-Fishler. A Mathematical History of the Golden Number. Dover Publications, Inc. New York, 1998.
28 Начала Евклида. Книги VII-X. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.
29. Scott A. Olsen, Неопределенная Двоица и Золотое Сечение: Раскрытие Второго Принципа Платона. (Перевод, Предисловие и комментарии А.П. Стахова) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13531, 07.07.2006.